Se quiere construir un marco de una ventana rectangular de $8\,\text{m}^2$. El metro lineal de tramos horizontales cuesta $2,50$ euros, mientras que el metro lineal de tramos verticales cuesta $5$ euros. Determinar las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo, y hallar el precio de dicho marco.

Enunciado:
Se quiere construir un marco de una ventana rectangular de $8\,\text{m}^2$. El metro lineal de tramos horizontales cuesta $2,50$ euros, mientras que el metro lineal de tramos verticales cuesta $5$ euros. Determinar las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo, y hallar el precio de dicho marco.

Resolución:
Denotemos por $b$ la longitud de un tramo horizontal, luego $\dfrac{8}{b}$ representa la longitud de un tramo vertical; de aquí, podemos escribir la función de coste como $f(b)=2\,(2,50 \, b+5\cdot \dfrac{8}{b})$, donde $b$ es una magnitud positiva.

Imponiendo la condición necesaria para la existencia de extremos relativos ( entre ellos, los posibles mínimos relativos ): $f'(b)=0$, luego $2,50 - \dfrac{40}{b^2}=0 \Leftrightarrow b=4$, con lo cual, la longitud de cada tramo vertical ( que denotamos por $a$ ) es $a=8/4=2$ ( las unidades vienen expresadas en metros ).

Es inmediato comprobar que el signo de la derivada es negativo para $b <4$ y positivo para $b > 4$, luego la función $f$ presenta un mínimo relativo para $b=4 \, \text{m}$ y al no haber otros extremos relativos, es el mínimo absoluto en el dominio de definición de la función, luego podemos concluir que las dimensiones del marco que minimizan el coste del marco corresponden a un rectángulo que tiene: $4\,\text{m}$ de longitud para cada tramo horizontal y $2\,\text{m}$ de longitud para cada tramo vertical.

Así, pues, el coste mínimo del marco es $f(4)=2\,(2,50\cdot \dfrac{8}{4}+5\cdot 4)=50$ euros
$\blacksquare$

[nota del autor]