Sea la función logística $f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$. Se pide: (a) calcular las coordenadas del punto de inflexión; (b) determinar las rectas asíntotas horizontales; (c) calcular la ordenada en el origen, y, (d) representar el gráfico de la función.

Enunciado:
Sea la función logística $f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$. Se pide: (a) calcular las coordenadas del punto de inflexión; (b) determinar las rectas asíntotas horizontales; (c) calcular la ordenada en el origen, y, (d) representar el gráfico de la función.

Resolución:
(a)
La condición necesaria para que un valor de $x$ corresponda a un punto de inflexión es $f''(x)=0$. Procedamos, pues, a calcular la primera derivada y, a partir de ella, la segunda:

$f'(x)=\big((1+e^{-x}\big)'=-\dfrac{1}{2}\,\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$
derivando otra vez llegamos a
$f''(x)=-\dfrac{1}{2}\,\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^3}\,(e^{-x}-1)$
luego
$-\dfrac{1}{2}\,\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^3}\,(e^{-x}-1)=0 \Leftrightarrow e^{-x}-1=0 \Leftrightarrow x=0$
y la ordenada correspondiente a dicho punto de inflexión es $f(0)=\dfrac{1}{1+e^0}=\dfrac{1}{2}$. Así, pues, el único punto de inflexión que tiene esa función es $I(0\,,\,1/2)$

$\blacksquare$

[nota del autor]