Sea la función polinómica $f(x)=x^3+4\,x^2+x-6$. Se pide ...

Enunciado:
Sea la función polinómica $f(x)=x^3+4\,x^2+x-6$. Se pide:
    a) determinar las raíces de $f$
    b) hallar la ordenada en el origen de $f$
    c) determinar los extremos relativos de dicha función
    d) hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento
    e) calcular los puntos de inflexión de $f(x)$
    f) decir cuáles son los intervalos de concavidad y convexidad de $f(x)$
    g) realizar un gráfico esquemático de $f(x)$

Resolución:

(a)
Las raíces de $f(x)$ es el conjunto de valores $x:\,f(x)=0$, por tanto para encontrarlas debemos resolver la ecuación polinómica de grado $3$, $x^3+4\,x^2+x-6=0$. Empecemos probando las posibles raíces enteras, que sabemos ( propiedad ) que hemos de buscarlas entre los divisores del término independiente, $a_0=-6$; sin mucho esfuerzo ( dividiendo por Ruffini y viendo si el resto es cero ( teorema del resto ) podemos comprobar que $x=-3$ es raíz de $f(x)$, obteniendo una primera factorización del polinomio $x^3+4\,x^2+x-6=(x-(-3))(x^2+x-2)$, por lo que para encontrar otras raíces deberemos buscarlas en el polinomio factor $x^2+x-2$; así, igualando a $0$ y resolviendo la ecuación vemos que $x^2+x-2=0$ tiene dos soluciones, $1$ y $-2$. En resumen, las raíces de $f(x)$ son $\{-3\,,\,1\,,\,2\}$.

(b)
La ordenada en el origen de una función es la imagen de $0$; en nuestro caso, $f(0)=0^3+4\,0^2+0-6=-6$. Así, pues, podemos decir que la curva dada por $f(x)$ corta al eje de ordenadas $Oy$ en el punto de coordenadas $(0\,,\,-6)$.

(c)
Las abscisas de los extremos relativos ( también llamados puntos estacionarios ) cumplen la condición necesaria $f'(x)=0$. La función derivada de $f(x)$ es $f'(x)=3x^2+8x+1$; por tanto, imponiendo dicha condición necesaria, $3x^2+8x+1=0$, encontramos dos soluciones de dicha ecuación ( raíces de $f'(x)$ ), que son $x_1=\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6} \approx -2,5$ y $x_2=\dfrac{8-\sqrt{52}}{6} \approx -0,1$. Las ordenadas correspondientes a ambas abscisas son $y_1 = f(x_1) \approx 0,9$ y $y_2 = f(x_2) \approx -6,1$. A continuación, analicemos qué tipo de extremos relativos son uno y otro; para ello, utilizaremos el criterio del signo de la segunda derivada en sendos puntos. Utilizamos este criterio ( podríamos optar también por el criterio del signo de la primera derivada ) por ser fácilmente derivable la función, que es de tipo polinómico; así, pues, derivando la función primera derivada $f'(x)$ que ya conocemos, obtenemos $f''(x)=6x+8$. Evaluando dicha función en los puntos estacionarios encontramos $f''(\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6} \prec 0$, luego hay un máximo local en el punto de coordenadas
$\text{Máx}\big(\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6}\,,\,f(\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6})\big)$; por otra parte $f''(\dfrac{-8+\sqrt{52}}{6}) \succ 0$, luego la función presenta un mínomo local en el punto de coordenadas $\text{Mín}\big(\dfrac{-8+\sqrt{52}}{6}\,,\,f(\dfrac{-8+\sqrt{52}}{6})\big)$ mínimo local.

(d)
Los intervalos de crecimiento ( puentos en los que la derivada es positiva ) y decrecimiento ( puntos en los que la derivada es negativa ) se desprenden del resultado anterior y son: $$I_1^{\uparrow}=(-\infty\,,\,\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6}) \subset \mathbb{R})$$
$$I_2^{\downarrow}=(\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6}\,,\,\dfrac{-8+\sqrt{52}}{6}) \subset \mathbb{R}$$
$$I_3^{\uparrow}=(\dfrac{-8+\sqrt{52}}{6}\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R})$$


(e)
Los puntos de inflexión son los que separan intervalos de signo opuesto en curvatura ( esto es los puntos que separan regiones convexas de regiones cóncavas ), y, por tanto, se calculan igualando a cero la segunda derivada ( por ser la curvatura proporcional a la segunda derivada): sus soluciones son, pues, las abscisas de dichos puntos. Entonces, imponiendo esta condición necesaria: $f''(x)=0$, esto es, $6x+8=0$, encontramos un único punto de inflexión, cuya abscisa es $x=-\dfrac{4}{3} \approx -1,3$, y su ordenada es $f\big(-\dfrac{4}{3}\big)=-\dfrac{70}{27} \approx - 2,7$

(f)
La función es cóncava en los puntos en que la función segunda derivada es negativa (esto es, en los puntos en los que la recta tangente a la curva queda por encima de las rectas secantes paralelas a la misma), y es convexa en los puntos en los que la función segunda derivada es positiva (esto es, en los puntos en los que la recta tangente queda por debajo de las rectas secantes paralelas a la misma), separados por los puntos de inflexión; por tanto:
$$I_{concavidad}=\big(-\infty\,,\,-\dfrac{4}{3}\big)$$
$$I_{convexidad}=\big(-\dfrac{4}{3}\,,\,+\infty \big)$$

(g)

Nota:   No se piden las asíntotas ya que es bien sabido que las funciones polinómicas no las tienen.

$\blacksquare$

[nota del autor]