La duración en horas de un determinado tipo de bombilla se puede aproximar por una distribución normal con media $\mu$ y desviación típica $\sigma=1940$ horas. Se toma una muestra aleatoria simple. Se pide: a) ¿ Qué tamaño muestral se necesitaría como mínimo para que, con un nivel de confianza del $95\,\%$, el valor absoluto de la diferencia entre $\mu$ y la duración media observada $\bar{x}$ de esas bombillas fuese inferior a $100$ horas ? b) Si el tamaño de la muestra es $n=225$ y la duración media observada es $\bar{x}=12415$ horas, obténgase un intervalo de confianza al $90\,\%$ para la media poblacional $\mu$.

Enunciado:
La duración en horas de un determinado tipo de bombilla se puede aproximar por una distribución normal con media $\mu$ y desviación típica $\sigma=1940$ horas. Se toma una muestra aleatoria simple. Se pide:

    a) ¿ Qué tamaño muestral se necesitaría como mínimo para que, con un nivel de confianza del $95\,\%$, el valor absoluto de la diferencia entre $\mu$ y la duración media observada $\bar{x}$ de esas bombillas fuese inferior a $100$ horas ?

    b) Si el tamaño de la muestra es $n=225$ y la duración media observada en la muestra es $\bar{x}=12415$ horas, obténgase un intervalo de confianza al $90\,\%$ para la media poblacional $\mu$.

Resolución:
(a)
Intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$:
  $I_{\mu}=[\bar{x}-z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\,\,,\,\,\bar{x}+z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}]$, esto es $\mu = \bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, donde $z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ representa el error máximo y, por tanto, la semiamplitud del intervalo de incertidumbre, con lo cual podemos escribir: $|\mu - \bar{x}|=z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
Siendo $1-\alpha=0'95$, entonces $\alpha=0'05$, y encontramos, en las tablas de la función de distribución de la variable aleatoria normal tipificada $Z \sim N(0,1)$, que $z_{\alpha/2}=z_{0'05/2}=z_{0'025}=1'96$; así, pues, siendo $1'96\cdot \dfrac{1940}{\sqrt{n}} \prec 100$ ( según el enunciado ), vemos que, elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad, $n \succ \big( \dfrac{1'96 \cdot 1940}{100}\big)^2 \approx 1446$, luego $n \succ 1446$.

(b)
El intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$ es, ahora,   $I_{\mu}=[12415-z_{0'10/2}\,\dfrac{1940}{\sqrt{225}}\,\,,\,\,12415+z_{0'10/2}\,\dfrac{1940}{\sqrt{225}}]$. Y como $z_{0'10/2}=z_{0'05}$ es tal que $P\{Z \ge z_{0'05}\}=0'05$, es decir, $P\{Z \le z_{0'05}\}=F(z_{0'05})=1-0'05=0'95$, encontramos ( en el interior de las tablas de la función de distribución de la variable normal tipificada $Z \sim N(0,1)$ ) que ( fila y columna ) $z_{0'05} \approx 1'65$ ( aproximando a dos cifras decimales dicha abscisa ). Así, pues, el intervalo de confianza pedido es
$I_{\mu}=[12415-1'65\,\dfrac{1940}{15}\,\,,\,\,12415+1'65\,\dfrac{1940}{15}]$ y aproximando los extremos del mismo a las unidades: $I_{\mu}=[12202\,\,,\,\,12628]$

$\blacksquare$

[nota del autor]