De una urna que contiene $3$ bolas blancas y $2$ bolas negras se hacen $100$ extracciones sucesivas con reemplazamiento. Se pide la probabilidad de que se obtenga lo siguiente: a) el mismo número de bolas blancas y de bolas negras b) un número de bolas blancas superior a $40$ e inferior a $60$

Enunciado:
De una urna que contiene $3$ bolas blancas y $2$ bolas negras se hacen $100$ extracciones sucesivas con reemplazamiento. Se pide la probabilidad de que se obtenga lo siguiente:
    a) el mismo número de bolas blancas y de bolas negras
    b) un número de bolas blancas superior a $40$ e inferior a $60$

Resolución:
Sea $X$ la variable aleatoria "número de bolas blancas resultantes", cuyos valores posibles son $\{0,1,2,\ldots,100\}$. El experimento aleatorio consiste en un conjunto de pruebas de Bernoulli, por lo que $X$ sigue una distribución binomial $X \sim B(n,\,,p)$, donde $n=100$ y $p$ es la probabilidad de obtener bola blanca en cualquiera de esas pruebas ( probabilidad de 'éxito' ), que es $\dfrac{3}{2+3}=\dfrac{3}{5}$, y $1-p$ la probabilidad de obtener bola negra, que es $\dfrac{2}{5}$. Por otra parte al ser $p=\dfrac{3}{2+3} \succ 0'5$ y $n\,(1-p)=100\cdot \dfrac{2}{5} \succ 5$ podemos aproximar la variable aleatoria binomial discreta $X$ por una variable aleatoria continua, $Y \sim N(np\,,\,\sqrt{np(1-p)}$, donde $\mu=np=60\cdot \dfrac{3}{5}=60$ y $\sigma=\sqrt{60\cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5}} \approx 4'90$; cosa que es muy conveniente a efectos de cálculo, pues sin la ayuda de un ordenador sería inviable operar con la distribución binomial a la hora de dar una respuesta al segundo apartado.

(a)
Al interesarnos por obtener el mismo número de bolas blancas que de bolas negras ( $50$ para para cada una):
$P\{X=50)\approx P\{50-0'5 \le Y \le 50+0'5\}$ ( haciendo la corrección de continuidad )
  = $P\{\dfrac{49'5-60}{4'90} \le Z \le \dfrac{50'5-60}{4'90}\}$ ( realizando la tipificación de la variable $Y$, es decir, la transformación: $Y \rightarrow \dfrac{Y-60}{4'90}=Z$, con $Z \sim N(0,1)$ )
  = $P\{-2'14 \le Z \le -1'94 \}$ ( operando las abscisas con dos cifras decimales )
  = $P\{Z\le -1'94\}-P\{Z\le -2'14\}$
  = $P\{Z\ge 1'94\}-P\{Z\ge 2'14\}$
  = $(1-P\{Z\le 1'94\})-(1-P\{Z\le 2'14\})$
  = $P\{Z\le 2'14\}-P\{Z\le 1'94\}$
  = $F(2'14)-F(1'94)$ (consultando las tablas de la función de distribución de la variable aleatoria normal tipificada $Z \sim N(0,1)$ )
  = $0'9838-0'9738$
  = $0'0100$

(b)
$P\{40 \prec X \prec 60) \approx P\{40-0'5 \le Y \le 60+0'5 \}$ ( aproximando $X \sim B(n,p)$ por $Y \sim N(np\,,\,\sqrt{np(1-p)}$ y haciendo la corrección de continuidad )
  $= P\{\dfrac{39'5-60}{4'90} \le Z \le \dfrac{60'5-60}{4'90} \}$ ( tipificando la variable $Y$, donde $Z \sim N(0,1)$ )
  $= P\{-4'18 \le Z \le 0'10 \}$
  $= P\{Z \le 0'10 \}-P\{Z \le -4'18 \}$
  $= P\{Z \le 0'10 \}-P\{Z \ge 4'18 \}$
  $= P\{Z \le 0'10 \}-( 1-P\{Z \le 4'18 \})$
  $\approx P\{Z \le 0'10 \}-( 1-1)=P\{Z \le 0'10 \}$ ( al ser $P\{Z \le 4'18 \} \approx 1 $ )
  $=0'5398$

$\blacksquare$

[nota del autor]