Enunciado:
Sea la variable aleatoria normal $X \sim N(2\,,\,1'5)$. Se pide:
a) El valor de la abscisa $a$ tal que $P\{|X| \le a \}=0'4500$
b) El valor de la abscisa $b$ tal que $P\{|X| \ge b \}=0'3000$
c) $P\{|X+2| \le 1 \}$
d) $P\{|X-2| \ge 1 \}$
Resolución:
(a)
$P\{|X| \le a \}=0'4500$
tipificando la variables, podemos escribir lo anterior de la forma
$P\{|Z| \le \dfrac{a-2}{1'5} \}=0'4500 \Rightarrow P\{Z \ge \dfrac{a-2}{1'5} \}=\dfrac{1-0'4500}{2}=0'2750$ ( probabilidad de la cola derecha )
por lo tanto
$P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}=1-0'2750=0'7250$
y consultando las tablas de la función de distribución de $Z \sim N(0,1)$ encontramos
$\dfrac{a-2}{1'5}\approx 0'60$, de donde obtenemos $a \approx 0'60\cdot 1'5 + 2 = 2'90$
Otra manera de hacerlo:
$P\{|X| \le a \}=0'4500$
$P\{-a \le X \le a \}=0'4500$
$P\{X \le a \}-P\{X \le -a \}=0'4500$
$P\{X \le a \}-P\{-X \ge a \}=0'4500$
tipificando la variable, $Z = \dfrac{X-2}{1'5}$, podemos escribir lo anterior de la forma
$P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}-P\{-Z \ge \dfrac{a-2}{1'5} \}=0'4500$
$P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}-P\{Z \le -\dfrac{a-2}{1'5} \}=0'4500$
$P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}-P\{Z \ge \dfrac{a-2}{1'5} \}=0'4500$
$P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}-(1-P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \})=0'4500$
$2\,P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}-1=0'4500$
$P\{Z \le \dfrac{a-2}{1'5} \}=F(\dfrac{a-2}{1'5})=\dfrac{1+0'4500}{2}=0'7250$
y de las tablas de la función de distribución $Z \sim N(0,1)$ vemos que
$\dfrac{a-2}{1'5} \approx 0'60$ con lo cual $a\approx 1'5\cdot 0'60+2=2'90$
(b)
$P\{|X| \ge b \}=0'3000 \Rightarrow P\{|X| \le b \}=1-0'3000=0'7000$
tipificando la variables, podemos escribir lo anterior de la forma
$P\{|Z| \le \dfrac{b-2}{1'5} \}=0'7000 \Rightarrow P\{Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}=\dfrac{1-0'7000}{2}=0'1500$ ( probabilidad de la cola derecha )
por lo tanto
$P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \}=1-0'1500=0'8500$
y consultando las tablas de la función de distribución de $Z \sim N(0,1)$ encontramos
$\dfrac{b-2}{1'5}\approx 1'04$, de donde obtenemos $b \approx 1'04 \cdot 1'5 + 2 = 3'56$
Otra manera de hacerlo:
$P\{|X| \ge b \}=0'3000$
$P\{X \ge b \}+P\{X \le -b \}=0'3000$
$P\{X \ge b \}+P\{-X \ge b \}=0'3000$
tipificando la variable, $Z = \dfrac{X-2}{1'5}$, podemos escribir lo anterior de la forma
$P\{Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}+P\{-Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}=0'3000$
$P\{Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}+P\{Z \le -\dfrac{b-2}{1'5} \}=0'3000$
$P\{Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}+P\{Z \ge \dfrac{b-2}{1'5} \}=0'3000$
$(1-P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \})+(1-P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \})=0'3000$
$2\,(1-P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \})=0'3000$
$1-P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \}=0'1500$
$P\{Z \le \dfrac{b-2}{1'5} \}=F(\dfrac{b-2}{1'5})=1-0'1500=0'8500$
y de las tablas de la función de distribución $Z \sim N(0,1)$ encontramos
$\dfrac{b-2}{1'5} \approx 1'04$ con lo cual $b \approx 1'5\cdot 1'04+2=3'56$
(c)
$P\{|X+2| \le 1 \}$
$=P\{-1 \le X+2 \le 1 \}$
$=P\{-1 - 2\le X \le 1 - 2 \}=P\{-3 \le X \le -1\}$
$=P\{\dfrac{-3-2}{1'5} \le \dfrac{X-2}{1'5} \le \dfrac{-1-2}{1'5}\}$
$= P\{ -\dfrac{10}{3} \le Z \le -2 \}=P\{Z\le -2\}-P\{Z\le -\dfrac{10}{3}\}$
$=P\{Z\ge 2\}-P\{Z\ge \dfrac{10}{3}\}$
$= (1-P\{Z\le 2\})-(1-P\{Z\le \dfrac{10}{3}\})=P\{Z \le \dfrac{10}{3}\})-P\{Z\le 2\})$
$=F(\dfrac{10}{3})-F(2) \approx 1 - 097772 = 0'0228$
(d)
$P\{|X-2| \le 1 \}$
$=P\{-1 \le X-2 \le 1 \}$
$=P\{-1 + 2 \le X \le 1 + 2 \}=P\{1 \le X \le 3\}$
$=P\{X \le 3\}-P\{X \le 1\}$
tipificando:
$=P\{Z \le \dfrac{3-2}{1'5}\}-P\{Z \le \dfrac{1-2}{1'5}\}$
$=P\{Z \le \dfrac{2}{3}\}-P\{Z \le -\dfrac{2}{3}\}$
$=P\{Z \le \dfrac{2}{3}\}-P\{Z \ge +\dfrac{2}{3}\}$
$=P\{Z \le \dfrac{2}{3}\}-(1-P\{Z \le +\dfrac{2}{3}\})$
$=2\,P\{Z \le \dfrac{2}{3}\}-1$
$=2\,F(\dfrac{2}{3})-1$
$=2\cdot 0'7486-1=0'4972$
$\blacksquare$
lunes, 28 de abril de 2014
La duración en horas de un determinado tipo de bombilla se puede aproximar por una distribución normal con media $\mu$ y desviación típica $\sigma=1940$ horas. Se toma una muestra aleatoria simple. Se pide: a) ¿ Qué tamaño muestral se necesitaría como mínimo para que, con un nivel de confianza del $95\,\%$, el valor absoluto de la diferencia entre $\mu$ y la duración media observada $\bar{x}$ de esas bombillas fuese inferior a $100$ horas ? b) Si el tamaño de la muestra es $n=225$ y la duración media observada es $\bar{x}=12415$ horas, obténgase un intervalo de confianza al $90\,\%$ para la media poblacional $\mu$.
Enunciado:
La duración en horas de un determinado tipo de bombilla se puede aproximar por una distribución normal con media $\mu$ y desviación típica $\sigma=1940$ horas. Se toma una muestra aleatoria simple. Se pide:
a) ¿ Qué tamaño muestral se necesitaría como mínimo para que, con un nivel de confianza del $95\,\%$, el valor absoluto de la diferencia entre $\mu$ y la duración media observada $\bar{x}$ de esas bombillas fuese inferior a $100$ horas ?
b) Si el tamaño de la muestra es $n=225$ y la duración media observada en la muestra es $\bar{x}=12415$ horas, obténgase un intervalo de confianza al $90\,\%$ para la media poblacional $\mu$.
Resolución:
(a)
Intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$:
$I_{\mu}=[\bar{x}-z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\,\,,\,\,\bar{x}+z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}]$, esto es $\mu = \bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, donde $z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ representa el error máximo y, por tanto, la semiamplitud del intervalo de incertidumbre, con lo cual podemos escribir: $|\mu - \bar{x}|=z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
Siendo $1-\alpha=0'95$, entonces $\alpha=0'05$, y encontramos, en las tablas de la función de distribución de la variable aleatoria normal tipificada $Z \sim N(0,1)$, que $z_{\alpha/2}=z_{0'05/2}=z_{0'025}=1'96$; así, pues, siendo $1'96\cdot \dfrac{1940}{\sqrt{n}} \prec 100$ ( según el enunciado ), vemos que, elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad, $n \succ \big( \dfrac{1'96 \cdot 1940}{100}\big)^2 \approx 1446$, luego $n \succ 1446$.
(b)
El intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$ es, ahora, $I_{\mu}=[12415-z_{0'10/2}\,\dfrac{1940}{\sqrt{225}}\,\,,\,\,12415+z_{0'10/2}\,\dfrac{1940}{\sqrt{225}}]$. Y como $z_{0'10/2}=z_{0'05}$ es tal que $P\{Z \ge z_{0'05}\}=0'05$, es decir, $P\{Z \le z_{0'05}\}=F(z_{0'05})=1-0'05=0'95$, encontramos ( en el interior de las tablas de la función de distribución de la variable normal tipificada $Z \sim N(0,1)$ ) que ( fila y columna ) $z_{0'05} \approx 1'65 $ ( aproximando a dos cifras decimales dicha abscisa ). Así, pues, el intervalo de confianza pedido es
$I_{\mu}=[12415-1'65\,\dfrac{1940}{15}\,\,,\,\,12415+1'65\,\dfrac{1940}{15}]$ y aproximando los extremos del mismo a las unidades: $I_{\mu}=[12202\,\,,\,\,12628]$
$\blacksquare$
La duración en horas de un determinado tipo de bombilla se puede aproximar por una distribución normal con media $\mu$ y desviación típica $\sigma=1940$ horas. Se toma una muestra aleatoria simple. Se pide:
a) ¿ Qué tamaño muestral se necesitaría como mínimo para que, con un nivel de confianza del $95\,\%$, el valor absoluto de la diferencia entre $\mu$ y la duración media observada $\bar{x}$ de esas bombillas fuese inferior a $100$ horas ?
b) Si el tamaño de la muestra es $n=225$ y la duración media observada en la muestra es $\bar{x}=12415$ horas, obténgase un intervalo de confianza al $90\,\%$ para la media poblacional $\mu$.
Resolución:
(a)
Intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$:
$I_{\mu}=[\bar{x}-z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\,\,,\,\,\bar{x}+z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}]$, esto es $\mu = \bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, donde $z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ representa el error máximo y, por tanto, la semiamplitud del intervalo de incertidumbre, con lo cual podemos escribir: $|\mu - \bar{x}|=z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
Siendo $1-\alpha=0'95$, entonces $\alpha=0'05$, y encontramos, en las tablas de la función de distribución de la variable aleatoria normal tipificada $Z \sim N(0,1)$, que $z_{\alpha/2}=z_{0'05/2}=z_{0'025}=1'96$; así, pues, siendo $1'96\cdot \dfrac{1940}{\sqrt{n}} \prec 100$ ( según el enunciado ), vemos que, elevando al cuadrado ambos miembros de la desigualdad, $n \succ \big( \dfrac{1'96 \cdot 1940}{100}\big)^2 \approx 1446$, luego $n \succ 1446$.
(b)
El intervalo de confianza de la media poblacional $\mu$ es, ahora, $I_{\mu}=[12415-z_{0'10/2}\,\dfrac{1940}{\sqrt{225}}\,\,,\,\,12415+z_{0'10/2}\,\dfrac{1940}{\sqrt{225}}]$. Y como $z_{0'10/2}=z_{0'05}$ es tal que $P\{Z \ge z_{0'05}\}=0'05$, es decir, $P\{Z \le z_{0'05}\}=F(z_{0'05})=1-0'05=0'95$, encontramos ( en el interior de las tablas de la función de distribución de la variable normal tipificada $Z \sim N(0,1)$ ) que ( fila y columna ) $z_{0'05} \approx 1'65 $ ( aproximando a dos cifras decimales dicha abscisa ). Así, pues, el intervalo de confianza pedido es
$I_{\mu}=[12415-1'65\,\dfrac{1940}{15}\,\,,\,\,12415+1'65\,\dfrac{1940}{15}]$ y aproximando los extremos del mismo a las unidades: $I_{\mu}=[12202\,\,,\,\,12628]$
$\blacksquare$
De una urna que contiene $3$ bolas blancas y $2$ bolas negras se hacen $100$ extracciones sucesivas con reemplazamiento. Se pide la probabilidad de que se obtenga lo siguiente: a) el mismo número de bolas blancas y de bolas negras b) un número de bolas blancas superior a $40$ e inferior a $60$
Enunciado:
De una urna que contiene $3$ bolas blancas y $2$ bolas negras se hacen $100$ extracciones sucesivas con reemplazamiento. Se pide la probabilidad de que se obtenga lo siguiente:
a) el mismo número de bolas blancas y de bolas negras
b) un número de bolas blancas superior a $40$ e inferior a $60$
Resolución:
Sea $X$ la variable aleatoria "número de bolas blancas resultantes", cuyos valores posibles son $\{0,1,2,\ldots,100\}$. El experimento aleatorio consiste en un conjunto de pruebas de Bernoulli, por lo que $X$ sigue una distribución binomial $X \sim B(n,\,,p)$, donde $n=100$ y $p$ es la probabilidad de obtener bola blanca en cualquiera de esas pruebas ( probabilidad de 'éxito' ), que es $\dfrac{3}{2+3}=\dfrac{3}{5}$, y $1-p$ la probabilidad de obtener bola negra, que es $\dfrac{2}{5}$. Por otra parte al ser $p=\dfrac{3}{2+3} \succ 0'5$ y $n\,(1-p)=100\cdot \dfrac{2}{5} \succ 5$ podemos aproximar la variable aleatoria binomial discreta $X$ por una variable aleatoria continua, $Y \sim N(np\,,\,\sqrt{np(1-p)}$, donde $\mu=np=60\cdot \dfrac{3}{5}=60$ y $\sigma=\sqrt{60\cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5}} \approx 4'90$; cosa que es muy conveniente a efectos de cálculo, pues sin la ayuda de un ordenador sería inviable operar con la distribución binomial a la hora de dar una respuesta al segundo apartado.
(a)
Al interesarnos por obtener el mismo número de bolas blancas que de bolas negras ( $50$ para para cada una):
$P\{X=50)\approx P\{50-0'5 \le Y \le 50+0'5\}$ ( haciendo la corrección de continuidad )
= $P\{\dfrac{49'5-60}{4'90} \le Z \le \dfrac{50'5-60}{4'90}\}$ ( realizando la tipificación de la variable $Y$, es decir, la transformación: $Y \rightarrow \dfrac{Y-60}{4'90}=Z$, con $Z \sim N(0,1)$ )
= $P\{-2'14 \le Z \le -1'94 \}$ ( operando las abscisas con dos cifras decimales )
= $P\{Z\le -1'94\}-P\{Z\le -2'14\}$
= $P\{Z\ge 1'94\}-P\{Z\ge 2'14\}$
= $(1-P\{Z\le 1'94\})-(1-P\{Z\le 2'14\})$
= $P\{Z\le 2'14\}-P\{Z\le 1'94\}$
= $F(2'14)-F(1'94)$ (consultando las tablas de la función de distribución de la variable aleatoria normal tipificada $Z \sim N(0,1)$ )
= $0'9838-0'9738$
= $0'0100$
(b)
$P\{40 \prec X \prec 60) \approx P\{40-0'5 \le Y \le 60+0'5 \}$ ( aproximando $X \sim B(n,p)$ por $Y \sim N(np\,,\,\sqrt{np(1-p)}$ y haciendo la corrección de continuidad )
$= P\{\dfrac{39'5-60}{4'90} \le Z \le \dfrac{60'5-60}{4'90} \}$ ( tipificando la variable $Y$, donde $Z \sim N(0,1)$ )
$= P\{-4'18 \le Z \le 0'10 \}$
$= P\{Z \le 0'10 \}-P\{Z \le -4'18 \}$
$= P\{Z \le 0'10 \}-P\{Z \ge 4'18 \}$
$= P\{Z \le 0'10 \}-( 1-P\{Z \le 4'18 \})$
$\approx P\{Z \le 0'10 \}-( 1-1)=P\{Z \le 0'10 \}$ ( al ser $P\{Z \le 4'18 \} \approx 1 $ )
$=0'5398$
$\blacksquare$
De una urna que contiene $3$ bolas blancas y $2$ bolas negras se hacen $100$ extracciones sucesivas con reemplazamiento. Se pide la probabilidad de que se obtenga lo siguiente:
a) el mismo número de bolas blancas y de bolas negras
b) un número de bolas blancas superior a $40$ e inferior a $60$
Resolución:
Sea $X$ la variable aleatoria "número de bolas blancas resultantes", cuyos valores posibles son $\{0,1,2,\ldots,100\}$. El experimento aleatorio consiste en un conjunto de pruebas de Bernoulli, por lo que $X$ sigue una distribución binomial $X \sim B(n,\,,p)$, donde $n=100$ y $p$ es la probabilidad de obtener bola blanca en cualquiera de esas pruebas ( probabilidad de 'éxito' ), que es $\dfrac{3}{2+3}=\dfrac{3}{5}$, y $1-p$ la probabilidad de obtener bola negra, que es $\dfrac{2}{5}$. Por otra parte al ser $p=\dfrac{3}{2+3} \succ 0'5$ y $n\,(1-p)=100\cdot \dfrac{2}{5} \succ 5$ podemos aproximar la variable aleatoria binomial discreta $X$ por una variable aleatoria continua, $Y \sim N(np\,,\,\sqrt{np(1-p)}$, donde $\mu=np=60\cdot \dfrac{3}{5}=60$ y $\sigma=\sqrt{60\cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5}} \approx 4'90$; cosa que es muy conveniente a efectos de cálculo, pues sin la ayuda de un ordenador sería inviable operar con la distribución binomial a la hora de dar una respuesta al segundo apartado.
(a)
Al interesarnos por obtener el mismo número de bolas blancas que de bolas negras ( $50$ para para cada una):
$P\{X=50)\approx P\{50-0'5 \le Y \le 50+0'5\}$ ( haciendo la corrección de continuidad )
= $P\{\dfrac{49'5-60}{4'90} \le Z \le \dfrac{50'5-60}{4'90}\}$ ( realizando la tipificación de la variable $Y$, es decir, la transformación: $Y \rightarrow \dfrac{Y-60}{4'90}=Z$, con $Z \sim N(0,1)$ )
= $P\{-2'14 \le Z \le -1'94 \}$ ( operando las abscisas con dos cifras decimales )
= $P\{Z\le -1'94\}-P\{Z\le -2'14\}$
= $P\{Z\ge 1'94\}-P\{Z\ge 2'14\}$
= $(1-P\{Z\le 1'94\})-(1-P\{Z\le 2'14\})$
= $P\{Z\le 2'14\}-P\{Z\le 1'94\}$
= $F(2'14)-F(1'94)$ (consultando las tablas de la función de distribución de la variable aleatoria normal tipificada $Z \sim N(0,1)$ )
= $0'9838-0'9738$
= $0'0100$
(b)
$P\{40 \prec X \prec 60) \approx P\{40-0'5 \le Y \le 60+0'5 \}$ ( aproximando $X \sim B(n,p)$ por $Y \sim N(np\,,\,\sqrt{np(1-p)}$ y haciendo la corrección de continuidad )
$= P\{\dfrac{39'5-60}{4'90} \le Z \le \dfrac{60'5-60}{4'90} \}$ ( tipificando la variable $Y$, donde $Z \sim N(0,1)$ )
$= P\{-4'18 \le Z \le 0'10 \}$
$= P\{Z \le 0'10 \}-P\{Z \le -4'18 \}$
$= P\{Z \le 0'10 \}-P\{Z \ge 4'18 \}$
$= P\{Z \le 0'10 \}-( 1-P\{Z \le 4'18 \})$
$\approx P\{Z \le 0'10 \}-( 1-1)=P\{Z \le 0'10 \}$ ( al ser $P\{Z \le 4'18 \} \approx 1 $ )
$=0'5398$
$\blacksquare$
Analizar y representar gráficamente la siguiente función $f(x)=x\,e^x$
Enunciado:
Analizar y representar gráficamente la siguiente función $f(x)=x\,e^x$
Resolución:
Dominio de definición:
$D_f=\mathbb{R}$
Dominio de continuidad: $\mathbb{R}$
Raíces de $f$:
$x:f(x)=0$, $x\,e^x=0 \Leftrightarrow x=0$
Ordenada en el origen de $f$:
$f(0)=0$
Extremos relativos de $f$:
$x:f'(x)=0$
$(x+1)\,e^x=0 \Leftrightarrow x=-1$, abscisa que corresponde a un mínimo relativo, pues $f''(x)=(x+2)\,e^x$ y $f''(-1)=\dfrac{1}{e} \succ 0$. La ordenada correspondiente a la abscisa de dicho mínimo es $f(-1)=-e^{-1}=-\dfrac{1}{e}$, , luego hay un único mínimo local $M\big(-1\,,\,-\dfrac{1}{e}\big)$ ( es, además, el mínimo absoluto de la función ).
Hay un único intervalo de decrecimiento de $f$:
$(-\infty,-1)$
Hay un único intervalo de crecimiento de $f$:
$(-1,+\infty)$
Puntos de inflexión:
$x:f''(x)=0$
$(x+2)\,e^x=0 \Leftrightarrow x=-2$, con ordenada $f(-2)=-2\,e^{-2}=-\dfrac{2}{e^2}$, luego hay un único punto de inflexión $I\big(-2\,,\,-\dfrac{2}{e^2}\big)$
Hay un único intervalo de concavidad: $(-\infty,-2)$
Hay un único intervalo de convexidad: $(-2,+\infty)$
Tendencia de la función para $x \rightarrow \pm \infty$:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\,f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty}\,(x+1)\,e^x=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty}\,(x+1)\,e^x=0$, luego el eje de abscisas es una asíntota horizontal ( puede comprobarse que no hay otras asíntotas ).
Rango o recorrido de la función $f$: $\text{Rec}_f=(-\dfrac{1}{e},+\infty)\subset \mathbb{R}$ ( el mínimo local que hemos encontrado es, también, el mínimo absoluto de la función ).
$\blacksquare$
Analizar y representar gráficamente la siguiente función $f(x)=x\,e^x$
Resolución:
Dominio de definición:
$D_f=\mathbb{R}$
Dominio de continuidad: $\mathbb{R}$
Raíces de $f$:
$x:f(x)=0$, $x\,e^x=0 \Leftrightarrow x=0$
Ordenada en el origen de $f$:
$f(0)=0$
Extremos relativos de $f$:
$x:f'(x)=0$
$(x+1)\,e^x=0 \Leftrightarrow x=-1$, abscisa que corresponde a un mínimo relativo, pues $f''(x)=(x+2)\,e^x$ y $f''(-1)=\dfrac{1}{e} \succ 0$. La ordenada correspondiente a la abscisa de dicho mínimo es $f(-1)=-e^{-1}=-\dfrac{1}{e}$, , luego hay un único mínimo local $M\big(-1\,,\,-\dfrac{1}{e}\big)$ ( es, además, el mínimo absoluto de la función ).
Hay un único intervalo de decrecimiento de $f$:
$(-\infty,-1)$
Hay un único intervalo de crecimiento de $f$:
$(-1,+\infty)$
Puntos de inflexión:
$x:f''(x)=0$
$(x+2)\,e^x=0 \Leftrightarrow x=-2$, con ordenada $f(-2)=-2\,e^{-2}=-\dfrac{2}{e^2}$, luego hay un único punto de inflexión $I\big(-2\,,\,-\dfrac{2}{e^2}\big)$
Hay un único intervalo de concavidad: $(-\infty,-2)$
Hay un único intervalo de convexidad: $(-2,+\infty)$
Tendencia de la función para $x \rightarrow \pm \infty$:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\,f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty}\,(x+1)\,e^x=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty}\,(x+1)\,e^x=0$, luego el eje de abscisas es una asíntota horizontal ( puede comprobarse que no hay otras asíntotas ).
Rango o recorrido de la función $f$: $\text{Rec}_f=(-\dfrac{1}{e},+\infty)\subset \mathbb{R}$ ( el mínimo local que hemos encontrado es, también, el mínimo absoluto de la función ).
$\blacksquare$
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la función $f(x)=x^4$ en el punto de abscisa $x=-1$.
Enunciado:
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la función $f(x)=x^4$ en el punto de abscisa $x=-1$.
Resolución:
La ecuación en forma explícita de la recta tangente a la curva dada por $f(x)$ en un punto $P$ de abscisa $x_P$ de su dominio de definición viene dada por $\text{r.t.:}\,y=m_P\,x+k_P \quad (1)$ donde, com es bien conocido, $m_P$ representa la pendiente de dicha recta y $k_P$ la ordenada en el origen.
Procedemos en dos pasos:
(1)
Obtenemos la pendiente $m_P$ teniendo en cuenta el significado geométrico de la derivada de una función en un punto $P$, esto es, $m_P=f'(x_P)$. Como $f'(x)=4\,x^3$ y $f'(-1)=4\,(-1)^3=-4$, entonces $m_P=-4$
(2)
Conociendo ya el valor de la pendiente, obtendremos el valor de la ordenada en el origen $k_P$ teniendo en cuenta que la ordenada de la función $f(x)$ en el punto $P$, $f(x_P)$, debe tener el mismo valor la ordenada de la función que corresponde a la recta tangente en dicho punto, $y_P=m_P\,x_P+k$; por lo tanto, podremos escribir que $f(x_P)=m_P\,x_P+k_P$, ecuación en la que la incógnita es $k_P$. Así, pues, $(-1)^4=-4\cdot (-1)+k_P$, y de aquí, despejando $k_P$ se obtiene: $k_P=1-4=-3$.
Entonces ( de (1) ) podemos escribir la ecuación pedida, que es $\text{r.t.:}\,y=-4\,x-3$
$\blacksquare$
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva dada por la función $f(x)=x^4$ en el punto de abscisa $x=-1$.
Resolución:
La ecuación en forma explícita de la recta tangente a la curva dada por $f(x)$ en un punto $P$ de abscisa $x_P$ de su dominio de definición viene dada por $\text{r.t.:}\,y=m_P\,x+k_P \quad (1)$ donde, com es bien conocido, $m_P$ representa la pendiente de dicha recta y $k_P$ la ordenada en el origen.
Procedemos en dos pasos:
(1)
Obtenemos la pendiente $m_P$ teniendo en cuenta el significado geométrico de la derivada de una función en un punto $P$, esto es, $m_P=f'(x_P)$. Como $f'(x)=4\,x^3$ y $f'(-1)=4\,(-1)^3=-4$, entonces $m_P=-4$
(2)
Conociendo ya el valor de la pendiente, obtendremos el valor de la ordenada en el origen $k_P$ teniendo en cuenta que la ordenada de la función $f(x)$ en el punto $P$, $f(x_P)$, debe tener el mismo valor la ordenada de la función que corresponde a la recta tangente en dicho punto, $y_P=m_P\,x_P+k$; por lo tanto, podremos escribir que $f(x_P)=m_P\,x_P+k_P$, ecuación en la que la incógnita es $k_P$. Así, pues, $(-1)^4=-4\cdot (-1)+k_P$, y de aquí, despejando $k_P$ se obtiene: $k_P=1-4=-3$.
Entonces ( de (1) ) podemos escribir la ecuación pedida, que es $\text{r.t.:}\,y=-4\,x-3$
$\blacksquare$
Calcúlense los siguientes límites empleando la regla de l'Hôpital
Enunciado:
Calcúlense los siguientes límites empleando la regla de l'Hôpital:
a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{x^2-2x+1}{\ln x}$
b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{3\,x^2}$
Resolución:
(a)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{x^2-2x+1}{\ln x}=\dfrac{0}{0}$ ( al pasar directamente al límite se obtiene este tipo de indeterminación )
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{x^2-2x+1}{\ln x}=\lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{(x^2-2x+1)'}{(\ln x)'}$ ( aplicando la regla de l'Hôpital )
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{2x-2}{1/x}=\dfrac{0}{1}=0$
(a)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{3\,x^2}=\dfrac{\infty}{\infty}$ ( al pasar directamente al límite se obtiene este tipo de indeterminación )
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{(e^x)'}{(3\,x^2)'}$ ( aplicando la regla de l'Hôpital )
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{6x}=\dfrac{\infty}{\infty}$ ( nos encontramos con el mismo tipo de indeterminación )
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{(e^x)'}{(6x)'}$ ( volvemos a aplicar la regla de l'Hôpital )
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{6}=\dfrac{e^{+\infty}}{6}=\dfrac{+\infty}{6}=+\infty$
$\blacksquare$
Calcúlense los siguientes límites empleando la regla de l'Hôpital:
a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{x^2-2x+1}{\ln x}$
b) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{3\,x^2}$
Resolución:
(a)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{x^2-2x+1}{\ln x}=\dfrac{0}{0}$ ( al pasar directamente al límite se obtiene este tipo de indeterminación )
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{x^2-2x+1}{\ln x}=\lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{(x^2-2x+1)'}{(\ln x)'}$ ( aplicando la regla de l'Hôpital )
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 1 } \, \dfrac{2x-2}{1/x}=\dfrac{0}{1}=0$
(a)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{3\,x^2}=\dfrac{\infty}{\infty}$ ( al pasar directamente al límite se obtiene este tipo de indeterminación )
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{(e^x)'}{(3\,x^2)'}$ ( aplicando la regla de l'Hôpital )
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{6x}=\dfrac{\infty}{\infty}$ ( nos encontramos con el mismo tipo de indeterminación )
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{(e^x)'}{(6x)'}$ ( volvemos a aplicar la regla de l'Hôpital )
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow +\infty } \, \dfrac{e^x}{6}=\dfrac{e^{+\infty}}{6}=\dfrac{+\infty}{6}=+\infty$
$\blacksquare$
Encontrar las rectas asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$, representarlas gráficamente y hacer un bosquejo de la gráfica de la función $f(x)$.
Enunciado:
Encontrar las rectas asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$, representarlas gráficamente y hacer un bosquejo de la gráfica de la función $f(x)$.
Resolución:
(1)
Las rectas asíntotas verticales vienen dadas de la forma $\text{a.v.:\,x=k}$ donde $k$ representa el valor de las abscisas que anulan el denominador de la función ( sin anular el numerador ); en nuestro caso, ésto ocurre para $x=0$, luego encontramos una única asíntota vertical: $\text{a.v.:\,x=0}$
(2)
Las rectas asíntotas oblícuas ( incluimos en ellas a las posibles a. horizontales ) son de la forma $\text{a.o.:}\,y=m\,x+k$ ( ecuación en forma explícita de dichas rectas ). Así, pues, debemos determinar las pendientes y las ordenadas en el origen de dichas rectas ( si dicha función las tiene ). Determinaremos, primero, el valor de $m$, y, a partir de ello, las ordenadas en el origen correspondientes; todo ello, pasando al límite cuando $x \rightarrow \pm \infty$ ( por el significado de contacto asintótico ). Procedamos:
(2.1) Cálculo de $m$:
$\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,f'(x)$ o, de manera equivalente, $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$ ( por operar a distancia infinita del origen de coordenadas ), definición equivalente que, en este ejercicio, resulta bastante cómodo utilizar por la comodidad de cálculo que representa. Entonces,
$\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{\frac{x^2+1}{x}}{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{x^2+1}{x^2}=1$, ya que, por ser del mismo grado los polinomios del numerador y del denominador, el resultado del límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado de uno y otro, que son, ambos, iguales a $1$. Notemos que hay una única recta oblícua.
(2.2) Cálculo de $k$:
Conociendo ya el valor de la pendiente, que es $m=1$, podemos, ahora, calcular el valor de la ordenada en el origen $k$. Como continuamos operando a distancia infinita del origen de coordenadas, debemos involucrar el paso al límite en dicho cálculo; así, podemos despejar $k$ de la ecuación de la recta en forma explícita, $y=mx+k$, donde $y$ de dicha recta coincide con $f(x)$, pero, cuidado, pasando al límite a su vez: $k=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,(f(x)-m\,x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,(\dfrac{x^2+1}{x}-1\cdot x)$, y, operando obtenemos, $k=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,(\dfrac{1}{x^2})=1/\infty=0$. Así, pues, solamente hay una recta oblícua: $\text{a.o.:}\,y=1\cdot x+0=x$, esto es, la bisectriz del primer y del tercer cuadrantes.
A partir de la información que hemos sacado de (1) y (2) podemos ya dibujar un esquema del trazo de la curva correspondiente a la función dada, que es el siguiente:
$\blacksquare$
Encontrar las rectas asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$, representarlas gráficamente y hacer un bosquejo de la gráfica de la función $f(x)$.
Resolución:
(1)
Las rectas asíntotas verticales vienen dadas de la forma $\text{a.v.:\,x=k}$ donde $k$ representa el valor de las abscisas que anulan el denominador de la función ( sin anular el numerador ); en nuestro caso, ésto ocurre para $x=0$, luego encontramos una única asíntota vertical: $\text{a.v.:\,x=0}$
(2)
Las rectas asíntotas oblícuas ( incluimos en ellas a las posibles a. horizontales ) son de la forma $\text{a.o.:}\,y=m\,x+k$ ( ecuación en forma explícita de dichas rectas ). Así, pues, debemos determinar las pendientes y las ordenadas en el origen de dichas rectas ( si dicha función las tiene ). Determinaremos, primero, el valor de $m$, y, a partir de ello, las ordenadas en el origen correspondientes; todo ello, pasando al límite cuando $x \rightarrow \pm \infty$ ( por el significado de contacto asintótico ). Procedamos:
(2.1) Cálculo de $m$:
$\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,f'(x)$ o, de manera equivalente, $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$ ( por operar a distancia infinita del origen de coordenadas ), definición equivalente que, en este ejercicio, resulta bastante cómodo utilizar por la comodidad de cálculo que representa. Entonces,
$\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{\frac{x^2+1}{x}}{x}=\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{x^2+1}{x^2}=1$, ya que, por ser del mismo grado los polinomios del numerador y del denominador, el resultado del límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado de uno y otro, que son, ambos, iguales a $1$. Notemos que hay una única recta oblícua.
(2.2) Cálculo de $k$:
Conociendo ya el valor de la pendiente, que es $m=1$, podemos, ahora, calcular el valor de la ordenada en el origen $k$. Como continuamos operando a distancia infinita del origen de coordenadas, debemos involucrar el paso al límite en dicho cálculo; así, podemos despejar $k$ de la ecuación de la recta en forma explícita, $y=mx+k$, donde $y$ de dicha recta coincide con $f(x)$, pero, cuidado, pasando al límite a su vez: $k=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,(f(x)-m\,x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,(\dfrac{x^2+1}{x}-1\cdot x)$, y, operando obtenemos, $k=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,(\dfrac{1}{x^2})=1/\infty=0$. Así, pues, solamente hay una recta oblícua: $\text{a.o.:}\,y=1\cdot x+0=x$, esto es, la bisectriz del primer y del tercer cuadrantes.
A partir de la información que hemos sacado de (1) y (2) podemos ya dibujar un esquema del trazo de la curva correspondiente a la función dada, que es el siguiente:
$\blacksquare$
Empleando el Teorema de Bolzano, justifíquese que la función $$f(x)=2^{-x}-3$$ corta al eje de abscisas en algún punto del intervalo $(-2\,,\,-1) \subset \mathbb{R}$
Enunciado:
Empleando el Teorema de Bolzano, justifíquese que la función $$f(x)=2^{-x}-3$$ corta al eje de abscisas en algún punto del intervalo $(-2\,,\,-1) \subset \mathbb{R}$
Resolución:
La función dada es de tipo exponencial y, por tanto, continua y derivable en todos los puntos de su dominio de definición, que es $\mathbb{R}$; así, pues, estamos en condiciones de aplicar el Teorema de Bolzano en cualquier intervalo, en particular en el intervalo propuesto. Como $f(-2)=2^{-(-2)}-3=2^2-3 = 1 \succ 0$, y $f(-1)=2^{-(-1)}-3=2-3 = -1 \prec 0$, según el teorema, podemos afirmar que la función corta al menos en un punto al eje $Ox$ en dicho intervalo, es decir, la función tiene por lo menos una raíz mayor que $-2$ y menor que $-1$.
$\blacksquare$
Empleando el Teorema de Bolzano, justifíquese que la función $$f(x)=2^{-x}-3$$ corta al eje de abscisas en algún punto del intervalo $(-2\,,\,-1) \subset \mathbb{R}$
Resolución:
La función dada es de tipo exponencial y, por tanto, continua y derivable en todos los puntos de su dominio de definición, que es $\mathbb{R}$; así, pues, estamos en condiciones de aplicar el Teorema de Bolzano en cualquier intervalo, en particular en el intervalo propuesto. Como $f(-2)=2^{-(-2)}-3=2^2-3 = 1 \succ 0$, y $f(-1)=2^{-(-1)}-3=2-3 = -1 \prec 0$, según el teorema, podemos afirmar que la función corta al menos en un punto al eje $Ox$ en dicho intervalo, es decir, la función tiene por lo menos una raíz mayor que $-2$ y menor que $-1$.
$\blacksquare$
Aplicando el Teorema de Rolle, demuéstrese que la función $f(x)=3\,x^5+7x+1$ no puede tener más de una raíz.
Enunciado:
Aplicando el Teorema de Rolle, demuéstrese que la función $f(x)=3\,x^5+7x+1$ no puede tener más de una raíz.
Resolución:
La función dada es de tipo polinómico ( continua y derivable en todo el dominio de definición, que es $\mathbb{R}$ ) por lo que podemos aplicar el Teorema de Rolle en cualquier intervalo de $\mathbb{R}$. Supongamos que $f(x)$ tenga dos raíces, $r_1$ y $r_2$, entonces, según dicho teorema, debe existir por lo menos un punto cuya abscisa se encuentre entre ambas raíces y tal que la derivada sea nula en dicho punto; veamos cuál es su derivada y cuáles son sus raíces: $f'(x)=15\,x^4+7$, y, al no tener dicha función ninguna raíz real, ya que $0=15\,x^4+7=0 \Leftrightarrow x=\sqrt[4]{-\dfrac{7}{15}} \notin \mathbb{R}$, se desprende de ello que la suposición de partida es falsa, luego, a lo sumo, sólo puede haber una raíz.
$\blacksquare$
Aplicando el Teorema de Rolle, demuéstrese que la función $f(x)=3\,x^5+7x+1$ no puede tener más de una raíz.
Resolución:
La función dada es de tipo polinómico ( continua y derivable en todo el dominio de definición, que es $\mathbb{R}$ ) por lo que podemos aplicar el Teorema de Rolle en cualquier intervalo de $\mathbb{R}$. Supongamos que $f(x)$ tenga dos raíces, $r_1$ y $r_2$, entonces, según dicho teorema, debe existir por lo menos un punto cuya abscisa se encuentre entre ambas raíces y tal que la derivada sea nula en dicho punto; veamos cuál es su derivada y cuáles son sus raíces: $f'(x)=15\,x^4+7$, y, al no tener dicha función ninguna raíz real, ya que $0=15\,x^4+7=0 \Leftrightarrow x=\sqrt[4]{-\dfrac{7}{15}} \notin \mathbb{R}$, se desprende de ello que la suposición de partida es falsa, luego, a lo sumo, sólo puede haber una raíz.
$\blacksquare$
Sea la función polinómica $f(x)=x^3+4\,x^2+x-6$. Se pide ...
Enunciado:
Sea la función polinómica $f(x)=x^3+4\,x^2+x-6$. Se pide:
a) determinar las raíces de $f$
b) hallar la ordenada en el origen de $f$
c) determinar los extremos relativos de dicha función
d) hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento
e) calcular los puntos de inflexión de $f(x)$
f) decir cuáles son los intervalos de concavidad y convexidad de $f(x)$
g) realizar un gráfico esquemático de $f(x)$
Resolución:
(a)
Las raíces de $f(x)$ es el conjunto de valores $x:\,f(x)=0$, por tanto para encontrarlas debemos resolver la ecuación polinómica de grado $3$, $x^3+4\,x^2+x-6=0$. Empecemos probando las posibles raíces enteras, que sabemos ( propiedad ) que hemos de buscarlas entre los divisores del término independiente, $a_0=-6$; sin mucho esfuerzo ( dividiendo por Ruffini y viendo si el resto es cero ( teorema del resto ) podemos comprobar que $x=-3$ es raíz de $f(x)$, obteniendo una primera factorización del polinomio $x^3+4\,x^2+x-6=(x-(-3))(x^2+x-2)$, por lo que para encontrar otras raíces deberemos buscarlas en el polinomio factor $x^2+x-2$; así, igualando a $0$ y resolviendo la ecuación vemos que $x^2+x-2=0$ tiene dos soluciones, $1$ y $-2$. En resumen, las raíces de $f(x)$ son $\{-3\,,\,1\,,\,2\}$.
(b)
La ordenada en el origen de una función es la imagen de $0$; en nuestro caso, $f(0)=0^3+4\,0^2+0-6=-6$. Así, pues, podemos decir que la curva dada por $f(x)$ corta al eje de ordenadas $Oy$ en el punto de coordenadas $(0\,,\,-6)$.
(c)
Las abscisas de los extremos relativos ( también llamados puntos estacionarios ) cumplen la condición necesaria $f'(x)=0$. La función derivada de $f(x)$ es $f'(x)=3x^2+8x+1$; por tanto, imponiendo dicha condición necesaria, $3x^2+8x+1=0$, encontramos dos soluciones de dicha ecuación ( raíces de $f'(x)$ ), que son $x_1=\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6} \approx -2,5$ y $x_2=\dfrac{8-\sqrt{52}}{6} \approx -0,1$. Las ordenadas correspondientes a ambas abscisas son $y_1 = f(x_1) \approx 0,9$ y $y_2 = f(x_2) \approx -6,1$. A continuación, analicemos qué tipo de extremos relativos son uno y otro; para ello, utilizaremos el criterio del signo de la segunda derivada en sendos puntos. Utilizamos este criterio ( podríamos optar también por el criterio del signo de la primera derivada ) por ser fácilmente derivable la función, que es de tipo polinómico; así, pues, derivando la función primera derivada $f'(x)$ que ya conocemos, obtenemos $f''(x)=6x+8$. Evaluando dicha función en los puntos estacionarios encontramos $f''(\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6} \prec 0$, luego hay un máximo local en el punto de coordenadas
$\text{Máx}\big(\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6}\,,\,f(\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6})\big)$; por otra parte $f''(\dfrac{-8+\sqrt{52}}{6}) \succ 0$, luego la función presenta un mínomo local en el punto de coordenadas $\text{Mín}\big(\dfrac{-8+\sqrt{52}}{6}\,,\,f(\dfrac{-8+\sqrt{52}}{6})\big)$ mínimo local.
(d)
Los intervalos de crecimiento ( puentos en los que la derivada es positiva ) y decrecimiento ( puntos en los que la derivada es negativa ) se desprenden del resultado anterior y son: $$I_1^{\uparrow}=(-\infty\,,\,\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6}) \subset \mathbb{R})$$
$$I_2^{\downarrow}=(\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6}\,,\,\dfrac{-8+\sqrt{52}}{6}) \subset \mathbb{R}$$
$$I_3^{\uparrow}=(\dfrac{-8+\sqrt{52}}{6}\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R})$$
(e)
Los puntos de inflexión son los que separan intervalos de signo opuesto en curvatura ( esto es los puntos que separan regiones convexas de regiones cóncavas ), y, por tanto, se calculan igualando a cero la segunda derivada ( por ser la curvatura proporcional a la segunda derivada): sus soluciones son, pues, las abscisas de dichos puntos. Entonces, imponiendo esta condición necesaria: $f''(x)=0$, esto es, $6x+8=0$, encontramos un único punto de inflexión, cuya abscisa es $x=-\dfrac{4}{3} \approx -1,3$, y su ordenada es $f\big(-\dfrac{4}{3}\big)=-\dfrac{70}{27} \approx - 2,7$
(f)
La función es cóncava en los puntos en que la función segunda derivada es negativa (esto es, en los puntos en los que la recta tangente a la curva queda por encima de las rectas secantes paralelas a la misma), y es convexa en los puntos en los que la función segunda derivada es positiva (esto es, en los puntos en los que la recta tangente queda por debajo de las rectas secantes paralelas a la misma), separados por los puntos de inflexión; por tanto:
$$I_{concavidad}=\big(-\infty\,,\,-\dfrac{4}{3}\big)$$
$$I_{convexidad}=\big(-\dfrac{4}{3}\,,\,+\infty \big)$$
(g)
Nota: No se piden las asíntotas ya que es bien sabido que las funciones polinómicas no las tienen.
$\blacksquare$
Sea la función polinómica $f(x)=x^3+4\,x^2+x-6$. Se pide:
a) determinar las raíces de $f$
b) hallar la ordenada en el origen de $f$
c) determinar los extremos relativos de dicha función
d) hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento
e) calcular los puntos de inflexión de $f(x)$
f) decir cuáles son los intervalos de concavidad y convexidad de $f(x)$
g) realizar un gráfico esquemático de $f(x)$
Resolución:
(a)
Las raíces de $f(x)$ es el conjunto de valores $x:\,f(x)=0$, por tanto para encontrarlas debemos resolver la ecuación polinómica de grado $3$, $x^3+4\,x^2+x-6=0$. Empecemos probando las posibles raíces enteras, que sabemos ( propiedad ) que hemos de buscarlas entre los divisores del término independiente, $a_0=-6$; sin mucho esfuerzo ( dividiendo por Ruffini y viendo si el resto es cero ( teorema del resto ) podemos comprobar que $x=-3$ es raíz de $f(x)$, obteniendo una primera factorización del polinomio $x^3+4\,x^2+x-6=(x-(-3))(x^2+x-2)$, por lo que para encontrar otras raíces deberemos buscarlas en el polinomio factor $x^2+x-2$; así, igualando a $0$ y resolviendo la ecuación vemos que $x^2+x-2=0$ tiene dos soluciones, $1$ y $-2$. En resumen, las raíces de $f(x)$ son $\{-3\,,\,1\,,\,2\}$.
(b)
La ordenada en el origen de una función es la imagen de $0$; en nuestro caso, $f(0)=0^3+4\,0^2+0-6=-6$. Así, pues, podemos decir que la curva dada por $f(x)$ corta al eje de ordenadas $Oy$ en el punto de coordenadas $(0\,,\,-6)$.
(c)
Las abscisas de los extremos relativos ( también llamados puntos estacionarios ) cumplen la condición necesaria $f'(x)=0$. La función derivada de $f(x)$ es $f'(x)=3x^2+8x+1$; por tanto, imponiendo dicha condición necesaria, $3x^2+8x+1=0$, encontramos dos soluciones de dicha ecuación ( raíces de $f'(x)$ ), que son $x_1=\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6} \approx -2,5$ y $x_2=\dfrac{8-\sqrt{52}}{6} \approx -0,1$. Las ordenadas correspondientes a ambas abscisas son $y_1 = f(x_1) \approx 0,9$ y $y_2 = f(x_2) \approx -6,1$. A continuación, analicemos qué tipo de extremos relativos son uno y otro; para ello, utilizaremos el criterio del signo de la segunda derivada en sendos puntos. Utilizamos este criterio ( podríamos optar también por el criterio del signo de la primera derivada ) por ser fácilmente derivable la función, que es de tipo polinómico; así, pues, derivando la función primera derivada $f'(x)$ que ya conocemos, obtenemos $f''(x)=6x+8$. Evaluando dicha función en los puntos estacionarios encontramos $f''(\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6} \prec 0$, luego hay un máximo local en el punto de coordenadas
$\text{Máx}\big(\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6}\,,\,f(\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6})\big)$; por otra parte $f''(\dfrac{-8+\sqrt{52}}{6}) \succ 0$, luego la función presenta un mínomo local en el punto de coordenadas $\text{Mín}\big(\dfrac{-8+\sqrt{52}}{6}\,,\,f(\dfrac{-8+\sqrt{52}}{6})\big)$ mínimo local.
(d)
Los intervalos de crecimiento ( puentos en los que la derivada es positiva ) y decrecimiento ( puntos en los que la derivada es negativa ) se desprenden del resultado anterior y son: $$I_1^{\uparrow}=(-\infty\,,\,\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6}) \subset \mathbb{R})$$
$$I_2^{\downarrow}=(\dfrac{-8-\sqrt{52}}{6}\,,\,\dfrac{-8+\sqrt{52}}{6}) \subset \mathbb{R}$$
$$I_3^{\uparrow}=(\dfrac{-8+\sqrt{52}}{6}\,,\,+\infty) \subset \mathbb{R})$$
(e)
Los puntos de inflexión son los que separan intervalos de signo opuesto en curvatura ( esto es los puntos que separan regiones convexas de regiones cóncavas ), y, por tanto, se calculan igualando a cero la segunda derivada ( por ser la curvatura proporcional a la segunda derivada): sus soluciones son, pues, las abscisas de dichos puntos. Entonces, imponiendo esta condición necesaria: $f''(x)=0$, esto es, $6x+8=0$, encontramos un único punto de inflexión, cuya abscisa es $x=-\dfrac{4}{3} \approx -1,3$, y su ordenada es $f\big(-\dfrac{4}{3}\big)=-\dfrac{70}{27} \approx - 2,7$
(f)
La función es cóncava en los puntos en que la función segunda derivada es negativa (esto es, en los puntos en los que la recta tangente a la curva queda por encima de las rectas secantes paralelas a la misma), y es convexa en los puntos en los que la función segunda derivada es positiva (esto es, en los puntos en los que la recta tangente queda por debajo de las rectas secantes paralelas a la misma), separados por los puntos de inflexión; por tanto:
$$I_{concavidad}=\big(-\infty\,,\,-\dfrac{4}{3}\big)$$
$$I_{convexidad}=\big(-\dfrac{4}{3}\,,\,+\infty \big)$$
(g)
Nota: No se piden las asíntotas ya que es bien sabido que las funciones polinómicas no las tienen.
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martes, 8 de abril de 2014
Una empresa de embalajes fabrica cajas de cartón con tapa. Las cajas son prismas rectos de $9000 \, \text{cm}^3$ de volumen y base rectangular de largo igual al doble de su anchura. Calcúlense las dimensiones en ctiímetro ( largo, anchura y altura ) que ha de tener la caja para que la superficie empleada en su gabricación sea mínima.
Enunciado:
Una empresa de embalajes fabrica cajas de cartón con tapa. Las cajas son prismas rectos de $9000 \, \text{cm}^3$ de volumen y base rectangular de largo igual al doble de su anchura. Calcúlense las dimensiones en centímetros ( largo, anchura y altura ) que ha de tener la caja para que la superficie empleada en su gabricación sea mínima.
Resolución:
---
Nota ( sobre las unidades empleadas en el desarrollo del problema ): Por comodidad, a lo largo de la resolución del problema, trabajaremos en decímetros cúbicos ( luego las longitudes salen expresadas en decímetros y el área en decímetros cuadrados ). Al final del problema, daremos el resultado ( medidas del largo, ancho y alto ) expresado en centímetros, tal como se pide en el enunciado.
---
Denotemos por $x$ el largo de la base del prisma recto de base rectangular, por lo tanto $2\,x$ es la anchura de la base, y $9/2\,x^2$ representa la altura. La función "área de la superficie del desarrollo plano de la caja", se escribirá, por tanto, de la siguiente forma: $A(x)=2\,\big(\dfrac{9}{2x^2}\,2x+\dfrac{9}{2x^2}\,x+2x \cdot x \big)$, que, simplificada, queda $A(x)=\dfrac{27}{x}+4\,x^2$
La condición necesaria de existencia de extremos relativos es $A'(x)=0$. Así, pues, derivando e igualando a cero nos encontramos con $-\dfrac{27}{x^2}+8\,x = 0 \Leftrightarrow 8\,x^3=27 \Leftrightarrow x=3/2$.
Examinemos, ahora, la naturaleza de este extre relativo. Observemos que a la izquierda del mismo el signo de la derivada es negativo ( en efecto, eligiendo, por ejemplo $x=1 \prec 3/2$ vemos que $A'(1) \prec 0$ ), y, a su derecha es positivo ( en efecto, eligiendo, pongamos que $x=2 \succ 3/2$, encontramos que $A'(2) \succ 0$ ). De ello deducimos que el punto estacionario encontrado, de abscisa $3/2$, corresponde a un mínimo local o relativo, que, además, no puede ser, en este caso, otro que el mínimo absoluto de la función área.
En conclusión: las medidas que debe tener la caja para que el área de la superficie del desarrollo plano sea mínima deben ser: $3/2 \, \text{dm}=15 \, \text{cm}$ de largo; $2\cdot (3/2) \, \text{dm}=30 \, \text{cm}$ de anchura, y $\dfrac{9}{2\cdot (3/2)^2}=2 \, \text{dm}=20 \, \text{cm}$ de altura.
$\blacksquare$
Una empresa de embalajes fabrica cajas de cartón con tapa. Las cajas son prismas rectos de $9000 \, \text{cm}^3$ de volumen y base rectangular de largo igual al doble de su anchura. Calcúlense las dimensiones en centímetros ( largo, anchura y altura ) que ha de tener la caja para que la superficie empleada en su gabricación sea mínima.
Resolución:
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Nota ( sobre las unidades empleadas en el desarrollo del problema ): Por comodidad, a lo largo de la resolución del problema, trabajaremos en decímetros cúbicos ( luego las longitudes salen expresadas en decímetros y el área en decímetros cuadrados ). Al final del problema, daremos el resultado ( medidas del largo, ancho y alto ) expresado en centímetros, tal como se pide en el enunciado.
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Denotemos por $x$ el largo de la base del prisma recto de base rectangular, por lo tanto $2\,x$ es la anchura de la base, y $9/2\,x^2$ representa la altura. La función "área de la superficie del desarrollo plano de la caja", se escribirá, por tanto, de la siguiente forma: $A(x)=2\,\big(\dfrac{9}{2x^2}\,2x+\dfrac{9}{2x^2}\,x+2x \cdot x \big)$, que, simplificada, queda $A(x)=\dfrac{27}{x}+4\,x^2$
La condición necesaria de existencia de extremos relativos es $A'(x)=0$. Así, pues, derivando e igualando a cero nos encontramos con $-\dfrac{27}{x^2}+8\,x = 0 \Leftrightarrow 8\,x^3=27 \Leftrightarrow x=3/2$.
Examinemos, ahora, la naturaleza de este extre relativo. Observemos que a la izquierda del mismo el signo de la derivada es negativo ( en efecto, eligiendo, por ejemplo $x=1 \prec 3/2$ vemos que $A'(1) \prec 0$ ), y, a su derecha es positivo ( en efecto, eligiendo, pongamos que $x=2 \succ 3/2$, encontramos que $A'(2) \succ 0$ ). De ello deducimos que el punto estacionario encontrado, de abscisa $3/2$, corresponde a un mínimo local o relativo, que, además, no puede ser, en este caso, otro que el mínimo absoluto de la función área.
En conclusión: las medidas que debe tener la caja para que el área de la superficie del desarrollo plano sea mínima deben ser: $3/2 \, \text{dm}=15 \, \text{cm}$ de largo; $2\cdot (3/2) \, \text{dm}=30 \, \text{cm}$ de anchura, y $\dfrac{9}{2\cdot (3/2)^2}=2 \, \text{dm}=20 \, \text{cm}$ de altura.
$\blacksquare$
Un ejercicio sobre continuidad y derivabilidad
Enunciado:
Sea la siguiente función definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2-4x+3 \quad \text{si} \quad x\prec1 \\ \\ -x^2+4x-3 \quad \text{si} \quad x\ge 1 \\ \end{matrix}\right.$$
Estudiar su continuidad y su derivabilidad. Representar gráficamente la función.
Resolución:
Continuidad:
Ambos tramos de la función definida a trozos son funciones continuas, por ser polinómicos; sin embargo, podría haber una discontinuidad en el punto de abascisa $x=1$, que es donde acaba un tramo y empieza el otro. Veamos: en primer lugar, vemos que la función está bien definida en $x=1$ ( condición necesaria para que la función sea continua ), pero, además, debe cumplirse que los límites laterales existan ( existen ) y que sus valores coincida. Veamos si se cumple eso último: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\,f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}\,x^2-4x+3=1^2-4\cdot 1+3=0$ y en cuanto al otro límite lateral, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\,f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}\,-x^2+4x-3=-1^2-4\cdot 1-3=-1+4-3=0$, luego ambos límites coinciden, luego la función es continua, también, en $x=1$, luego es continua en todo su dominio de existencia, que es $D_f=\mathbb{R}$
Derivabilidad:
El que una función sea continua en un punto, no es suficiente para que pueda afirmarse que también es derivable en el mismo; precisamente, vamos a observar eso mismo en este ejercicio. Veamos, para que sea derivable en un punto, al definirse la derivada en un punto como un límite, $f'(x)=\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$, o en otras palabras, como $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ( siendo $h$, por comodidad, el infinitésimo $\Delta x$ ), existe si y sólo si existen los límites laterales ( derivadas laterales ): $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^{+}}\,\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ y $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ y sus valores coinciden en el punto en cuestión. Entonces, como la derivada por la izquierda es $(x^2-4x+3)'=2x-4$, con lo cual, en el punto de abscisa $x=1$ toma como valor $2\cdot 1-4=-2$, y, la derivada por derecha es $(-x^2+4x-3)'=-2x+4$ y su valor en $x=1$ es $-2\cdot 1+4=2$, al no coincidir dichos valores, podemos afirmar que la función no es derivable en $x=1$, aunque es derivable en todos los demás puntos de su dominio de existencia.
Gráfica de la función:
El gráfico de la función definida a trozos es el siguiente
$\square$
Sea la siguiente función definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2-4x+3 \quad \text{si} \quad x\prec1 \\ \\ -x^2+4x-3 \quad \text{si} \quad x\ge 1 \\ \end{matrix}\right.$$
Estudiar su continuidad y su derivabilidad. Representar gráficamente la función.
Resolución:
Continuidad:
Ambos tramos de la función definida a trozos son funciones continuas, por ser polinómicos; sin embargo, podría haber una discontinuidad en el punto de abascisa $x=1$, que es donde acaba un tramo y empieza el otro. Veamos: en primer lugar, vemos que la función está bien definida en $x=1$ ( condición necesaria para que la función sea continua ), pero, además, debe cumplirse que los límites laterales existan ( existen ) y que sus valores coincida. Veamos si se cumple eso último: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{-}}\,f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}\,x^2-4x+3=1^2-4\cdot 1+3=0$ y en cuanto al otro límite lateral, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1^{+}}\,f(x)=\lim_{x\rightarrow 1}\,-x^2+4x-3=-1^2-4\cdot 1-3=-1+4-3=0$, luego ambos límites coinciden, luego la función es continua, también, en $x=1$, luego es continua en todo su dominio de existencia, que es $D_f=\mathbb{R}$
Derivabilidad:
El que una función sea continua en un punto, no es suficiente para que pueda afirmarse que también es derivable en el mismo; precisamente, vamos a observar eso mismo en este ejercicio. Veamos, para que sea derivable en un punto, al definirse la derivada en un punto como un límite, $f'(x)=\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\,\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$, o en otras palabras, como $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0}\,\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ( siendo $h$, por comodidad, el infinitésimo $\Delta x$ ), existe si y sólo si existen los límites laterales ( derivadas laterales ): $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^{+}}\,\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ y $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ y sus valores coinciden en el punto en cuestión. Entonces, como la derivada por la izquierda es $(x^2-4x+3)'=2x-4$, con lo cual, en el punto de abscisa $x=1$ toma como valor $2\cdot 1-4=-2$, y, la derivada por derecha es $(-x^2+4x-3)'=-2x+4$ y su valor en $x=1$ es $-2\cdot 1+4=2$, al no coincidir dichos valores, podemos afirmar que la función no es derivable en $x=1$, aunque es derivable en todos los demás puntos de su dominio de existencia.
Gráfica de la función:
El gráfico de la función definida a trozos es el siguiente
$\square$
Aplicar las reglas de derivación para determinar la función derivada de cada una de las siguientes funciones ...
Enunciado:
Aplicar las reglas de derivación para determinar la función derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) $f(x)=\sqrt[3]{x^2+1}$
b) $f(x)=(x^3+x+1)^5$
c) $f(x)=x\,e^x$
d) $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$
e) $f(x)=\dfrac{1}{x^3}$
f) $f(x)=x^x$
Resolución:
a)
$f(x)=\sqrt[3]{x^2+1}=(x^2+1)^{\frac{1}{3}}$, luego por la regla de derivación de las funciones potenciales junto con la regla de la cadena: $f'(x)=\dfrac{1}{3}\,(x^2+1)^{\frac{1}{3}-1}\cdot (x^2+1)'=\dfrac{1}{3}\,(x^2+1)^{-\frac{2}{3}}\cdot 2x=\dfrac{2}{3}\,\dfrac{x}{\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}$
b)
Siendo $f(x)=(x^3+x+1)^5$ entonces, aplicando la regla de derivación de las funciones polinómicas junto con la regla de la cadena, podemos escribir, $f'(x)=5(x^3+x+1)^{4}\,(x^3+x+1)'=5(x^3+x+1)^{4}\,(3x^2+1)$
c)
En este caso, $f(x)=x\,e^x$, debemos aplicar la regla de derivación del producto de funciones: $f'(x)=(x)'\,e^{x}+x\,(e^x)'=1\cdot e^x+x\,e^x= (1+x)\,e^x$
d)
Este caso es parecido al anterior, pues, $f(x)=\dfrac{e^x}{x}=x^{-1}\,e^{x}$, luego aplicando la siguientes reglas: derivada del producto, derivada de la cadena, y derivada de las funciones potenciales, podemos escribir: $f'(x)=(x^{-1})'\,e^{x}+(x^{-1})\,(e^x)'=-x^{-2}\cdot e^x+x^{-1}\,(e^x)'$
$=-\dfrac{1}{x^2} \cdot e^x+\dfrac{1}{x}\,e^x=\dfrac{-e^x+x\,e^x}{x^2}=\dfrac{(x-1)\,e^x}{x^2}$
e)
Podemos expresar $f(x)=\dfrac{1}{x^3}$ de la forma $f(x)=x^{-3}$, al objeto de aplicar la regla de derivación de las funciones potenciales, con lo cual, $f'(x)=-x^{-2-1}=-\dfrac{1}{x^3}$
f)
Por comodidad, utilicemos la notación $y=x^x$. Sacando, ahora, logaritmos en cada miembro: $\ln{y}=x\,\ln{x}$, y, utilizando las reglas de derivación de la cadena ( primer miembro, ya que $y$, es función de $x$ ) y del producto junto con la regla de la cadena ( segundo miembro ), llegando a $\dfrac{1}{y_x}\,y'_x=(x)'\,\ln{x}+x\,(\ln{x})'$. Es decir, $y'_x = \big( 1\cdot \ln{x}+x\,(\ln{x})' \big)\cdot y_x$, o en otras palabras: $f'(x)=( \ln{x}+x\,\dfrac{1}{x} )\,x^x$, y, simplificando: $f'(x)=( \ln{x}+1 )\,x^x$
$\blacksquare$
Aplicar las reglas de derivación para determinar la función derivada de cada una de las siguientes funciones:
a) $f(x)=\sqrt[3]{x^2+1}$
b) $f(x)=(x^3+x+1)^5$
c) $f(x)=x\,e^x$
d) $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$
e) $f(x)=\dfrac{1}{x^3}$
f) $f(x)=x^x$
Resolución:
a)
$f(x)=\sqrt[3]{x^2+1}=(x^2+1)^{\frac{1}{3}}$, luego por la regla de derivación de las funciones potenciales junto con la regla de la cadena: $f'(x)=\dfrac{1}{3}\,(x^2+1)^{\frac{1}{3}-1}\cdot (x^2+1)'=\dfrac{1}{3}\,(x^2+1)^{-\frac{2}{3}}\cdot 2x=\dfrac{2}{3}\,\dfrac{x}{\sqrt[3]{(x^2+1)^2}}$
b)
Siendo $f(x)=(x^3+x+1)^5$ entonces, aplicando la regla de derivación de las funciones polinómicas junto con la regla de la cadena, podemos escribir, $f'(x)=5(x^3+x+1)^{4}\,(x^3+x+1)'=5(x^3+x+1)^{4}\,(3x^2+1)$
c)
En este caso, $f(x)=x\,e^x$, debemos aplicar la regla de derivación del producto de funciones: $f'(x)=(x)'\,e^{x}+x\,(e^x)'=1\cdot e^x+x\,e^x= (1+x)\,e^x$
d)
Este caso es parecido al anterior, pues, $f(x)=\dfrac{e^x}{x}=x^{-1}\,e^{x}$, luego aplicando la siguientes reglas: derivada del producto, derivada de la cadena, y derivada de las funciones potenciales, podemos escribir: $f'(x)=(x^{-1})'\,e^{x}+(x^{-1})\,(e^x)'=-x^{-2}\cdot e^x+x^{-1}\,(e^x)'$
$=-\dfrac{1}{x^2} \cdot e^x+\dfrac{1}{x}\,e^x=\dfrac{-e^x+x\,e^x}{x^2}=\dfrac{(x-1)\,e^x}{x^2}$
e)
Podemos expresar $f(x)=\dfrac{1}{x^3}$ de la forma $f(x)=x^{-3}$, al objeto de aplicar la regla de derivación de las funciones potenciales, con lo cual, $f'(x)=-x^{-2-1}=-\dfrac{1}{x^3}$
f)
Por comodidad, utilicemos la notación $y=x^x$. Sacando, ahora, logaritmos en cada miembro: $\ln{y}=x\,\ln{x}$, y, utilizando las reglas de derivación de la cadena ( primer miembro, ya que $y$, es función de $x$ ) y del producto junto con la regla de la cadena ( segundo miembro ), llegando a $\dfrac{1}{y_x}\,y'_x=(x)'\,\ln{x}+x\,(\ln{x})'$. Es decir, $y'_x = \big( 1\cdot \ln{x}+x\,(\ln{x})' \big)\cdot y_x$, o en otras palabras: $f'(x)=( \ln{x}+x\,\dfrac{1}{x} )\,x^x$, y, simplificando: $f'(x)=( \ln{x}+1 )\,x^x$
$\blacksquare$
Sea la función $f(x)=\dfrac{x}{x^2+4}$ Determínense los extremos relativos de la función, razonando sobre la naturaleza de los mismos ( ¿ corresponden a máximos, mínimos, ... ? ). Representar gráficamente la función.
Enunciado:
Sea la función $$f(x)=\dfrac{x}{x^2+4}$$ Determínense los extremos relativos de la función, razonando sobre la naturaleza de los mismos ( ¿ corresponden a máximos, mínimos, ... ? ). Representar gráficamente la función.
Resolución:
La condición necesaria para la existencia de extremos relativos es $f'(x)=0$; derivando, obtenemos $f'(x)=\dfrac{4-x^2}{(x^2+4)^2}$, luego encontramos las abscisas de los puntos críticos o estacionarios resolviendo la ecuación $\dfrac{4-x^2}{(x^2+4)^2}=0$, luego $4-x^2=0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2$. Encontramos, pues, dos extremos relativos: $x_1=-2$ y $x_2=2$.
Extremos relativos y naturaleza de los mismos:
Veamos, ahora, qué tipo de extremos relativos son. El signo de la derivada, $f'(x)$, a la izquierda de $-2$, pongamos que en $x=-3$, es negativo, y, el signo de la derivada a su derecha ( pongamos que en $x=0$ ) es positivo, con lo cual podemos afirmar que $x=-2$ es la abscisa de un mínimo relativo. Procediendo con el mismo criterio para analizar el carácter del otro extremo relativo, vemos que a la izquierda de $x=2$ ( sin mirar a la izquierda de $x=-2$ ) el signo de la derivada $f'(x)$ es positivo ( acabamos de verlo, para $x=0$, estudiando el primer extremo relativo ), y, a su derecha, pongamos que en $x=3$, el signo des negativo, luego podemos concluir que en $x=2$ la función presenta un máximo relativo.
Las ordenadas correspondientes a ambos extremos relativos son: para $x=-2$ ( que es el mínimo relativo o local ), $f(-2)=-\dfrac{1}{4}$ ( sustituyendo en la función, $f(x)$, y calculando), y, para $x=2$ ( que es el máximo relativo o local ), encontramos $f(2)=\dfrac{1}{4}$.
En resumen: tenemos un mínimo relativo o local en el punto de coordenadas $A\bigg(-2\,,\,-\dfrac{1}{4}\bigg)$ y un máximo relativo o local en el punto de coordenadas $B\bigg(2\,,\,\dfrac{1}{4}\bigg)$
Representación gráfica:
Para perfilar el trazo, veamos si $f(x)$ tiene raíces; sólo tiene una: $x=0$, pues el numerador solamente se anula para ese valor. Por otra parte, la ordenada en el origen es $f(0)=0$, luego el trazo de la función $f(x)$ pasa por el origen de coordenadas; no tiene contacto con el eje de abscisas en ningún otro punto a distancia finita del origen de coordenadas. Así, pues, el eje de abscisas es una asíntota horizontal, pues $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f(x)=0$.
Con la información recogida ya podemos trazar la curva que corresponde a la función, y es la siguiente:
Sea la función $$f(x)=\dfrac{x}{x^2+4}$$ Determínense los extremos relativos de la función, razonando sobre la naturaleza de los mismos ( ¿ corresponden a máximos, mínimos, ... ? ). Representar gráficamente la función.
Resolución:
La condición necesaria para la existencia de extremos relativos es $f'(x)=0$; derivando, obtenemos $f'(x)=\dfrac{4-x^2}{(x^2+4)^2}$, luego encontramos las abscisas de los puntos críticos o estacionarios resolviendo la ecuación $\dfrac{4-x^2}{(x^2+4)^2}=0$, luego $4-x^2=0 \Leftrightarrow x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm 2$. Encontramos, pues, dos extremos relativos: $x_1=-2$ y $x_2=2$.
Extremos relativos y naturaleza de los mismos:
Veamos, ahora, qué tipo de extremos relativos son. El signo de la derivada, $f'(x)$, a la izquierda de $-2$, pongamos que en $x=-3$, es negativo, y, el signo de la derivada a su derecha ( pongamos que en $x=0$ ) es positivo, con lo cual podemos afirmar que $x=-2$ es la abscisa de un mínimo relativo. Procediendo con el mismo criterio para analizar el carácter del otro extremo relativo, vemos que a la izquierda de $x=2$ ( sin mirar a la izquierda de $x=-2$ ) el signo de la derivada $f'(x)$ es positivo ( acabamos de verlo, para $x=0$, estudiando el primer extremo relativo ), y, a su derecha, pongamos que en $x=3$, el signo des negativo, luego podemos concluir que en $x=2$ la función presenta un máximo relativo.
Las ordenadas correspondientes a ambos extremos relativos son: para $x=-2$ ( que es el mínimo relativo o local ), $f(-2)=-\dfrac{1}{4}$ ( sustituyendo en la función, $f(x)$, y calculando), y, para $x=2$ ( que es el máximo relativo o local ), encontramos $f(2)=\dfrac{1}{4}$.
En resumen: tenemos un mínimo relativo o local en el punto de coordenadas $A\bigg(-2\,,\,-\dfrac{1}{4}\bigg)$ y un máximo relativo o local en el punto de coordenadas $B\bigg(2\,,\,\dfrac{1}{4}\bigg)$
Representación gráfica:
Para perfilar el trazo, veamos si $f(x)$ tiene raíces; sólo tiene una: $x=0$, pues el numerador solamente se anula para ese valor. Por otra parte, la ordenada en el origen es $f(0)=0$, luego el trazo de la función $f(x)$ pasa por el origen de coordenadas; no tiene contacto con el eje de abscisas en ningún otro punto a distancia finita del origen de coordenadas. Así, pues, el eje de abscisas es una asíntota horizontal, pues $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f(x)=0$.
Con la información recogida ya podemos trazar la curva que corresponde a la función, y es la siguiente:
lunes, 7 de abril de 2014
Calcular los valores de los coeficientes $a$, $b$ i $c$ para que las curvas ...
Enunciado:
(a) Calcular los valores de los coeficientes $a$, $b$ i $c$ para que las curvas correspondientes a las funciones
$f(x)=x^3+a\,x+b$
y
$g(x)=x^3+c\,x^2-2$
tengan la misma recta tangente en el punto $P(1,1)$.
(b) Determinar la ecuación de dicha recta tangente
Solución:
(a)
Si las rectas tangentes a $f$ y $g$ en el punto $P(1,1)$ son las mismas, las pendientes deben tener el mismo valor y, por tanto, tienen que coincidir los valores de las derivadas de las funciones $f$ i $g$ para $x=x_P=1$
Derivando ambas funciones
$f^{'}(x)=3\,x^2+a$
$g^{'}(x)=3\,x^2+2\,c\,x$
y sustituyendo $x$ por $1$, encontramos:
$f^{'}(1)=3+a$
$g^{'}(1)=3+2\,c$
luego, igualando:
$f^{'}(1)=g^{'}(1) \Rightarrow 3+a=3+2\,c$
y simplificando
$a=2\,c \quad \quad \quad (1)$
Como los valores de $f(x)$ i $g(x)$ han de ser igual a $1$ en $x=x_P=1$, tenemos que
si $f(1)=1$,
$1+a+b=1$
y, simplificando,
$b=-a \quad \quad \quad (2)$
por otro lado, si
$g(1)=1$, encontramos
$1+c-2=1$
y simplificando
$c=2 \quad \quad \quad (3)$
Poniendo (3) en (1),
$a=4$
y, de (2),
$b=-4$
Resumiendo esta primera parte: las funciones $f$ y $g$ se concretan de la siguiente forma:
$f(x)=x^3+4\,x-4$
y
$g(x)=x^3+2\,x^2-2$
(b)
Determinaremos, a continuación, la ecuación de la recta tangente $t$ a $f$ i $g$ en el punto $P(1,1)$, que, en forma explícita, ha de ser de la forma
$t:\,y=m\,x+n$
Calculemos, pues, los valores de la pendiente, $m$, y el de la ordenada en el origen, $n$.
Recordando lo obtenido al principio, la pendiente, $m$, de la recta tangente es igual a
$f^{'}(1)=3+a=3+4=7$
Nota: si la calculamos con $g'$, esto es, haciendo $g^{'}(1)$, tenemos que obtener el mismo valor; en efecto,
$g^{'}(1)=3+2\,c=3+2\cdot 2 =3+4=7$
Así, pues,
$t:\,y=7\,x+n$
Y, para calcular el valor de la ordenada en el origen, utilizamos la información de las coordenadas del punto $P(1,1)$, que pertenece a la recta $t$:
$1=7\cdot 1+n \Rightarrow n=-6$
de donde
$t\,:y=7\,x-6$
$\square$
Sea la función logística $f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$. Se pide: (a) calcular las coordenadas del punto de inflexión; (b) determinar las rectas asíntotas horizontales; (c) calcular la ordenada en el origen, y, (d) representar el gráfico de la función.
Enunciado:
Sea la función logística $f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$. Se pide: (a) calcular las coordenadas del punto de inflexión; (b) determinar las rectas asíntotas horizontales; (c) calcular la ordenada en el origen, y, (d) representar el gráfico de la función.
Resolución:
(a)
La condición necesaria para que un valor de $x$ corresponda a un punto de inflexión es $f''(x)=0$. Procedamos, pues, a calcular la primera derivada y, a partir de ella, la segunda:
$f'(x)=\big((1+e^{-x}\big)'=-\dfrac{1}{2}\,\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$
derivando otra vez llegamos a
$f''(x)=-\dfrac{1}{2}\,\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^3}\,(e^{-x}-1)$
luego
$-\dfrac{1}{2}\,\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^3}\,(e^{-x}-1)=0 \Leftrightarrow e^{-x}-1=0 \Leftrightarrow x=0$
y la ordenada correspondiente a dicho punto de inflexión es $f(0)=\dfrac{1}{1+e^0}=\dfrac{1}{2}$. Así, pues, el único punto de inflexión que tiene esa función es $I(0\,,\,1/2)$
$\blacksquare$
Sea la función logística $f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$. Se pide: (a) calcular las coordenadas del punto de inflexión; (b) determinar las rectas asíntotas horizontales; (c) calcular la ordenada en el origen, y, (d) representar el gráfico de la función.
Resolución:
(a)
La condición necesaria para que un valor de $x$ corresponda a un punto de inflexión es $f''(x)=0$. Procedamos, pues, a calcular la primera derivada y, a partir de ella, la segunda:
$f'(x)=\big((1+e^{-x}\big)'=-\dfrac{1}{2}\,\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}$
derivando otra vez llegamos a
$f''(x)=-\dfrac{1}{2}\,\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^3}\,(e^{-x}-1)$
luego
$-\dfrac{1}{2}\,\dfrac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^3}\,(e^{-x}-1)=0 \Leftrightarrow e^{-x}-1=0 \Leftrightarrow x=0$
y la ordenada correspondiente a dicho punto de inflexión es $f(0)=\dfrac{1}{1+e^0}=\dfrac{1}{2}$. Así, pues, el único punto de inflexión que tiene esa función es $I(0\,,\,1/2)$
$\blacksquare$
domingo, 6 de abril de 2014
Determínese la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x)=-x^2+5$ en el punto de abscisa igual a $2$
Encunciado:
Determínese la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x)=-x^2+5$ en el punto de abscisa igual a $2$
Resolución:
La ecuación en forma explícita de la recta tangente pedida
$\text{r.t.}:\,y=m\,x+k$
Debemos calcular, por tanto, el valor los coeficientes $m$ (pendiente) y $k$ (ordenada en el origen); para ello, tenemos en cuenta que: a) la pendiente $m$ es igual al valor de la derivada de la función en el punto P de abscisa dada (significado geométrico de la derivada), y b) las ordenadas de la recta tangente y de la función que describe la curva deben tener el mismo valor en el punt de tangencia.
a) La función derivada se obtiene aplicando las reglas de derivación:
$f^{'}(x)=-2\,x$
que en el punt P de abscisa $x=2$ toma el valor
$f^{'}(2)=-4$
el cual se corresponde con el valor de la pendiente de la recta tangente, $m$
b) En el punt de tangencia P, de abscisa $x=2$ ( punto de contacto entre la recta y la curva) la ordenada de la función que describe la curva ha de ser igual a la ordenada de la la función correspondiente que describe la recta tangente.
La ordenada de P, por la funció $f(x)$, es igual a
$f(2)=-2^2+5$
$=1 \quad \quad \quad \quad \quad (1)$
Y, de acuerdo con la ecuación de la recta, la ordenada de P es igual a
$2\,m+k$
y, puesto que $m=-4$, queda igual a
$2\,(-4)+k \quad \quad \quad \quad (2)$
Igualando (1) y (2)
$-8+k = 1$
d'aquí, encontramos el valor de la ordenada en el origen de la recta tangente
$k = 9$
Finalment, pues, podem concretar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto P:
$\text{r.t.}:\,y=-4\,x+9$
$\square$
Calcular la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+x+1}\,dx$
Enunciado:
Calcular la integral indefinida
$\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+x+1}\,dx$
Solución:
La función del integrando es de tipo racional y su polinomio tiene raíces complejas, con lo cual no podemos descomponer la función
$\dfrac{1}{x^2+x+1}$
en suma de funciones racionales, que sería la vía estándar a seguir.
Esto nos lleva a probar otro camino de resolución alternativo, que es la siguiente. Podemos expresar el polinomio del denominador de la fracción racional del integrando de siguiente forma
$x^2+x+1=\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2-\dfrac{1}{4}+1$
que es igual a
$x^2+x+1=\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}$
luego la función del integrando se puede escribir de la forma
$\dfrac{1}{\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}}$
y, por tanto, la integral objetivo es igual a
$\displaystyle \int \, \dfrac{1}{\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}}\,dx$
y haciendo el cambio de variable
$x+\dfrac{1}{2}= t$
llegamos a
$\displaystyle \int \, \frac{1}{t^2+\dfrac{3}{4}}\,dt=\int \, \dfrac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}\,t^2+\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}}\,dt=\frac{4}{3}\,\int \, \dfrac{1}{\big(\frac{2\,t}{\sqrt{3}}\big)^2+1} \,dt$
y, a su vez, haciendo un segundo cambio
$w=\frac{2\,t}{\sqrt{3}}$
nos queda
$\displaystyle \frac{4}{3}\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\int \, \dfrac{1}{w^2+1} \,dw$
que es igual a
$\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,w+C_1$
Habiendo resuelto ya el problema de integración, procedemos ahora a deshacer los cambios de variable por orden inverso a los pasos realizados, llegando a
$\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,t}{\sqrt{3}} +C_2$
$\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,(x+\frac{1}{2}}{\sqrt{3}} +C$
es decir
$\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,x+1}{\sqrt{3}} +C$
que es igual a la familia de primitivas de la función del integrando.
$\square$
Se quiere construir un marco de una ventana rectangular de $8\,\text{m}^2$. El metro lineal de tramos horizontales cuesta $2,50$ euros, mientras que el metro lineal de tramos verticales cuesta $5$ euros. Determinar las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo, y hallar el precio de dicho marco.
Enunciado:
Se quiere construir un marco de una ventana rectangular de $8\,\text{m}^2$. El metro lineal de tramos horizontales cuesta $2,50$ euros, mientras que el metro lineal de tramos verticales cuesta $5$ euros. Determinar las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo, y hallar el precio de dicho marco.
Resolución:
Denotemos por $b$ la longitud de un tramo horizontal, luego $\dfrac{8}{b}$ representa la longitud de un tramo vertical; de aquí, podemos escribir la función de coste como $f(b)=2\,(2,50 \, b+5\cdot \dfrac{8}{b})$, donde $b$ es una magnitud positiva.
Imponiendo la condición necesaria para la existencia de extremos relativos ( entre ellos, los posibles mínimos relativos ): $f'(b)=0$, luego $2,50 - \dfrac{40}{b^2}=0 \Leftrightarrow b=4$, con lo cual, la longitud de cada tramo vertical ( que denotamos por $a$ ) es $a=8/4=2$ ( las unidades vienen expresadas en metros ).
Es inmediato comprobar que el signo de la derivada es negativo para $b <4$ y positivo para $b > 4$, luego la función $f$ presenta un mínimo relativo para $b=4 \, \text{m}$ y al no haber otros extremos relativos, es el mínimo absoluto en el dominio de definición de la función, luego podemos concluir que las dimensiones del marco que minimizan el coste del marco corresponden a un rectángulo que tiene: $4\,\text{m}$ de longitud para cada tramo horizontal y $2\,\text{m}$ de longitud para cada tramo vertical.
Así, pues, el coste mínimo del marco es $f(4)=2\,(2,50\cdot \dfrac{8}{4}+5\cdot 4)=50$ euros
$\blacksquare$
Se quiere construir un marco de una ventana rectangular de $8\,\text{m}^2$. El metro lineal de tramos horizontales cuesta $2,50$ euros, mientras que el metro lineal de tramos verticales cuesta $5$ euros. Determinar las dimensiones de la ventana para que el coste del marco sea mínimo, y hallar el precio de dicho marco.
Resolución:
Denotemos por $b$ la longitud de un tramo horizontal, luego $\dfrac{8}{b}$ representa la longitud de un tramo vertical; de aquí, podemos escribir la función de coste como $f(b)=2\,(2,50 \, b+5\cdot \dfrac{8}{b})$, donde $b$ es una magnitud positiva.
Imponiendo la condición necesaria para la existencia de extremos relativos ( entre ellos, los posibles mínimos relativos ): $f'(b)=0$, luego $2,50 - \dfrac{40}{b^2}=0 \Leftrightarrow b=4$, con lo cual, la longitud de cada tramo vertical ( que denotamos por $a$ ) es $a=8/4=2$ ( las unidades vienen expresadas en metros ).
Es inmediato comprobar que el signo de la derivada es negativo para $b <4$ y positivo para $b > 4$, luego la función $f$ presenta un mínimo relativo para $b=4 \, \text{m}$ y al no haber otros extremos relativos, es el mínimo absoluto en el dominio de definición de la función, luego podemos concluir que las dimensiones del marco que minimizan el coste del marco corresponden a un rectángulo que tiene: $4\,\text{m}$ de longitud para cada tramo horizontal y $2\,\text{m}$ de longitud para cada tramo vertical.
Así, pues, el coste mínimo del marco es $f(4)=2\,(2,50\cdot \dfrac{8}{4}+5\cdot 4)=50$ euros
$\blacksquare$
viernes, 4 de abril de 2014
Calcular el siguiente límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg(\dfrac{x}{x+1}\Bigg)^{x+2}$
Enuncido:
Calcular el siguiente límite
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg(\dfrac{x}{x+1}\Bigg)^{x+2}$
Solución:
Teniendo en cuenta que, dada una función $f(x)$ que tiende a $\infty$, se cumple que (propiedad):
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\bigg(1+\dfrac{1}{f(x)}\bigg)^{f(x)}=e$
entonces, conformando el argumento del límite en la forma conveniente par aplicar dicha propiedad,
$\bigg( \dfrac{x}{x+1}\bigg)^{x+2}=\bigg(1+\dfrac{x}{x+1}-1\bigg)^{x+2}=\bigg(1+\dfrac{1}{-(x+1)}\bigg)^{x+2}$
$=\Bigg(\bigg(1+\dfrac{1}{-(x+1)}\bigg)^{-(x+1)}\Bigg)^{\dfrac{x+2}{-(x+1)}}$
con lo cual
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\Bigg( \Bigg(\bigg(1+\dfrac{1}{-(x+1)}\bigg)^{-(x+1)}\Bigg)^{\dfrac{x+2}{-(x+1)}}\Bigg)$
$=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\Bigg(\bigg(1+\dfrac{1}{-(x+1)}\bigg)^{-(x+1)}\Bigg)^{\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, -\dfrac{x+2}{(x+1)}}$
$=\displaystyle e^{\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, -\dfrac{x+2}{(x+1)}}$
$=\displaystyle e^{-1}$
$=\displaystyle \dfrac{1}{e}$
Otra manera de hacerlo:
Pasando al límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo
$1^{\infty}$
Denotemos por $\lambda$ al valor del límite. Entonces, de
$\displaystyle \lambda= \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg(\dfrac{x}{n+1}\Bigg)^{x+2}$
extraemos logaritmos neperianos en cada miembro
$\displaystyle \ln\,\lambda= \ln\,\Bigg( \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)^{x+2}\Bigg)$
y por la propiedad de reciprocidad entre límites y exponenciales,
$\displaystyle \lambda= e^{\ln\,\Bigg( \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Big(\dfrac{n}{n+1}\Big)^{n+2}\Bigg)} \quad \quad \quad (1)$
Para determinar $\lambda$ es necesario, pues, calcular el valor del exponente del segundo miembro
$\displaystyle \ln\,\Bigg( \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Big(\dfrac{x}{x+1}\Big)^{x+2}\Bigg)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \ln \Big( \dfrac{x}{x+1}\Big)^{x+2}$
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg( (x+2)\,\ln \Big( \dfrac{x}{x+1}\Big)\Bigg)$
$\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg( \dfrac{\ln \Big( \dfrac{x}{x+1}\Big)}{\dfrac{1}{(x+2)}}\Bigg)$
y, pasando al límite, nos topamos, ahora, con una indeterminación del tipo
$\dfrac{0}{0}$
que resolveremos mediante la regla de l'Hôpital
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg( \dfrac{\ln \Big( \dfrac{x}{x+1}\Big)}{\dfrac{1}{(x+2)}}\Bigg)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg( \dfrac{\Big(\ln \big( \dfrac{x}{x+1}\big)\Big)^{'}}{\Big(\dfrac{1}{(x+2)}\Big)^{'}}\Bigg)=$
$\displaystyle=\lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg( \dfrac{\dfrac{x+1}{x}\cdot\big(\dfrac{x}{x+1}\big)^{'}}{\displaystyle -\frac{1}{(x+2)^2}}\Bigg)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \dfrac{\dfrac{1}{x\,(x+1)}}{-\dfrac{1}{(x+2)^2}}=$
$=-\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \dfrac{x^2+4\,x+4}{x^2+x}=-1$
Entonces, de (1), podemos concluir que el valor del límite pedido es
$\lambda=e^{-1}=\dfrac{1}{e}$
esto es
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, \Bigg(\dfrac{x}{x+1}\Bigg)^{x+2}=\dfrac{1}{e}$
$\square$
jueves, 3 de abril de 2014
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