Calcular los valores de los coeficientes $a$, $b$ i $c$ para que las curvas ...

Enunciado:
(a) Calcular los valores de los coeficientes $a$, $b$ i $c$ para que las curvas correspondientes a las funciones
      $f(x)=x^3+a\,x+b$
y
      $g(x)=x^3+c\,x^2-2$
tengan la misma recta tangente en el punto $P(1,1)$.

(b) Determinar la ecuación de dicha recta tangente

Solución:

  (a)
Si las rectas tangentes a $f$ y $g$ en el punto $P(1,1)$ son las mismas, las pendientes deben tener el mismo valor y, por tanto, tienen que coincidir los valores de las derivadas de las funciones $f$ i $g$ para $x=x_P=1$

Derivando ambas funciones
    $f^{'}(x)=3\,x^2+a$
    $g^{'}(x)=3\,x^2+2\,c\,x$
y sustituyendo $x$ por $1$, encontramos:
    $f^{'}(1)=3+a$
    $g^{'}(1)=3+2\,c$
luego, igualando:
    $f^{'}(1)=g^{'}(1) \Rightarrow 3+a=3+2\,c$
y simplificando
    $a=2\,c \quad \quad \quad (1)$

Como los valores de $f(x)$ i $g(x)$ han de ser igual a $1$ en $x=x_P=1$, tenemos que
si $f(1)=1$,
    $1+a+b=1$
y, simplificando,
    $b=-a \quad \quad \quad (2)$
por otro lado, si
    $g(1)=1$, encontramos
    $1+c-2=1$
y simplificando
    $c=2 \quad \quad \quad (3)$

Poniendo (3) en (1),
    $a=4$
y, de (2),
    $b=-4$

Resumiendo esta primera parte: las funciones $f$ y $g$ se concretan de la siguiente forma:
    $f(x)=x^3+4\,x-4$
y
    $g(x)=x^3+2\,x^2-2$


  (b)
Determinaremos, a continuación, la ecuación de la recta tangente $t$ a $f$ i $g$ en el punto $P(1,1)$, que, en forma explícita, ha de ser de la forma
    $t:\,y=m\,x+n$
Calculemos, pues, los valores de la pendiente, $m$, y el de la ordenada en el origen, $n$.
Recordando lo obtenido al principio, la pendiente, $m$, de la recta tangente es igual a
    $f^{'}(1)=3+a=3+4=7$
Nota:   si la calculamos con $g'$, esto es, haciendo $g^{'}(1)$, tenemos que obtener el mismo valor; en efecto,
    $g^{'}(1)=3+2\,c=3+2\cdot 2 =3+4=7$

Así, pues,
    $t:\,y=7\,x+n$

Y, para calcular el valor de la ordenada en el origen, utilizamos la información de las coordenadas del punto $P(1,1)$, que pertenece a la recta $t$:
    $1=7\cdot 1+n \Rightarrow n=-6$
de donde
    $t\,:y=7\,x-6$

$\square$

[nota del autor]