Sea la función $f(x)=\dfrac{x}{x^2+4}$ Determínense los extremos relativos de la función, razonando sobre la naturaleza de los mismos ( ¿ corresponden a máximos, mínimos, ... ? ). Representar gráficamente la función.

Enunciado:
Sea la función $$f(x)=\dfrac{x}{x^2+4}$$ Determínense los extremos relativos de la función, razonando sobre la naturaleza de los mismos ( ¿ corresponden a máximos, mínimos, ... ? ). Representar gráficamente la función.

Resolución:
La condición necesaria para la existencia de extremos relativos es $f'(x)=0$; derivando, obtenemos $f'(x)=\dfrac{4-x^2}{(x^2+4)^2}$, luego encontramos las abscisas de los puntos críticos o estacionarios resolviendo la ecuación $\dfrac{4-x^2}{(x^2+4)^2}=0$, luego $4-x^2=0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2$. Encontramos, pues, dos extremos relativos: $x_1=-2$ y $x_2=2$.

Extremos relativos y naturaleza de los mismos:
Veamos, ahora, qué tipo de extremos relativos son. El signo de la derivada, $f'(x)$, a la izquierda de $-2$, pongamos que en $x=-3$, es negativo, y, el signo de la derivada a su derecha ( pongamos que en $x=0$ ) es positivo, con lo cual podemos afirmar que $x=-2$ es la abscisa de un mínimo relativo. Procediendo con el mismo criterio para analizar el carácter del otro extremo relativo, vemos que a la izquierda de $x=2$ ( sin mirar a la izquierda de $x=-2$ ) el signo de la derivada $f'(x)$ es positivo ( acabamos de verlo, para $x=0$, estudiando el primer extremo relativo ), y, a su derecha, pongamos que en $x=3$, el signo des negativo, luego podemos concluir que en $x=2$ la función presenta un máximo relativo.

Las ordenadas correspondientes a ambos extremos relativos son: para $x=-2$ ( que es el mínimo relativo o local ), $f(-2)=-\dfrac{1}{4}$ ( sustituyendo en la función, $f(x)$, y calculando), y, para $x=2$ ( que es el máximo relativo o local ), encontramos $f(2)=\dfrac{1}{4}$.

En resumen: tenemos un mínimo relativo o local en el punto de coordenadas $A\bigg(-2\,,\,-\dfrac{1}{4}\bigg)$ y un máximo relativo o local en el punto de coordenadas $B\bigg(2\,,\,\dfrac{1}{4}\bigg)$

Representación gráfica:
Para perfilar el trazo, veamos si $f(x)$ tiene raíces; sólo tiene una: $x=0$, pues el numerador solamente se anula para ese valor. Por otra parte, la ordenada en el origen es $f(0)=0$, luego el trazo de la función $f(x)$ pasa por el origen de coordenadas; no tiene contacto con el eje de abscisas en ningún otro punto a distancia finita del origen de coordenadas. Así, pues, el eje de abscisas es una asíntota horizontal, pues $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f(x)=0$.

Con la información recogida ya podemos trazar la curva que corresponde a la función, y es la siguiente:

[nota del autor]