Calcúlense los siguientes límites empleando la regla de l'Hôpital

Enunciado:
Calcúlense los siguientes límites empleando la regla de l'Hôpital:

    a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{x^2-2x+1}{\ln x}$

    b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{3\,x^2}$

Resolución:

(a)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{x^2-2x+1}{\ln x}=\dfrac{0}{0}$ ( al pasar directamente al límite se obtiene este tipo de indeterminación )
  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{x^2-2x+1}{\ln x}=\lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{(x^2-2x+1)'}{(\ln x)'}$ ( aplicando la regla de l'Hôpital )
    $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{2x-2}{1/x}=\dfrac{0}{1}=0$

(a)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{3\,x^2}=\dfrac{\infty}{\infty}$ ( al pasar directamente al límite se obtiene este tipo de indeterminación )
  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{(e^x)'}{(3\,x^2)'}$ ( aplicando la regla de l'Hôpital )
    $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{6x}=\dfrac{\infty}{\infty}$ ( nos encontramos con el mismo tipo de indeterminación )
      $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{(e^x)'}{(6x)'}$ ( volvemos a aplicar la regla de l'Hôpital )
        $\displaystyle =\lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{6}=\dfrac{e^{+\infty}}{6}=\dfrac{+\infty}{6}=+\infty$

$\blacksquare$

[nota del autor]