Una empresa de embalajes fabrica cajas de cartón con tapa. Las cajas son prismas rectos de $9000 \, \text{cm}^3$ de volumen y base rectangular de largo igual al doble de su anchura. Calcúlense las dimensiones en ctiímetro ( largo, anchura y altura ) que ha de tener la caja para que la superficie empleada en su gabricación sea mínima.

Enunciado:
Una empresa de embalajes fabrica cajas de cartón con tapa. Las cajas son prismas rectos de $9000 \, \text{cm}^3$ de volumen y base rectangular de largo igual al doble de su anchura. Calcúlense las dimensiones en centímetros ( largo, anchura y altura ) que ha de tener la caja para que la superficie empleada en su gabricación sea mínima.

Resolución:
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Nota ( sobre las unidades empleadas en el desarrollo del problema ): Por comodidad, a lo largo de la resolución del problema, trabajaremos en decímetros cúbicos ( luego las longitudes salen expresadas en decímetros y el área en decímetros cuadrados ). Al final del problema, daremos el resultado ( medidas del largo, ancho y alto ) expresado en centímetros, tal como se pide en el enunciado.
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Denotemos por $x$ el largo de la base del prisma recto de base rectangular, por lo tanto $2\,x$ es la anchura de la base, y $9/2\,x^2$ representa la altura. La función "área de la superficie del desarrollo plano de la caja", se escribirá, por tanto, de la siguiente forma: $A(x)=2\,\big(\dfrac{9}{2x^2}\,2x+\dfrac{9}{2x^2}\,x+2x \cdot x \big)$, que, simplificada, queda $A(x)=\dfrac{27}{x}+4\,x^2$

La condición necesaria de existencia de extremos relativos es $A'(x)=0$. Así, pues, derivando e igualando a cero nos encontramos con $-\dfrac{27}{x^2}+8\,x = 0 \Leftrightarrow 8\,x^3=27 \Leftrightarrow x=3/2$.

Examinemos, ahora, la naturaleza de este extre relativo. Observemos que a la izquierda del mismo el signo de la derivada es negativo ( en efecto, eligiendo, por ejemplo $x=1 \prec 3/2$ vemos que $A'(1) \prec 0$ ), y, a su derecha es positivo ( en efecto, eligiendo, pongamos que $x=2 \succ 3/2$, encontramos que $A'(2) \succ 0$ ). De ello deducimos que el punto estacionario encontrado, de abscisa $3/2$, corresponde a un mínimo local o relativo, que, además, no puede ser, en este caso, otro que el mínimo absoluto de la función área.

En conclusión: las medidas que debe tener la caja para que el área de la superficie del desarrollo plano sea mínima deben ser: $3/2 \, \text{dm}=15 \, \text{cm}$ de largo; $2\cdot (3/2) \, \text{dm}=30 \, \text{cm}$ de anchura, y $\dfrac{9}{2\cdot (3/2)^2}=2 \, \text{dm}=20 \, \text{cm}$ de altura.

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[nota del autor]