Calcular el siguiente límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg(\dfrac{x}{x+1}\Bigg)^{x+2}$

Enuncido:
Calcular el siguiente límite
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg(\dfrac{x}{x+1}\Bigg)^{x+2}$

Solución:
Teniendo en cuenta que, dada una función $f(x)$ que tiende a $\infty$, se cumple que (propiedad):
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\bigg(1+\dfrac{1}{f(x)}\bigg)^{f(x)}=e$
entonces, conformando el argumento del límite en la forma conveniente par aplicar dicha propiedad,
    $\bigg( \dfrac{x}{x+1}\bigg)^{x+2}=\bigg(1+\dfrac{x}{x+1}-1\bigg)^{x+2}=\bigg(1+\dfrac{1}{-(x+1)}\bigg)^{x+2}$
      $=\Bigg(\bigg(1+\dfrac{1}{-(x+1)}\bigg)^{-(x+1)}\Bigg)^{\dfrac{x+2}{-(x+1)}}$
con lo cual
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\Bigg( \Bigg(\bigg(1+\dfrac{1}{-(x+1)}\bigg)^{-(x+1)}\Bigg)^{\dfrac{x+2}{-(x+1)}}\Bigg)$
          $=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\Bigg(\bigg(1+\dfrac{1}{-(x+1)}\bigg)^{-(x+1)}\Bigg)^{\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, -\dfrac{x+2}{(x+1)}}$
          $=\displaystyle e^{\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, -\dfrac{x+2}{(x+1)}}$
          $=\displaystyle e^{-1}$
          $=\displaystyle \dfrac{1}{e}$

Otra manera de hacerlo:
Pasando al límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo
      $1^{\infty}$
Denotemos por $\lambda$ al valor del límite. Entonces, de
    $\displaystyle \lambda= \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg(\dfrac{x}{n+1}\Bigg)^{x+2}$
extraemos logaritmos neperianos en cada miembro
    $\displaystyle \ln\,\lambda= \ln\,\Bigg( \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)^{x+2}\Bigg)$
y por la propiedad de reciprocidad entre límites y exponenciales,
    $\displaystyle \lambda= e^{\ln\,\Bigg( \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Big(\dfrac{n}{n+1}\Big)^{n+2}\Bigg)} \quad \quad \quad (1)$

Para determinar $\lambda$ es necesario, pues, calcular el valor del exponente del segundo miembro
    $\displaystyle \ln\,\Bigg( \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)^{x+2}\Bigg)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \ln \Big( \dfrac{x}{x+1}\Big)^{x+2}$
        $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg( (x+2)\,\ln \Big( \dfrac{x}{x+1}\Big)\Bigg)$
        $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg( \dfrac{\ln \Big( \dfrac{x}{x+1}\Big)}{\dfrac{1}{(x+2)}}\Bigg)$
y, pasando al límite, nos topamos, ahora, con una indeterminación del tipo
    $\dfrac{0}{0}$
que resolveremos mediante la regla de l'Hôpital
        $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg( \dfrac{\ln \Big( \dfrac{x}{x+1}\Big)}{\dfrac{1}{(x+2)}}\Bigg)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg( \dfrac{\Big(\ln \big( \dfrac{x}{x+1}\big)\Big)^{'}}{\Big(\dfrac{1}{(x+2)}\Big)^{'}}\Bigg)=$
    $\displaystyle=\lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg( \dfrac{\dfrac{x+1}{x}\cdot\big(\dfrac{x}{x+1}\big)^{'}}{\displaystyle -\frac{1}{(x+2)^2}}\Bigg)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \dfrac{\dfrac{1}{x\,(x+1)}}{-\dfrac{1}{(x+2)^2}}=$
    $=-\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \dfrac{x^2+4\,x+4}{x^2+x}=-1$
Entonces, de (1), podemos concluir que el valor del límite pedido es
      $\lambda=e^{-1}=\dfrac{1}{e}$
esto es
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg(\dfrac{x}{x+1}\Bigg)^{x+2}=\dfrac{1}{e}$

$\square$

[nota del autor]