Aplicando el Teorema de Rolle, demuéstrese que la función $f(x)=3\,x^5+7x+1$ no puede tener más de una raíz.

Enunciado:
Aplicando el Teorema de Rolle, demuéstrese que la función $f(x)=3\,x^5+7x+1$ no puede tener más de una raíz.

Resolución:
La función dada es de tipo polinómico ( continua y derivable en todo el dominio de definición, que es $\mathbb{R}$ ) por lo que podemos aplicar el Teorema de Rolle en cualquier intervalo de $\mathbb{R}$. Supongamos que $f(x)$ tenga dos raíces, $r_1$ y $r_2$, entonces, según dicho teorema, debe existir por lo menos un punto cuya abscisa se encuentre entre ambas raíces y tal que la derivada sea nula en dicho punto; veamos cuál es su derivada y cuáles son sus raíces: $f'(x)=15\,x^4+7$, y, al no tener dicha función ninguna raíz real, ya que $0=15\,x^4+7=0 \Leftrightarrow x=\sqrt[4]{-\dfrac{7}{15}} \notin \mathbb{R}$, se desprende de ello que la suposición de partida es falsa, luego, a lo sumo, sólo puede haber una raíz.
$\blacksquare$

[nota del autor]