Enunciado:
Resuélvase la ecuación matricial $A\,X+B=C$, siendo:
$
A=\begin{pmatrix}
-1&2 &1 \\
0&2 &0 \\
-2&1 &1
\end{pmatrix}
$
$B=\begin{pmatrix}
1&4 &4 \\
-1&-1 &-1 \\
7&1 &0
\end{pmatrix}
$
$C=\begin{pmatrix}
0&0 &5 \\
1&-2 &1 \\
-2&1 &-3
\end{pmatrix}
$
Resolución:
$A\,X+B=C$
$A\,X+B-B=C-B$ ( restando $B$ a cada miembro )
$A\,X+O=C-B$ ( $O$ es la matriz nula )
$A\,X=C-B$
$A^{-1}\,A\,X=A^{-1}\,(C-B)$ ( multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda en cada miembro de la igualdad )
$I \, X = A^{-1}\,(C-B)$ ( $I$ es la matriz identidad )
$I \, X = A^{-1}\,(C-B)$
$X = A^{-1}\,(C-B)$ (1)
Calculamos $A^{-1}$ empleando el método de Gauss-Jordan, que consiste en transformar $(A|I)$ en $(I|A^{-1})$ mediante operaciones elementales por filas:
$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
-2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}\right)
\overset{-2\,f_1+f_3 \rightarrow f_3}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & -3 & -1 & -2 & 0 & 1\\
\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & -3 & -1 & -2 & 0 & 1\\
\end{array}\right)
\overset{\frac{3}{2}\,f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\
\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\
\end{array}\right)
\overset{1 \cdot f_3+f_1 \rightarrow f_1}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 2 & 0 & -1 & \dfrac{3}{2} & 1\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\
\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 2 & 0 & -1 & \dfrac{3}{2} & 1\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\
\end{array}\right)
\overset{(-1) \cdot f_2+f_1 \rightarrow f_1}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & -1 & \dfrac{1}{2} & 1\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\
\end{array}\right)$
$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & -1 & \dfrac{1}{2} & 1\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\
\end{array}\right)
\overset{(-1) \cdot f_1 \rightarrow f_1; \quad \frac{1}{2} \cdot f_2 \rightarrow f_2; \quad (-1) \cdot f_3 \rightarrow f_3}{\rightarrow}$
$ \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{2} & -1\\
0 & 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{2} & 0\\
0 & 0 & 1 & 2 & -\dfrac{3}{2} & -1\\
\end{array}\right) \Rightarrow A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -\dfrac{1}{2} & -1\\
0 & \dfrac{1}{2} & 0\\
2 & -\dfrac{3}{2} & -1\\
\end{array}\right)$
Por lo tanto, de (1):
$(X)_{3 \times 3}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -\dfrac{1}{2} & -1\\
0 & \dfrac{1}{2} & 0\\
2 & -\dfrac{3}{2} & -1\\
\end{array}\right)\, \left( \left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 5\\
1 & -2 & 1\\
-2 & 1 & -3\\
\end{array}\right)
-
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 4\\
-1 & -1 & -1\\
7 & 1 & 0\\
\end{array}\right)
\right)$
$=
\left(\begin{array}{ccc}
1 & -\dfrac{1}{2} & -1\\
0 & \dfrac{1}{2} & 0\\
2 & -\dfrac{3}{2} & -1\\
\end{array}\right)\, \left(\begin{array}{ccc}
-1 & -4 & 1\\
2 & -1 & 2\\
-9 & 0 & -3\\
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}
7 & -\dfrac{7}{2} & 3\\
1 & -\dfrac{1}{2} & 1\\
4 & -\dfrac{13}{2} & 2\\
\end{array}\right)$
$\square$
martes, 13 de mayo de 2014
En una empresa se editan revistas de dos tipos; de deportes y de cine. Cada revista de deportes precisa dos cartuchos de tinta negra y uno de color, y se vende a $3$ euros. Cada revista de cine precisa dos cartuchos de tinta negra y dos de color, y se vende a $5$ euros. Se dispone de $500$ cartuchos de cada clase. Suponiendo que se vendan todas las revistas que se produzcan, ¿ cuántas de cada tipo se deben realizar para obtener el mayor ingreso posible ?.
Enunciado:
En una empresa se editan revistas de dos tipos; de deportes y de cine. Cada revista de deportes precisa dos cartuchos de tinta negra y uno de color, y se vende a $3$ euros. Cada revista de cine precisa dos cartuchos de tinta negra y dos de color, y se vende a $5$ euros. Se dispone de $500$ cartuchos de cada clase. Suponiendo que se vendan todas las revistas que se produzcan, ¿ cuántas de cada tipo se deben realizar para obtener el mayor ingreso posible ?.
Solución:
Denotemos por $d$ al número de revistas deportivas; $c$ al número de revistas de cine, e $I$ a los ingresos por las ventas de todas las revistas producidas. Entonces:
Función objetivo: $I(d,c)=3\,d+5\,c$ (1)
Sistema de restricciones:
$$\left\{\begin{matrix}
2d &+&2c &\le & 500 \\
d &+&2c &\le & 500 \\
& d \ge 0\\
& c \ge 0\\
\end{matrix}\right.$$
es decir
$$\left\{\begin{matrix}
d & \le & 250 &- &c \\
d & \le & 500 &- &2c \\
& d \ge 0\\
& c \ge 0\\
\end{matrix}\right.$$
Rectas que determinan los bordes de la región factible:
$$\left\{\begin{matrix}
d & = & 250 &- &c \\
d & = & 500 &- &2c \\
& d = 0\\
& c = 0\\
\end{matrix}\right.$$
Región factible ( Si existe solución o soluciones - de existir, puede no ser única -, esta es la región del plano que la contiene ):
Família de rectas de la función objetivo:
Despejando $d$ de (1): $d=-\dfrac{5}{3}\,c+\dfrac{I}{3}$, luego $I$ es máximo cuando la ordenada en el origen, $\dfrac{I}{3}$, de dichas rectas es máxima, lo cual se da para la recta que pasa por el punto $A(250,0)$ tal como se puede visualizar en el gráfico.
Así, pues, $I_{máx}=I(d_A,c_A)=d(0,250)=3\cdot 0+5\cdot 250=1250$ euros, y dicho valor máximo se obtiene produciendo $250$ revista de cine y ninguna de deportes.
$\square$
En una empresa se editan revistas de dos tipos; de deportes y de cine. Cada revista de deportes precisa dos cartuchos de tinta negra y uno de color, y se vende a $3$ euros. Cada revista de cine precisa dos cartuchos de tinta negra y dos de color, y se vende a $5$ euros. Se dispone de $500$ cartuchos de cada clase. Suponiendo que se vendan todas las revistas que se produzcan, ¿ cuántas de cada tipo se deben realizar para obtener el mayor ingreso posible ?.
Solución:
Denotemos por $d$ al número de revistas deportivas; $c$ al número de revistas de cine, e $I$ a los ingresos por las ventas de todas las revistas producidas. Entonces:
Función objetivo: $I(d,c)=3\,d+5\,c$ (1)
Sistema de restricciones:
$$\left\{\begin{matrix}
2d &+&2c &\le & 500 \\
d &+&2c &\le & 500 \\
& d \ge 0\\
& c \ge 0\\
\end{matrix}\right.$$
es decir
$$\left\{\begin{matrix}
d & \le & 250 &- &c \\
d & \le & 500 &- &2c \\
& d \ge 0\\
& c \ge 0\\
\end{matrix}\right.$$
Rectas que determinan los bordes de la región factible:
$$\left\{\begin{matrix}
d & = & 250 &- &c \\
d & = & 500 &- &2c \\
& d = 0\\
& c = 0\\
\end{matrix}\right.$$
Región factible ( Si existe solución o soluciones - de existir, puede no ser única -, esta es la región del plano que la contiene ):
Família de rectas de la función objetivo:
Despejando $d$ de (1): $d=-\dfrac{5}{3}\,c+\dfrac{I}{3}$, luego $I$ es máximo cuando la ordenada en el origen, $\dfrac{I}{3}$, de dichas rectas es máxima, lo cual se da para la recta que pasa por el punto $A(250,0)$ tal como se puede visualizar en el gráfico.
Así, pues, $I_{máx}=I(d_A,c_A)=d(0,250)=3\cdot 0+5\cdot 250=1250$ euros, y dicho valor máximo se obtiene produciendo $250$ revista de cine y ninguna de deportes.
$\square$
Tres amigos trabajan un cierto número de horas diarias en una empresa que se dedica a repartir propaganda. Debido tanto a la antigüedad como al número de horas diarias que trabajan, tienen saliros diferentes. Sabemos que: por cada día trabajado, los tres juntos ganan $490$ euros; por $6$ días del primero, $4$ del segundo y $6$ del tercero, obtienen un total de $486$ euros, y, por $5$ días primero, $2$ del segundo y $2$ del tercero, cobran en total $306$ euros. ¿ Cuánto cobra al día cada uno ?.
Enunciado:
Tres amigos trabajan un cierto número de horas diarias en una empresa que se dedica a repartir propaganda. Debido tanto a la antigüedad como al número de horas diarias que trabajan, tienen saliros diferentes. Sabemos que: por cada día trabajado, los tres juntos ganan $490$ euros; por $6$ días del primero, $4$ del segundo y $6$ del tercero, obtienen un total de $486$ euros, y, por $5$ días primero, $2$ del segundo y $2$ del tercero, cobran en total $306$ euros. ¿ Cuánto cobra al día cada uno ?.
Resolución:
Denotemos por $x$ el salario diario del primero; por $y$, el del segundo, y por $z$ el del tercero. Entonces, de acuerdo con la información del enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que iremos reduciendo por Gauss ( obteniendo sistemas equivalentes, hasta llegar a un sistema escalonado ):
$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
6x &+ &4y&+&6z&=&486 \\
5x &+ &2y&+&2z&=&306 \\
\end{matrix}\right.
\overset{\frac{1}{2}\,e_2 \rightarrow e_2}{\sim}
\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
3x &+ &2y&+&3z&=&243 \\
5x &+ &2y&+&2z&=&306 \\
\end{matrix}\right.
$
$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
3x &+ &2y&+&3z&=&243 \\
5x &+ &2y&+&2z&=&306 \\
\end{matrix}\right.
\overset{e_2-3\,e_1 \rightarrow e_2; \quad e_3-5\,e_1 \rightarrow e_3}{\sim}$
$
\sim \left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
& &y&&&=&27 \\
& &3y&+&3z&=&144 \\
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
& &y&&&=&27 \\
& &y&+&z&=&48 \\
\end{matrix}\right.
\sim
$
$\overset{e_3-e_1 \rightarrow e_3}{\sim}
\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
& &y&&&=&27 \\
& &&&z&=&21 \\
\end{matrix}\right.
$
y sustituyendo $z=21$ e $y=27$ en la primera ecuación obtenemos finalmente un sistema equivalente de rango $3$, que es igual al número de incógnitas, y, por tanto, según el Teorema de Rouché-Frobenius, es compatible determinado, con la siguiente solución:
$\left\{\begin{matrix}
x & &&&&=&42 \\
& &y&&&=&27 \\
& &&&z&=&21 \\
\end{matrix}\right.
$
$\square$
Tres amigos trabajan un cierto número de horas diarias en una empresa que se dedica a repartir propaganda. Debido tanto a la antigüedad como al número de horas diarias que trabajan, tienen saliros diferentes. Sabemos que: por cada día trabajado, los tres juntos ganan $490$ euros; por $6$ días del primero, $4$ del segundo y $6$ del tercero, obtienen un total de $486$ euros, y, por $5$ días primero, $2$ del segundo y $2$ del tercero, cobran en total $306$ euros. ¿ Cuánto cobra al día cada uno ?.
Resolución:
Denotemos por $x$ el salario diario del primero; por $y$, el del segundo, y por $z$ el del tercero. Entonces, de acuerdo con la información del enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que iremos reduciendo por Gauss ( obteniendo sistemas equivalentes, hasta llegar a un sistema escalonado ):
$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
6x &+ &4y&+&6z&=&486 \\
5x &+ &2y&+&2z&=&306 \\
\end{matrix}\right.
\overset{\frac{1}{2}\,e_2 \rightarrow e_2}{\sim}
\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
3x &+ &2y&+&3z&=&243 \\
5x &+ &2y&+&2z&=&306 \\
\end{matrix}\right.
$
$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
3x &+ &2y&+&3z&=&243 \\
5x &+ &2y&+&2z&=&306 \\
\end{matrix}\right.
\overset{e_2-3\,e_1 \rightarrow e_2; \quad e_3-5\,e_1 \rightarrow e_3}{\sim}$
$
\sim \left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
& &y&&&=&27 \\
& &3y&+&3z&=&144 \\
\end{matrix}\right.
\sim
\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
& &y&&&=&27 \\
& &y&+&z&=&48 \\
\end{matrix}\right.
\sim
$
$\overset{e_3-e_1 \rightarrow e_3}{\sim}
\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
& &y&&&=&27 \\
& &&&z&=&21 \\
\end{matrix}\right.
$
y sustituyendo $z=21$ e $y=27$ en la primera ecuación obtenemos finalmente un sistema equivalente de rango $3$, que es igual al número de incógnitas, y, por tanto, según el Teorema de Rouché-Frobenius, es compatible determinado, con la siguiente solución:
$\left\{\begin{matrix}
x & &&&&=&42 \\
& &y&&&=&27 \\
& &&&z&=&21 \\
\end{matrix}\right.
$
$\square$
La ciudad $A$ tiene el triple de habitantes ( adultos ) que la ciudad $B$, pero la proporción de universitarios en la ciudad $B$ es el doble que en la ciudad $A$. Sabiendo que la proporción de universitarios es del $10\,\%$, se pide: a) ¿ Cuál es la probabilidad de que eligiendo al azar un habitante del conjunto de las dos ciudades resulte ser universitario ? b) Sabiendo que el habitante elegido al azar entre el conjunto de habitantes de ambas ciudades resulta ser universitario, ¿ cuál es la probabilidad de que sea un habitante de la ciudad $A$ ? ¿ Cuál es la probabilidad de que sea de la ciudad $B$ ? ¿ En qué ciudad hay más universitarios ?.
Enunciado:
La ciudad $A$ tiene el triple de habitantes ( adultos ) que la ciudad $B$, pero la proporción de universitarios en la ciudad $B$ es el doble que en la ciudad $A$. Sabiendo que la proporción de universitarios es del $10\,\%$, se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que eligiendo al azar un habitante del conjunto de las dos ciudades resulte ser universitario ?
b) Sabiendo que el habitante elegido al azar entre el conjunto de habitantes de ambas ciudades resulta ser universitario, ¿ cuál es la probabilidad de que sea un habitante de la ciudad $A$ ? ¿ Cuál es la probabilidad de que sea de la ciudad $B$ ? ¿ En qué ciudad hay más universitarios ?.
Solución:
Denominamos $A$ al suceso "elegir, al azar, una persona de la ciudad A"; $B$, al suceso "elegir, al azar, una persona de la ciudad B; $U$, al suceso "elegir, al azar, una persona universitaria". Entonces; $a$ al número de habitantes de la ciudad A, y $b$ al número de habitantes de la ciudad B.
Entonces, como $\dfrac{a}{b}=3$, $a=3\,b$, y, por tanto, $P(A):=\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{3\,b}{3\,b+b}=\dfrac{3\,b}{4\,b}=\dfrac{3}{4}$, con lo cual $P(B)=1-P(A)=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$
a)
Por el Teorema de la Probabilidad Total: $P(U)=P(U|A)\,P(A)+P(U|B)\,P(B)$, y, teniendo en cuenta ( enunciado ) que $P(U|A)=\dfrac{1}{10}$ y que, por tanto, $P(U|B)=2\,P(U|A)=2\cdot \dfrac{1}{10}=\dfrac{2}{10}$, obtenemos $P(U)=\dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{10}\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$
b)
Por el Teorema de Bayes:
$P(A|U)=\dfrac{P(U|A)\,P(A)}{P(U)}=\dfrac{(1/10)\cdot(3/4)}{1/8}=\dfrac{3\cdot 8}{40}=\dfrac{3}{5}$
$P(B|U)=\dfrac{P(U|B)\,P(B)}{P(U)}=\dfrac{(2/10)\cdot(1/4)}{1/8}=\dfrac{2\cdot 8}{40}=\dfrac{2}{5}$
Y, como $P(A|U) \succ P(B|U)$, se desprende de ello que el número de universitarios es mayor en la ciudad A que en la ciudad B.
$\square$
La ciudad $A$ tiene el triple de habitantes ( adultos ) que la ciudad $B$, pero la proporción de universitarios en la ciudad $B$ es el doble que en la ciudad $A$. Sabiendo que la proporción de universitarios es del $10\,\%$, se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que eligiendo al azar un habitante del conjunto de las dos ciudades resulte ser universitario ?
b) Sabiendo que el habitante elegido al azar entre el conjunto de habitantes de ambas ciudades resulta ser universitario, ¿ cuál es la probabilidad de que sea un habitante de la ciudad $A$ ? ¿ Cuál es la probabilidad de que sea de la ciudad $B$ ? ¿ En qué ciudad hay más universitarios ?.
Solución:
Denominamos $A$ al suceso "elegir, al azar, una persona de la ciudad A"; $B$, al suceso "elegir, al azar, una persona de la ciudad B; $U$, al suceso "elegir, al azar, una persona universitaria". Entonces; $a$ al número de habitantes de la ciudad A, y $b$ al número de habitantes de la ciudad B.
Entonces, como $\dfrac{a}{b}=3$, $a=3\,b$, y, por tanto, $P(A):=\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{3\,b}{3\,b+b}=\dfrac{3\,b}{4\,b}=\dfrac{3}{4}$, con lo cual $P(B)=1-P(A)=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$
a)
Por el Teorema de la Probabilidad Total: $P(U)=P(U|A)\,P(A)+P(U|B)\,P(B)$, y, teniendo en cuenta ( enunciado ) que $P(U|A)=\dfrac{1}{10}$ y que, por tanto, $P(U|B)=2\,P(U|A)=2\cdot \dfrac{1}{10}=\dfrac{2}{10}$, obtenemos $P(U)=\dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{10}\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$
b)
Por el Teorema de Bayes:
$P(A|U)=\dfrac{P(U|A)\,P(A)}{P(U)}=\dfrac{(1/10)\cdot(3/4)}{1/8}=\dfrac{3\cdot 8}{40}=\dfrac{3}{5}$
$P(B|U)=\dfrac{P(U|B)\,P(B)}{P(U)}=\dfrac{(2/10)\cdot(1/4)}{1/8}=\dfrac{2\cdot 8}{40}=\dfrac{2}{5}$
Y, como $P(A|U) \succ P(B|U)$, se desprende de ello que el número de universitarios es mayor en la ciudad A que en la ciudad B.
$\square$
En el supueto de que, en una determinada ciudad, la variable aleatoria número de días de duración de un contrato laboral siga una distribución aproximadamente normal, de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=57$ días, ¿ cuál es el número mínimo de contratos que debemos examinar para que el intervalo de confianza, al $95\,\%$ de confianza, con el que estimamos la media poblacional, $\mu$, de dicha variable aleatoria tenga una amplitud inferior a $10$ días ?.
Enunciado:
En el supueto de que, en una determinada ciudad, la variable aleatoria número de días de duración de un contrato laboral siga una distribución aproximadamente normal, de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=57$ días, ¿ cuál es el número mínimo de contratos que debemos examinar para que el intervalo de confianza, al $95\,\%$ de confianza, con el que estimamos la media poblacional, $\mu$, de dicha variable aleatoria tenga una amplitud inferior a $10$ días ?.
Resolución:
Siendo el intervalo de confianza $I_{\mu}=[\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E]$ donde $E=z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, y siendo $2\,E \prec 10$, se cumple que $2\cdot z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \prec 10$, y, teniendo en cuenta que el valor de la abscisa $z_{\alpha/2}=z_{0'05/2}=z_{0'025}$ tal que $P\{Z \ge z_{\alpha/2}\}=\dfrac{1-0'95}{2}=0'025$ y, por tanto, siendo $P\{Z \le z_{0'025}\}=F(z_{0'025})=1-0'025=0'975$ encontramos ( tablas de la función de la función de distribución de probabilidad $F(z)$ ) que $z_{0'025}=1'96$. Luego, con este valor y los datos del problema,
$1,96 \cdot \dfrac{57}{\sqrt{n}} \prec 5 \Rightarrow n \succ \big( \dfrac{1'96 \cdot 57} {5}\big)^2=500$, o sea, $n \succ 500$
$\square$
En el supueto de que, en una determinada ciudad, la variable aleatoria número de días de duración de un contrato laboral siga una distribución aproximadamente normal, de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=57$ días, ¿ cuál es el número mínimo de contratos que debemos examinar para que el intervalo de confianza, al $95\,\%$ de confianza, con el que estimamos la media poblacional, $\mu$, de dicha variable aleatoria tenga una amplitud inferior a $10$ días ?.
Resolución:
Siendo el intervalo de confianza $I_{\mu}=[\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E]$ donde $E=z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, y siendo $2\,E \prec 10$, se cumple que $2\cdot z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \prec 10$, y, teniendo en cuenta que el valor de la abscisa $z_{\alpha/2}=z_{0'05/2}=z_{0'025}$ tal que $P\{Z \ge z_{\alpha/2}\}=\dfrac{1-0'95}{2}=0'025$ y, por tanto, siendo $P\{Z \le z_{0'025}\}=F(z_{0'025})=1-0'025=0'975$ encontramos ( tablas de la función de la función de distribución de probabilidad $F(z)$ ) que $z_{0'025}=1'96$. Luego, con este valor y los datos del problema,
$1,96 \cdot \dfrac{57}{\sqrt{n}} \prec 5 \Rightarrow n \succ \big( \dfrac{1'96 \cdot 57} {5}\big)^2=500$, o sea, $n \succ 500$
$\square$
Calcule las siguientes probabilidades ...
Enunciado:
(1) Calcule las siguientes probabilidades:
a) $P\{3'5 \le X \le 4'5\}$, siendo $X \sim N(5\,,\,1'2)$
b) $P\{ X = 20 \}$, siendo $X \sim B(40\,,\,0'4)$
c) $P\{ X \le 4 \}$, siendo $X \sim B(5\,,\,0'5)$
(2) Calcule el valor de la abscisa $k$ tal que $P\{|Z|\le k\}=0'8$, siendo $Z \sim N(0\,,\,1)$
Resolución:
(1)
a)
$P\{3'5 \le X \le 4'5 \}=$
$= P\{\dfrac{3'5-5}{1'2} \le Z \le \dfrac{4'5-5}{1'2} \}$ ( tipificando la variable )
$=P\{-1'25 \le Z \le -0'42 \}=P\{Z \le -0'42 \}-P\{Z \le -1'25 \}$
$=P\{Z \ge 0'42 \}-P\{Z \ge 1'25 \}$ (simetría de la función de densidad $f(z)$ )
$=1-P\{Z \le 0'42 \}-(1-P\{Z \ge 1'25 \})$ ( probabilidad del contrario )
$=P\{Z \le 1'25 \}-P\{Z \le 0'42 \}$
$F(1'25) - F(0'42) \underset{\text{tablas}}{=}0'8944-0'6628=0'2316$
b)
Con el fin de hacer viable el cálculo, nos proponemos aproximar la variable aleatoria binomial $X=B(40\,,\,0'4)$ por una variable aleatoria normal $Y=N(\mu\,,\,\sigma)$, con $\mu=40\cdot 0'4=16$ y $\sigma=\sqrt{40\cdot 0'4\cdot (1-0'4)}\approx 3'10$; pero, antes, debemos comprobar que estamos en condiciones de realizar dicha aproximación; para ello, debemos comprobar que, siendo $p \prec 0'5$, $n\,p$ sea mayor que $5$; en efecto, $40\cdot 0'4=16 \succ 5$.
Entonces, haciendo, además, la corrección de continuidad, para poder calcular la probabilidad del valor puntual,
$P\{ X = 20 \} \approx P\{ 19'5 \le Y \le 20'5 \}$
$=P\{ 19'5 \le Y \le 20'5 \}$
$=P\{ \dfrac{19'5-16}{3'10} \le Z \le \dfrac{20'5-16}{3'10} \}$ ( tipificando la variable normal )
$= P\{ 1'13 \le Z \le 1'45 \}$
$= P\{ Z \le 1'45 \} - P\{ Z \le 1'13 \}$
$ = 0'9265-0'8708$
$ = 0'0557$
c)
La variable aleatoria es, en este caso, binomial, y el cálculo directo con dicha distribución resulta viable ( pues los valores son pequeños ) y no hace falta aproximar por la normal, luego
$P\{ X \le 4 \}=1-P\{ X = 5 \}=1-\binom{5}{5}\,0'5\cdot 0'5=1-1\cdot 0'25 = 0'75$
(2)
$P\{|Z|\le k\}=0'8 \Rightarrow P\{Z \ge k\}=\dfrac{1-0'8}{2}=0'1$ ( por tratarse de la cola derecha )
por tanto $P\{Z \le k\}=F(k)=1-0'1=0'9$ ( por la probabilidad del contrario )
y, consultando las tablas de la función de distribución, encontramos: $k \approx 1'29$
$\square$
(1) Calcule las siguientes probabilidades:
a) $P\{3'5 \le X \le 4'5\}$, siendo $X \sim N(5\,,\,1'2)$
b) $P\{ X = 20 \}$, siendo $X \sim B(40\,,\,0'4)$
c) $P\{ X \le 4 \}$, siendo $X \sim B(5\,,\,0'5)$
(2) Calcule el valor de la abscisa $k$ tal que $P\{|Z|\le k\}=0'8$, siendo $Z \sim N(0\,,\,1)$
Resolución:
(1)
a)
$P\{3'5 \le X \le 4'5 \}=$
$= P\{\dfrac{3'5-5}{1'2} \le Z \le \dfrac{4'5-5}{1'2} \}$ ( tipificando la variable )
$=P\{-1'25 \le Z \le -0'42 \}=P\{Z \le -0'42 \}-P\{Z \le -1'25 \}$
$=P\{Z \ge 0'42 \}-P\{Z \ge 1'25 \}$ (simetría de la función de densidad $f(z)$ )
$=1-P\{Z \le 0'42 \}-(1-P\{Z \ge 1'25 \})$ ( probabilidad del contrario )
$=P\{Z \le 1'25 \}-P\{Z \le 0'42 \}$
$F(1'25) - F(0'42) \underset{\text{tablas}}{=}0'8944-0'6628=0'2316$
b)
Con el fin de hacer viable el cálculo, nos proponemos aproximar la variable aleatoria binomial $X=B(40\,,\,0'4)$ por una variable aleatoria normal $Y=N(\mu\,,\,\sigma)$, con $\mu=40\cdot 0'4=16$ y $\sigma=\sqrt{40\cdot 0'4\cdot (1-0'4)}\approx 3'10$; pero, antes, debemos comprobar que estamos en condiciones de realizar dicha aproximación; para ello, debemos comprobar que, siendo $p \prec 0'5$, $n\,p$ sea mayor que $5$; en efecto, $40\cdot 0'4=16 \succ 5$.
Entonces, haciendo, además, la corrección de continuidad, para poder calcular la probabilidad del valor puntual,
$P\{ X = 20 \} \approx P\{ 19'5 \le Y \le 20'5 \}$
$=P\{ 19'5 \le Y \le 20'5 \}$
$=P\{ \dfrac{19'5-16}{3'10} \le Z \le \dfrac{20'5-16}{3'10} \}$ ( tipificando la variable normal )
$= P\{ 1'13 \le Z \le 1'45 \}$
$= P\{ Z \le 1'45 \} - P\{ Z \le 1'13 \}$
$ = 0'9265-0'8708$
$ = 0'0557$
c)
La variable aleatoria es, en este caso, binomial, y el cálculo directo con dicha distribución resulta viable ( pues los valores son pequeños ) y no hace falta aproximar por la normal, luego
$P\{ X \le 4 \}=1-P\{ X = 5 \}=1-\binom{5}{5}\,0'5\cdot 0'5=1-1\cdot 0'25 = 0'75$
(2)
$P\{|Z|\le k\}=0'8 \Rightarrow P\{Z \ge k\}=\dfrac{1-0'8}{2}=0'1$ ( por tratarse de la cola derecha )
por tanto $P\{Z \le k\}=F(k)=1-0'1=0'9$ ( por la probabilidad del contrario )
y, consultando las tablas de la función de distribución, encontramos: $k \approx 1'29$
$\square$
Resolver las siguientes integrales indefinidas ...
Enunciado:
Resolver las siguientes integrales indefinidas:
a) $\displaystyle \int x \,\ln x \,dx$
b) $\displaystyle \int \sqrt{2x+1} \, dx$
c) $\displaystyle \int \dfrac{2x}{x^2+1} \,dx$
d) $\displaystyle \int 2^x \,dx$
Resolución:
a)
Integrando por partes ( $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$ ) y haciendo las siguientes asignaciones:
$u:=\ln x \Rightarrow du = \dfrac{1}{x}\,dx$ y $dv:=x\,dx \Rightarrow v= \dfrac{1}{2}\,x^2$
podemos escribir la integral pedida de la forma
$\displaystyle \int x \,\ln x \,dx = \dfrac{1}{2}\,x^2\,\ln x - \int \, \dfrac{1}{2}\,x^2 \, \dfrac{1}{x}\,dx $
e integrando - fácilmente ya - la integral del segundo término llegamos a
$\displaystyle \int x \,\ln x \,dx = \dfrac{1}{2}\,x^2\,\ln x - \dfrac{1}{4}\,x^2 + C = \dfrac{1}{2}\,x^2 \, ( \ln x - \dfrac{1}{2} ) + C $
b)
$\displaystyle \int \sqrt{2x+1} \, dx \underset{(1)}{=} \int \sqrt{2x+1} \, d\big( \frac{1}{2}\,(2x+1) \big)=\dfrac{1}{2}\,\int (2x+1)^{\frac{1}{2}} \, d(2x+1)$
$=\displaystyle \dfrac{1}{2}\,\dfrac{1}{\frac{1}{2}+1}\,(2x+1)^{\frac{1}{2}+1}+C$
$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\,(2x+1)^{\frac{3}{2}}+C$
$=\displaystyle \dfrac{1}{3}\,(2x+1)\,\sqrt{2x+1}+C$
---
(1) $d\,\big(\dfrac{1}{2}\,(2\,x+1)\big)=\big(\dfrac{1}{2}\,(2\,x+1)\big)'\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot 2\,dx=dx$
---
c)
$\displaystyle \int \dfrac{2x}{x^2+1} \,dx = \int \dfrac{2x\,dx}{x^2+1} \underset{(2)}{=} \int \dfrac{d(x^2+1)}{x^2+1}=\ln ( x^2+1)+C $
(2) $d(x^2+1)=(x^2+1)'\,dx=2x\,dx$
d)
$\displaystyle \int 2^x \,dx = \int \, e^{x\,\ln 2} \,dx \underset{(3)}{=} \int \, d\big( \dfrac{1}{\ln 2}\,e^{x\,\ln 2} \big) = \dfrac{1}{\ln 2}\,e^{x\,\ln 2} + C = \dfrac{1}{\ln 2}\,2^{x} +C$
(3) $d\big( \dfrac{1}{\ln 2}\,e^{x\,\ln 2} \big) = \big( \dfrac{1}{\ln 2}\,e^{x\,\ln 2} \big)'\,dx = e^{x\,\ln 2} \,dx$
$\square$
Resolver las siguientes integrales indefinidas:
a) $\displaystyle \int x \,\ln x \,dx$
b) $\displaystyle \int \sqrt{2x+1} \, dx$
c) $\displaystyle \int \dfrac{2x}{x^2+1} \,dx$
d) $\displaystyle \int 2^x \,dx$
Resolución:
a)
Integrando por partes ( $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$ ) y haciendo las siguientes asignaciones:
$u:=\ln x \Rightarrow du = \dfrac{1}{x}\,dx$ y $dv:=x\,dx \Rightarrow v= \dfrac{1}{2}\,x^2$
podemos escribir la integral pedida de la forma
$\displaystyle \int x \,\ln x \,dx = \dfrac{1}{2}\,x^2\,\ln x - \int \, \dfrac{1}{2}\,x^2 \, \dfrac{1}{x}\,dx $
e integrando - fácilmente ya - la integral del segundo término llegamos a
$\displaystyle \int x \,\ln x \,dx = \dfrac{1}{2}\,x^2\,\ln x - \dfrac{1}{4}\,x^2 + C = \dfrac{1}{2}\,x^2 \, ( \ln x - \dfrac{1}{2} ) + C $
b)
$\displaystyle \int \sqrt{2x+1} \, dx \underset{(1)}{=} \int \sqrt{2x+1} \, d\big( \frac{1}{2}\,(2x+1) \big)=\dfrac{1}{2}\,\int (2x+1)^{\frac{1}{2}} \, d(2x+1)$
$=\displaystyle \dfrac{1}{2}\,\dfrac{1}{\frac{1}{2}+1}\,(2x+1)^{\frac{1}{2}+1}+C$
$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\,(2x+1)^{\frac{3}{2}}+C$
$=\displaystyle \dfrac{1}{3}\,(2x+1)\,\sqrt{2x+1}+C$
---
(1) $d\,\big(\dfrac{1}{2}\,(2\,x+1)\big)=\big(\dfrac{1}{2}\,(2\,x+1)\big)'\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot 2\,dx=dx$
---
c)
$\displaystyle \int \dfrac{2x}{x^2+1} \,dx = \int \dfrac{2x\,dx}{x^2+1} \underset{(2)}{=} \int \dfrac{d(x^2+1)}{x^2+1}=\ln ( x^2+1)+C $
(2) $d(x^2+1)=(x^2+1)'\,dx=2x\,dx$
d)
$\displaystyle \int 2^x \,dx = \int \, e^{x\,\ln 2} \,dx \underset{(3)}{=} \int \, d\big( \dfrac{1}{\ln 2}\,e^{x\,\ln 2} \big) = \dfrac{1}{\ln 2}\,e^{x\,\ln 2} + C = \dfrac{1}{\ln 2}\,2^{x} +C$
(3) $d\big( \dfrac{1}{\ln 2}\,e^{x\,\ln 2} \big) = \big( \dfrac{1}{\ln 2}\,e^{x\,\ln 2} \big)'\,dx = e^{x\,\ln 2} \,dx$
$\square$
Suponiendo que el tipo de interés ( expresado en tanto por ciento ) que ofrece una entidad financiera depende del tiempo, $t$, de acuerdo con la función $I(t)=\dfrac{90\,t}{t^2+9}$, ¿ a cuántos años le conviene pactar a un inversor para que el tipo de interés sea máximo ?.
Enunciado:
Suponiendo que el tipo de interés ( expresado en tanto por ciento ) que ofrece una entidad financiera depende del tiempo, $t$, de acuerdo con la función $I(t)=\dfrac{90\,t}{t^2+9}$, ¿ a cuántos años le conviene pactar a un inversor para que el tipo de interés sea máximo ?.
Resolución:
Encontremos los extremos relativos en $D_I = \mathbb{R}^{+}$; para ello, imponemos la condición necesaria: $I'(t)=0$. Así, pues, derivando e igualando a cero, se obtiene
$\big(\dfrac{90\,t}{t^2+9}\big)'=0 \Leftrightarrow 90\,\dfrac{9-t^2}{(t^2+9)^2}=0 \Leftrightarrow t=3 \,\text{años}$. Comprobemos que se trata de un máximo relativo; basta para ello utilizar el criterio del signo de la primera derivada; así, es fácil ver que $I'(t) \succ 0$ para $0 \le t \prec 3$ e $I'(t) \prec 0$ para $t \succ 3$, luego, efectivamente, se trata de un máximo relativo, y, además, del máximo absoluto, ya que $\displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty}\,I(t) = 0$.
$\square$
Suponiendo que el tipo de interés ( expresado en tanto por ciento ) que ofrece una entidad financiera depende del tiempo, $t$, de acuerdo con la función $I(t)=\dfrac{90\,t}{t^2+9}$, ¿ a cuántos años le conviene pactar a un inversor para que el tipo de interés sea máximo ?.
Resolución:
Encontremos los extremos relativos en $D_I = \mathbb{R}^{+}$; para ello, imponemos la condición necesaria: $I'(t)=0$. Así, pues, derivando e igualando a cero, se obtiene
$\big(\dfrac{90\,t}{t^2+9}\big)'=0 \Leftrightarrow 90\,\dfrac{9-t^2}{(t^2+9)^2}=0 \Leftrightarrow t=3 \,\text{años}$. Comprobemos que se trata de un máximo relativo; basta para ello utilizar el criterio del signo de la primera derivada; así, es fácil ver que $I'(t) \succ 0$ para $0 \le t \prec 3$ e $I'(t) \prec 0$ para $t \succ 3$, luego, efectivamente, se trata de un máximo relativo, y, además, del máximo absoluto, ya que $\displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty}\,I(t) = 0$.
$\square$
(a) Demostrar, a partir del Teorema de Rolle, que la función $f(x)=x^4-x^3+5\,x^2-2$ no puede tener más de dos raíces. (b) Demostrar, a partir del Teorema de Bolzano, que la función $f(x)=-(x+1)^3$ tiene por lo menos una raíz en el intervalo $(-2\,,\,0) \subset \mathbb{R}$. (c) Calcular el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}$, empleando la regla de l'Hôpital ( consecuencia del Teorema del Valor Medio Extendido ) para resolver la indeterminación que aparece.
Enunciado:
(a) Demostrar, a partir del Teorema de Rolle, que la función $f(x)=x^4-x^3+5\,x^2-2$ no puede tener más de dos raíces.
(b) Demostrar, a partir del Teorema de Bolzano, que la función $f(x)=-(x+1)^3$ tiene por lo menos una raíz en el intervalo $(-2\,,\,0) \subset \mathbb{R}$.
(c) Calcular el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}$, empleando la regla de l'Hôpital ( consecuencia del Teorema del Valor Medio Extendido ) para resolver la indeterminación que aparece.
Resolución:
a)
Estudiando las raíces de la función primera derivada $f'(x)=4\,x^3-3\,x^2+10x$, encontramos: $f'(x)=0 \Leftrightarrow 4\,x^3-3\,x^2+10x=0 \Leftrightarrow x\,(4\,x^2-3x+10)=0 \Leftrightarrow x=0$ o bien $4\,x^2-3x+10=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{9-4\cdot 10 \cdot 4}}{2\cdot 4} \notin \mathbb{R}$, con lo cual $f'(x)$ sólo tiene una raiz ( $x=0$ ), luego, por el Teorema de Rolle ( $f(x)$ es continua y derivable en $D_f=\mathbb{R}$ ), se deduce de ello que $f(x)$ tiene a lo sumo dos raíces.
b)
La función $f(x)$ cambia de signo en los extremos del intervalo indicado, esto es $f(-2)=-(-2+1)^3=-(-1)^3=-(-1)=1 \succ 0$ y $f(0)=-(0+1)^3=-(1)^3=-1 \prec 0$, luego, por el Teorema de Bolzano ( la función $f(x)$ es continua y derivable en $D_f=\mathbb{R}$ y, por tanto, lo es también en el intervalo indicado ) se deduce que $f(x)$ tiene por lo menos una raiz en $(-2\,,\,0) \subset \mathbb{R}$
c)
Al pasar al límite, encontramos
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}=\dfrac{0}{0}$ ( indeterminación )
Como estamos en condiciones de aplicar la regla de l'Hôpital, esto es, la derivada de la función del denominador $(e^x-1)'=e^x$ es no nula en $x=0$ ( valor al que se hace tender la variable de control del límite ), vamos a hacer uso de este método ( $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow c}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ ), tal como se nos pide en el enunciado:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{(x^3)'}{(e^x-1)'}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{3\,x^2}{e^x}=\dfrac{3\cdot 0^2 }{e^0}=\dfrac{0}{1}=0$
$\square$
(a) Demostrar, a partir del Teorema de Rolle, que la función $f(x)=x^4-x^3+5\,x^2-2$ no puede tener más de dos raíces.
(b) Demostrar, a partir del Teorema de Bolzano, que la función $f(x)=-(x+1)^3$ tiene por lo menos una raíz en el intervalo $(-2\,,\,0) \subset \mathbb{R}$.
(c) Calcular el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}$, empleando la regla de l'Hôpital ( consecuencia del Teorema del Valor Medio Extendido ) para resolver la indeterminación que aparece.
Resolución:
a)
Estudiando las raíces de la función primera derivada $f'(x)=4\,x^3-3\,x^2+10x$, encontramos: $f'(x)=0 \Leftrightarrow 4\,x^3-3\,x^2+10x=0 \Leftrightarrow x\,(4\,x^2-3x+10)=0 \Leftrightarrow x=0$ o bien $4\,x^2-3x+10=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{9-4\cdot 10 \cdot 4}}{2\cdot 4} \notin \mathbb{R}$, con lo cual $f'(x)$ sólo tiene una raiz ( $x=0$ ), luego, por el Teorema de Rolle ( $f(x)$ es continua y derivable en $D_f=\mathbb{R}$ ), se deduce de ello que $f(x)$ tiene a lo sumo dos raíces.
b)
La función $f(x)$ cambia de signo en los extremos del intervalo indicado, esto es $f(-2)=-(-2+1)^3=-(-1)^3=-(-1)=1 \succ 0$ y $f(0)=-(0+1)^3=-(1)^3=-1 \prec 0$, luego, por el Teorema de Bolzano ( la función $f(x)$ es continua y derivable en $D_f=\mathbb{R}$ y, por tanto, lo es también en el intervalo indicado ) se deduce que $f(x)$ tiene por lo menos una raiz en $(-2\,,\,0) \subset \mathbb{R}$
c)
Al pasar al límite, encontramos
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}=\dfrac{0}{0}$ ( indeterminación )
Como estamos en condiciones de aplicar la regla de l'Hôpital, esto es, la derivada de la función del denominador $(e^x-1)'=e^x$ es no nula en $x=0$ ( valor al que se hace tender la variable de control del límite ), vamos a hacer uso de este método ( $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow c}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ ), tal como se nos pide en el enunciado:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{(x^3)'}{(e^x-1)'}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{3\,x^2}{e^x}=\dfrac{3\cdot 0^2 }{e^0}=\dfrac{0}{1}=0$
$\square$
Determinar las ecuaciones de las rectas asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x^3+2\,x^2-3\,x}{x^2-3\,x+2}$
Enunciado:
Determinar las ecuaciones de las rectas asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x^3+2\,x^2-3\,x}{x^2-3\,x+2}$
Solución:
Veamos, en primer lugar, si la función dada, que es una fracción algebraica, puede expresarse de una forma más sencilla; para ello, procedemos a realizar la factorización de los polinomios del numerador y denominador para ver si se puede simplificar, y, para ello, debemos encontrar, primero, las raíces de ambos polinomios.
Raíces de del polinomio numerador $x^3+2\,x^2-3\,x$: son los valores de $x$ que anulan el valor del polinomio, por tanto, imponiendo esta condición, $x^3+2\,x^2-3\,x=0 \Leftrightarrow x\,(x^2+2x-3)=0$ con lo cual obtenemos las siguientes raíces: $0$, $1$ y $-3$; así, pues, $x^3+2\,x^2-3\,x=x\,(x-1)(x-(-3))=x\,(x-1)(x+3)$
Haciendo lo propio con el polinomio del denominador de la fracción vemos que $x^2-3x+2=
(x-1)(x-2)$.
Podemos, por tanto, volver a escribir la función dada de la forma $f(x)=\dfrac{x\,(x-1)(x+3)}{(x-1)(x-2)}$ y, cancelando los factores iguales del numerador y denominador, la función se simplifica de la forma $f(x)=\dfrac{x\,(x+3)}{x-2}$
Concluido este importante paso, pasamos a buscar rectas asíntotas.
Asíntotas verticales:
Son las rectas del tipo $x=a$, donde $a$ anule el denominador, esto es, siendo $\displaystyle k=\lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\pm \infty$. Este valor de $a$, evidentemente, tiene que ser $2$, luego hay solamente una recta asíntota vertical, de ecuación $\text{a.v.:}\,x=2$
Asíntotas oblicuas ( incluyen, si las hay, las horizontales ):
La ecuación de una recta asíntota oblicua es ( por ser una recta ) del tipo $\text{a.o.:}\,y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen.
Así, pues, debemos encontrar los valores $\{m\}$ y $\{k \}$ para caracterizar todas las rectas oblicuas que presente la función. Realizamos ésto en dos pasos:
(i) Calculamos el valor de $m$ teniendo en cuenta que la curva ( el trazo de la función ) debe tocar a la recta tagente en el infinito ( $+\infty$ o $-\infty$ ); por consiguiente, $m$ debe ser el valor del límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$, o lo que es lo mismo, $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$ ( propiedad que se demuestra fácilmente ); optando por lo segundo ( mayor facilidad de cálculo ) encontramos $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \, \dfrac{x\,(x+3)}{x\,(x-2)}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \, \dfrac{x+3}{x-2}=1$. Vemos, por tanto, que, en este caso, sólo hay una asíntota oblicua, de pendiente igual a $1$.
(ii) Conociendo ya el valor de la pendiente ( $m=1$ ), podemos calcular ya el valor de la ordenada en el origen, ya que, en el límite, debe cumplirse que $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\big(f(x)-m\,x\big)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\bigg(\dfrac{x\,(x+3)}{x-2)}-1 \cdot x\bigg)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{5x}{x-2}=5$
Llegamos, pues, a la conclusión que la función $f(x)$ presenta una asíntota oblicua de ecuación, $\text{a.o.:}\,y=x+5$
La siguiente figura muestra la curva $f(x)$ y sus asíntotas:
$\square$
Determinar las ecuaciones de las rectas asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x^3+2\,x^2-3\,x}{x^2-3\,x+2}$
Solución:
Veamos, en primer lugar, si la función dada, que es una fracción algebraica, puede expresarse de una forma más sencilla; para ello, procedemos a realizar la factorización de los polinomios del numerador y denominador para ver si se puede simplificar, y, para ello, debemos encontrar, primero, las raíces de ambos polinomios.
Raíces de del polinomio numerador $x^3+2\,x^2-3\,x$: son los valores de $x$ que anulan el valor del polinomio, por tanto, imponiendo esta condición, $x^3+2\,x^2-3\,x=0 \Leftrightarrow x\,(x^2+2x-3)=0$ con lo cual obtenemos las siguientes raíces: $0$, $1$ y $-3$; así, pues, $x^3+2\,x^2-3\,x=x\,(x-1)(x-(-3))=x\,(x-1)(x+3)$
Haciendo lo propio con el polinomio del denominador de la fracción vemos que $x^2-3x+2=
(x-1)(x-2)$.
Podemos, por tanto, volver a escribir la función dada de la forma $f(x)=\dfrac{x\,(x-1)(x+3)}{(x-1)(x-2)}$ y, cancelando los factores iguales del numerador y denominador, la función se simplifica de la forma $f(x)=\dfrac{x\,(x+3)}{x-2}$
Concluido este importante paso, pasamos a buscar rectas asíntotas.
Asíntotas verticales:
Son las rectas del tipo $x=a$, donde $a$ anule el denominador, esto es, siendo $\displaystyle k=\lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\pm \infty$. Este valor de $a$, evidentemente, tiene que ser $2$, luego hay solamente una recta asíntota vertical, de ecuación $\text{a.v.:}\,x=2$
Asíntotas oblicuas ( incluyen, si las hay, las horizontales ):
La ecuación de una recta asíntota oblicua es ( por ser una recta ) del tipo $\text{a.o.:}\,y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen.
Así, pues, debemos encontrar los valores $\{m\}$ y $\{k \}$ para caracterizar todas las rectas oblicuas que presente la función. Realizamos ésto en dos pasos:
(i) Calculamos el valor de $m$ teniendo en cuenta que la curva ( el trazo de la función ) debe tocar a la recta tagente en el infinito ( $+\infty$ o $-\infty$ ); por consiguiente, $m$ debe ser el valor del límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$, o lo que es lo mismo, $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$ ( propiedad que se demuestra fácilmente ); optando por lo segundo ( mayor facilidad de cálculo ) encontramos $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \, \dfrac{x\,(x+3)}{x\,(x-2)}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \, \dfrac{x+3}{x-2}=1$. Vemos, por tanto, que, en este caso, sólo hay una asíntota oblicua, de pendiente igual a $1$.
(ii) Conociendo ya el valor de la pendiente ( $m=1$ ), podemos calcular ya el valor de la ordenada en el origen, ya que, en el límite, debe cumplirse que $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\big(f(x)-m\,x\big)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\bigg(\dfrac{x\,(x+3)}{x-2)}-1 \cdot x\bigg)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{5x}{x-2}=5$
Llegamos, pues, a la conclusión que la función $f(x)$ presenta una asíntota oblicua de ecuación, $\text{a.o.:}\,y=x+5$
La siguiente figura muestra la curva $f(x)$ y sus asíntotas:
$\square$
Hallar las dimensiones de una ventana rectangular de $6\,\text{m}$ de perímetro para que tenga la mayor área posible.
Enunciado:
Hallar las dimensiones de una ventana rectangular de $6\,\text{m}$ de perímetro para que tenga la mayor área posible.
Resolución:
Denotemos por $x$ a uno de los dos lados, entonces el otro lado es $3-x$, luego la función área viene dada por $f(x)=x\,(3-x)$, que es una función polinómica de segundo grado ( $f(x)=ax^2+bx+c$ (1)) cuyo coeficiente de grado dos, $a=-3$ es negativo, luego el vértice de la parábola, de abscisa $x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{3}{2\,(-1)}=\dfrac{3}{2} \, \text{m}$, corresponde a un máximo relativo.
Esto se puede comprobar derivando e igualando a cero la función ( condición necesaria para hallar extremos relativos) obteniéndose dicha abscisa, que, además, en este caso es el (máximo) absoluto ( por ser todos los puntos de la curva puntos de concavidad ), con lo cual, el valor que corresponde al otro lado ( desigual ) del rectángulo, que es $3-x$, es el mismo: $3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\,\text{m}$.
Conclusión: para maximizar el área de la ventana, ésta debe ser un cuadrado, y dicha área máxima, con los datos del problema, es igual a $\big(\dfrac{3}{2}\big)^2= \dfrac{9}{4}\,\text{m}^2$
$\square$
Hallar las dimensiones de una ventana rectangular de $6\,\text{m}$ de perímetro para que tenga la mayor área posible.
Resolución:
Denotemos por $x$ a uno de los dos lados, entonces el otro lado es $3-x$, luego la función área viene dada por $f(x)=x\,(3-x)$, que es una función polinómica de segundo grado ( $f(x)=ax^2+bx+c$ (1)) cuyo coeficiente de grado dos, $a=-3$ es negativo, luego el vértice de la parábola, de abscisa $x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{3}{2\,(-1)}=\dfrac{3}{2} \, \text{m}$, corresponde a un máximo relativo.
Esto se puede comprobar derivando e igualando a cero la función ( condición necesaria para hallar extremos relativos) obteniéndose dicha abscisa, que, además, en este caso es el (máximo) absoluto ( por ser todos los puntos de la curva puntos de concavidad ), con lo cual, el valor que corresponde al otro lado ( desigual ) del rectángulo, que es $3-x$, es el mismo: $3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\,\text{m}$.
Conclusión: para maximizar el área de la ventana, ésta debe ser un cuadrado, y dicha área máxima, con los datos del problema, es igual a $\big(\dfrac{3}{2}\big)^2= \dfrac{9}{4}\,\text{m}^2$
$\square$
Sea la función $f(x)=x^4-13\,x^2+36$. Se pide: ...
Enunciado:
Sea la función $f(x)=x^4-13\,x^2+36$. Se pide:
a) Analizar y representar gráficamente dicha función
b) Calcular la integral $\displaystyle \int_{-3}^{3}\,f(x)\,dx$
c) Calcular el área de la región del plano comprendida entre la curva dada por $f(x)$ y el eje $Ox$, entre las abscisas $-3$ y $3$
Solución:
a)
La función $f(x)=x^4-13\,x^2+36$ es un polinomio, por lo que su dominio de definición, de continuidad y de derivabilidad es $D_f=\mathbb{R}$. Al tratarse de un polinomio, no tiene asíntotas.
Veamos si la función $f(x)$ tiene raíces: $\{x \in D_f:\,f(x)=0\}$. Imponiendo la condición $f(x)=0$ encontramos $x^4-13\,x^2+36=0$. Al tratarse de una ecuación polinómica de grado $4$ puede haber, a lo sumo, cuatro soluciones distintas; y, por ser un polinomio sin términos de grado impar, reconocemos en dicha ecuación la forma bicuadrada, con lo cual resulta muy sencillo encontrarlas: haciendo el cambio $t=x^2$ y resolviendo la ecuación cuadrática en $t$ a la que se llega encontramos que los valores que puede tomar dicha variable son $4$ y $9$, por lo que, para acabar, deshaciendo el cambio ( $x=\sqrt{t}$ ), se llega a las siguientes cuatro soluciones de la ecuación ( que son las raíces de $f(x)$ ): $\{-3,\,\,-2\,,\,2\,,\,3\}$, con lo cual la función $f(x)$ corta al eje de abscisas en los siguientes puntos: $A(-3\,,\,0)$, $B(-2\,,\,0)$, $C(2\,,\,0)$ y $D(3\,,\,0)$
Punto de corte con el eje de ordenadas: $E(0\,,\,f(0))$, siendo $f(0)=0^4-13\,0^2+36=36$
La función dada es par, ya que $f(x)=f(-x) \; \forall x \in \mathbb{R}$ ( la curva es simétrica respecto del eje de ordenadas )
Abscisas de los extremos relativos ( máximos y mínimos locales ): $\{x \in D_f:\,f'(x)=0$. Imponiendo la condición encontramos $f'(0)=0 \Leftrightarrow 4\,x^3-26\,x=0 \Leftrightarrow 2\,x (2\,x^2-13)=0$ luego $x$ toma los siguientes valores $\{ -|\sqrt{\frac{13}{2}}|\,,0\,,\,|\sqrt{\frac{13}{2}}|\}$, luego obtenemos los siguientes puntos estacionarios en el trazo ( curva ) de $f(x)$: $M_{1}\big(-|\sqrt{\frac{13}{2}}|\,,\,f(-|\sqrt{\frac{13}{2}}|)\big)$, $M_{2}\big(0\,,\,f(0)\big)$ y $M_{3}\big(|\sqrt{\frac{13}{2}}|\,,\,f(|\sqrt{\frac{13}{2}}|)\big)$
Investiguemos, ahora, la naturaleza de dichos extremos relativos. Para ello utilizaremos el criterio del signo de la segunda derivada en dichos puntos, al ser muy fácil calcular la derivada de las funciones polinómicas; como $f'(x)=4\,x^3-26\,x$, derivando otra vez encontramos $f''(x)=12\,x^2-26$. Entonces, al ser $f''(-|\sqrt{\frac{13}{2}}|) \succ 0$ y $f''(|\sqrt{\frac{13}{2}}|)\succ 0$, se desprende de ello que $M_1$ y $M_3$ son mínimos relativos ( la función es convexa en dichos puntos ); y, como $f''(0) \prec 0$, la función presenta un máximo relativo en $M_2$ ( la abscisa de dicho máximo coincide con la ordenada en el origen y, por tanto, dicho punto es también el punto de corte con el eje de ordenadas ).
Intervalos de decrecimiento (hay dos): $(-\infty\,,\,-|\sqrt{\frac{13}{2}}|$ y $(0\,,\,|\sqrt{\frac{13}{2}}|)$
Intervalos de crecimiento ( hay dos ): $( -|\sqrt{\frac{13}{2}}|\,,\,0)$ y $( |\sqrt{\frac{13}{2}}|\,,\,+\infty)$
Abscisas de los puntos de inflexión: $\{x \in D_f:\,f''(x)=0$. Imponiendo la condición, $f''(0)=0 \Leftrightarrow 12\,x^2-26=0$, luego $x$ toma los siguientes valores $\{-|\sqrt{\frac{13}{6}}|\,,\,|\sqrt{\frac{13}{6}}|\}$, luego hay dos puntos de inflexión cuyas coordenadas son $I_{1}(-|\sqrt{\frac{13}{6}}|\,,\,f(-|\sqrt{\frac{13}{6}}|)$ y $I_{2}(|\sqrt{\frac{13}{6}}|\,,\,f(|\sqrt{\frac{13}{6}}|)$
Comportamiento de la función en el infinito: $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f(x)=+\infty$
Intervalos de convexidad ( hay dos ): $(-\infty\,,\,-|\sqrt{\frac{13}{6}}|$ y $(|\sqrt{\frac{13}{6}}|\,,\,+\infty)$
Intervalo de concavidad (sólo hay uno): $(-|\sqrt{\frac{13}{6}}|\,,\,|\sqrt{\frac{13}{6}}|)$
Representación gráfica de la función. Reuniendo todas esas piezas de información podemos dibujar la siguiente curva
b)
Integral definida entre $x=-3$ y $x=3$: $\displaystyle \int_{-3}^{3} ( x^4-13\,x^2+36 ) \, dx \underset{\text{función par}}{=} 2\, \int_{0}^{3} ( x^4-13\,x^2+36 ) \, dx$. Por el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, la familia de primitivas de la función del integrando es $\dfrac{1}{5}\,x^5-\dfrac{13}{3}\,x^3+36\,x+C$ ( donde $C$ es una constante arbitaria o constante de integración), y, por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( Newton-Leibniz ) o regla de Barrow, obtenemos
$\displaystyle \int_{0}^{3} ( x^4-13\,x^2+36 ) \, dx =$
$=\left[ \dfrac{1}{5}\,x^5-\dfrac{13}{3}\,x^3+36\,x \right]_{0}^{3}$
$=\big(\dfrac{1}{5}\,3^5-\dfrac{13}{3}\,3^3+36\cdot 3 \big)-\big(\dfrac{1}{5}\,0^5-\dfrac{13}{3}\,0^3+36\cdot 0 \big)=\dfrac{198}{5}$
luego
$$\displaystyle \int_{-3}^{3} ( x^4-13\,x^2+36 ) \, dx = 2 \cdot \dfrac{198}{5} = \dfrac{396}{5}$$
c) Área de la región del plano comprendida entre el trazo de la función y el eje de abscisas; entre los puntos de abscisas $x=-3$ y $x=3$.
Cuidado: No debemos confundir el valor de la integral definida que acabamos de calcular con el área de la región del plano ( magnitud púramente geométrica y, por tanto, en cualquier caso, positiva ), ya que algunas partes de la integral definida en su dominio de integración podrían dar contribuciones negativas y, por consiguiente, dichas parte -- en este caso las hay -- deben ser sumadas en valor absoluto. Hacer hincapié en este importante matiz es lo que se persigue en esta última pregunta.
Dicho ésto, volvemos a tener en cuenta que la función del integrando, $f(x)$, es par, el dominio de integración es simétrico, así que nos conviene -- con el fin de economizar operaciones de cálculo -- obtener el área de una de las dos mitades para, al final, multiplicar por dos.
El área de una de las dos mitades, pongamos que la de la derecha ( comprendida en el primer y cuarto cuadrantes ), la obtenemos calculando la contribución de las dos subregiones delimitadas por la raiz $x=2$, esto es, entre $0$ y $2$ por una parte y entre $2$ y $3$ para acabar; para ello, sumamos en valor absoluto las dos partes de la integral definida ( ver, para más claridad, la figura de abajo ).
Así, pues, podemos escribir:
$$\displaystyle \text{Área}=2 \, \bigg( \left| \int_{0}^{2}\,f(x)\,dx \right| + \left| \int_{2}^{3}\,f(x)\,dx \right| \bigg)$$
y como la mitad del área pedida es
$\displaystyle \left| \big(\dfrac{1}{5}\,2^5-\dfrac{13}{3}\,2^3+36\cdot 2 \big)-\big(\dfrac{1}{5}\,0^5-\dfrac{13}{3}\,0^3+36\cdot 0 \big) \right| + $
$\displaystyle + \left| \big(\dfrac{1}{5}\,3^5-\dfrac{13}{3}\,3^3+36\cdot 3 \big)-\big(\dfrac{1}{5}\,2^5-\dfrac{13}{3}\,2^3+36\cdot 2 \big) \right| = \dfrac{718}{15} $
el área completa es
$$\text{Área}=2 \, \big( \dfrac{718}{15} \big)=\dfrac{1436}{15} \, \text{unidades arbitrarias de área}$$
$\square$
Sea la función $f(x)=x^4-13\,x^2+36$. Se pide:
a) Analizar y representar gráficamente dicha función
b) Calcular la integral $\displaystyle \int_{-3}^{3}\,f(x)\,dx$
c) Calcular el área de la región del plano comprendida entre la curva dada por $f(x)$ y el eje $Ox$, entre las abscisas $-3$ y $3$
Solución:
a)
La función $f(x)=x^4-13\,x^2+36$ es un polinomio, por lo que su dominio de definición, de continuidad y de derivabilidad es $D_f=\mathbb{R}$. Al tratarse de un polinomio, no tiene asíntotas.
Veamos si la función $f(x)$ tiene raíces: $\{x \in D_f:\,f(x)=0\}$. Imponiendo la condición $f(x)=0$ encontramos $x^4-13\,x^2+36=0$. Al tratarse de una ecuación polinómica de grado $4$ puede haber, a lo sumo, cuatro soluciones distintas; y, por ser un polinomio sin términos de grado impar, reconocemos en dicha ecuación la forma bicuadrada, con lo cual resulta muy sencillo encontrarlas: haciendo el cambio $t=x^2$ y resolviendo la ecuación cuadrática en $t$ a la que se llega encontramos que los valores que puede tomar dicha variable son $4$ y $9$, por lo que, para acabar, deshaciendo el cambio ( $x=\sqrt{t}$ ), se llega a las siguientes cuatro soluciones de la ecuación ( que son las raíces de $f(x)$ ): $\{-3,\,\,-2\,,\,2\,,\,3\}$, con lo cual la función $f(x)$ corta al eje de abscisas en los siguientes puntos: $A(-3\,,\,0)$, $B(-2\,,\,0)$, $C(2\,,\,0)$ y $D(3\,,\,0)$
Punto de corte con el eje de ordenadas: $E(0\,,\,f(0))$, siendo $f(0)=0^4-13\,0^2+36=36$
La función dada es par, ya que $f(x)=f(-x) \; \forall x \in \mathbb{R}$ ( la curva es simétrica respecto del eje de ordenadas )
Abscisas de los extremos relativos ( máximos y mínimos locales ): $\{x \in D_f:\,f'(x)=0$. Imponiendo la condición encontramos $f'(0)=0 \Leftrightarrow 4\,x^3-26\,x=0 \Leftrightarrow 2\,x (2\,x^2-13)=0$ luego $x$ toma los siguientes valores $\{ -|\sqrt{\frac{13}{2}}|\,,0\,,\,|\sqrt{\frac{13}{2}}|\}$, luego obtenemos los siguientes puntos estacionarios en el trazo ( curva ) de $f(x)$: $M_{1}\big(-|\sqrt{\frac{13}{2}}|\,,\,f(-|\sqrt{\frac{13}{2}}|)\big)$, $M_{2}\big(0\,,\,f(0)\big)$ y $M_{3}\big(|\sqrt{\frac{13}{2}}|\,,\,f(|\sqrt{\frac{13}{2}}|)\big)$
Investiguemos, ahora, la naturaleza de dichos extremos relativos. Para ello utilizaremos el criterio del signo de la segunda derivada en dichos puntos, al ser muy fácil calcular la derivada de las funciones polinómicas; como $f'(x)=4\,x^3-26\,x$, derivando otra vez encontramos $f''(x)=12\,x^2-26$. Entonces, al ser $f''(-|\sqrt{\frac{13}{2}}|) \succ 0$ y $f''(|\sqrt{\frac{13}{2}}|)\succ 0$, se desprende de ello que $M_1$ y $M_3$ son mínimos relativos ( la función es convexa en dichos puntos ); y, como $f''(0) \prec 0$, la función presenta un máximo relativo en $M_2$ ( la abscisa de dicho máximo coincide con la ordenada en el origen y, por tanto, dicho punto es también el punto de corte con el eje de ordenadas ).
Intervalos de decrecimiento (hay dos): $(-\infty\,,\,-|\sqrt{\frac{13}{2}}|$ y $(0\,,\,|\sqrt{\frac{13}{2}}|)$
Intervalos de crecimiento ( hay dos ): $( -|\sqrt{\frac{13}{2}}|\,,\,0)$ y $( |\sqrt{\frac{13}{2}}|\,,\,+\infty)$
Abscisas de los puntos de inflexión: $\{x \in D_f:\,f''(x)=0$. Imponiendo la condición, $f''(0)=0 \Leftrightarrow 12\,x^2-26=0$, luego $x$ toma los siguientes valores $\{-|\sqrt{\frac{13}{6}}|\,,\,|\sqrt{\frac{13}{6}}|\}$, luego hay dos puntos de inflexión cuyas coordenadas son $I_{1}(-|\sqrt{\frac{13}{6}}|\,,\,f(-|\sqrt{\frac{13}{6}}|)$ y $I_{2}(|\sqrt{\frac{13}{6}}|\,,\,f(|\sqrt{\frac{13}{6}}|)$
Comportamiento de la función en el infinito: $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f(x)=+\infty$
Intervalos de convexidad ( hay dos ): $(-\infty\,,\,-|\sqrt{\frac{13}{6}}|$ y $(|\sqrt{\frac{13}{6}}|\,,\,+\infty)$
Intervalo de concavidad (sólo hay uno): $(-|\sqrt{\frac{13}{6}}|\,,\,|\sqrt{\frac{13}{6}}|)$
Representación gráfica de la función. Reuniendo todas esas piezas de información podemos dibujar la siguiente curva
b)
Integral definida entre $x=-3$ y $x=3$: $\displaystyle \int_{-3}^{3} ( x^4-13\,x^2+36 ) \, dx \underset{\text{función par}}{=} 2\, \int_{0}^{3} ( x^4-13\,x^2+36 ) \, dx$. Por el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, la familia de primitivas de la función del integrando es $\dfrac{1}{5}\,x^5-\dfrac{13}{3}\,x^3+36\,x+C$ ( donde $C$ es una constante arbitaria o constante de integración), y, por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( Newton-Leibniz ) o regla de Barrow, obtenemos
$\displaystyle \int_{0}^{3} ( x^4-13\,x^2+36 ) \, dx =$
$=\left[ \dfrac{1}{5}\,x^5-\dfrac{13}{3}\,x^3+36\,x \right]_{0}^{3}$
$=\big(\dfrac{1}{5}\,3^5-\dfrac{13}{3}\,3^3+36\cdot 3 \big)-\big(\dfrac{1}{5}\,0^5-\dfrac{13}{3}\,0^3+36\cdot 0 \big)=\dfrac{198}{5}$
luego
$$\displaystyle \int_{-3}^{3} ( x^4-13\,x^2+36 ) \, dx = 2 \cdot \dfrac{198}{5} = \dfrac{396}{5}$$
c) Área de la región del plano comprendida entre el trazo de la función y el eje de abscisas; entre los puntos de abscisas $x=-3$ y $x=3$.
Cuidado: No debemos confundir el valor de la integral definida que acabamos de calcular con el área de la región del plano ( magnitud púramente geométrica y, por tanto, en cualquier caso, positiva ), ya que algunas partes de la integral definida en su dominio de integración podrían dar contribuciones negativas y, por consiguiente, dichas parte -- en este caso las hay -- deben ser sumadas en valor absoluto. Hacer hincapié en este importante matiz es lo que se persigue en esta última pregunta.
Dicho ésto, volvemos a tener en cuenta que la función del integrando, $f(x)$, es par, el dominio de integración es simétrico, así que nos conviene -- con el fin de economizar operaciones de cálculo -- obtener el área de una de las dos mitades para, al final, multiplicar por dos.
El área de una de las dos mitades, pongamos que la de la derecha ( comprendida en el primer y cuarto cuadrantes ), la obtenemos calculando la contribución de las dos subregiones delimitadas por la raiz $x=2$, esto es, entre $0$ y $2$ por una parte y entre $2$ y $3$ para acabar; para ello, sumamos en valor absoluto las dos partes de la integral definida ( ver, para más claridad, la figura de abajo ).
Así, pues, podemos escribir:
$$\displaystyle \text{Área}=2 \, \bigg( \left| \int_{0}^{2}\,f(x)\,dx \right| + \left| \int_{2}^{3}\,f(x)\,dx \right| \bigg)$$
y como la mitad del área pedida es
$\displaystyle \left| \big(\dfrac{1}{5}\,2^5-\dfrac{13}{3}\,2^3+36\cdot 2 \big)-\big(\dfrac{1}{5}\,0^5-\dfrac{13}{3}\,0^3+36\cdot 0 \big) \right| + $
$\displaystyle + \left| \big(\dfrac{1}{5}\,3^5-\dfrac{13}{3}\,3^3+36\cdot 3 \big)-\big(\dfrac{1}{5}\,2^5-\dfrac{13}{3}\,2^3+36\cdot 2 \big) \right| = \dfrac{718}{15} $
el área completa es
$$\text{Área}=2 \, \big( \dfrac{718}{15} \big)=\dfrac{1436}{15} \, \text{unidades arbitrarias de área}$$
$\square$
sábado, 10 de mayo de 2014
Estudiar la función $f(x)=e^{-x^2}$
Enunciado:
Estudiar la función $f(x)=e^{-x^2}$ y representarla gráficamente a partir del resultado de dicho análisis.
Nota: En Probabilidad y Estadística, esta función está relacionada con la función de Gauss( o campana de Gauss), es decir, con la función de densidad de probabilidad del modelo de variable aleatoria con distribución normal ) - y, por tanto, con el Teorema Central del Límite -, presentando todos los elementos cualitativos que la caracterizan.
Resolución:
Dominio de definición:
$D_f=\mathbb{R}$ ( todos los números reales tiene imagen, por ser una función exponencial )
Raíces de la función ( abscisas de los puntos de corte con el eje $Ox$): no tiene
Extremos relativos ( máximos y mínimos locales o relativos ):
Para encontrar los extremos relativos ( máximos y mínomos locales ) debemos encontrar los valores de $x$ ( abscisas de dichos puntos ) que cumplen $f'(x)=0$. La función derivada $f'(x)=e^{-x^2}\,(-x^2)'=-2\,x\,e^{-x^2}$ se anula si y sólo si $x=0$, luego sólo hay un extremo relativo, cuya abscisa coincide con la raiz de $f(x)$ y su ordenada es $f(0)=e^{0^2}=e^0=1$. Como la función sólo puede tomar valores positivos, dicho extremo relativo, que corresponde, pues, al punto $M(0,1)$, es un máximo local; por otra parte, como el recorrido de la función es $\mathcal{R}_f=[0\,,\,1]$, dicho máximo relativo o local es también el máximo absoluto. Al no ser la función dada una función constante, no tener raíces y tener un sólo extremo relativo, deducimos que el eje $Ox$ es una asíntota horitzontal; en efecto, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f(x)=0$, luego $\text{a.h.:}\,y=0$, que es el propio eje de abscisas.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
$I^{\uparrow}=(-\infty\,,\,0)$ ( solamente hay un intervalo de crecimiento )
$I^{\downarrow}=(0\,,\,+\infty)$ ( solamente hay un intervalo de decrecimiento )
Asíntotas verticales y asíntotas oblícuas (distintas de la a. horizontal): no hay ( por ser una función exponencial )
Con todos los elementos de análisis, hasta ahora recogidos, podemos ya perfilar la trazo de la función y es el siguiente ( figura ):
Puntos de inflexión:
La curva ( el trazo de la función ) cambia el signo de la curvatura en dos puntos ( A y B en el gráfico ); procedemos, ahora a calcular sus coordenadas:
Los valores del dominio de existencia en los que la curvatura cambia de signo cumplen la condición necesaria $f''(x)=0$, así, pues, determinamos, primero, la función segunda derivada, que es $f''(x)=-2\,e^{-x^2}\,(1-2\,x^2)$ ( se deja al alumno la comprobación de dicho resultado ); a continuación, imponemos la condición necesaria, y encontramos que $f''(x)=0$ si y sólo si $x_B=-\dfrac{1}{|\sqrt{2}|}$ ( abscisa del punto de inflexión $B$ ) o bien si $x_A=\dfrac{1}{|\sqrt{2}|}$ (absicisa del punto de inflixión $A$ ). Las ordenadas respetivas se calculan determinando la imagen de dichas abscisas: $y_B=f \big( -\dfrac{1}{|\sqrt{2}|} \big)=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ y $y_A=f \big( \dfrac{1}{|\sqrt{2}|} \big)=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ ( dejo la comprobación de estos cálculos a cargo del lector ).
Intervalos de concavidad y convexidad:
$I_{\text{convexidad}}=(-\infty\,,\,-\dfrac{1}{|\sqrt{2}|})$
$J_{\text{concavidad}}=(-\dfrac{1}{|\sqrt{2}|}\,,\,\dfrac{1}{|\sqrt{2}|})$
$K_{\text{convexidad}}=(-\dfrac{1}{|\sqrt{2}|}\,,\,+\infty)$
Nota: Recordemos que, por convenio, decimos que una función es cóncava ( respectivamente, convexa ) en un punto si al trazar las secantes paralelas a la recta tangente que pasa por dicho punto, éstas quedan por debajo ( repectivamente, por encima ) de la recta tangente. Por otra parte, decimos, también, que una función es cóncava ( respectivamente, convexa ) en un punto si el valor de la derivada segunda en dicho punto es positivo ( respectivamente, negativo ); por ello, el valor de la segunda derivada en un punto de inflexión -- donde la función no es cóncava ni convexa -- es cero.
Observación: En otro ejercicio, estudiábamos la función $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$. Cabe destacar - como curiosidad - un parecido con la función $e^{-x^2}$ al invertirla y trasladarla, tal como se muestra en la siguiente figura:
$\square$
Estudiar la función $f(x)=e^{-x^2}$ y representarla gráficamente a partir del resultado de dicho análisis.
Nota: En Probabilidad y Estadística, esta función está relacionada con la función de Gauss( o campana de Gauss), es decir, con la función de densidad de probabilidad del modelo de variable aleatoria con distribución normal ) - y, por tanto, con el Teorema Central del Límite -, presentando todos los elementos cualitativos que la caracterizan.
Resolución:
Dominio de definición:
$D_f=\mathbb{R}$ ( todos los números reales tiene imagen, por ser una función exponencial )
Raíces de la función ( abscisas de los puntos de corte con el eje $Ox$): no tiene
Extremos relativos ( máximos y mínimos locales o relativos ):
Para encontrar los extremos relativos ( máximos y mínomos locales ) debemos encontrar los valores de $x$ ( abscisas de dichos puntos ) que cumplen $f'(x)=0$. La función derivada $f'(x)=e^{-x^2}\,(-x^2)'=-2\,x\,e^{-x^2}$ se anula si y sólo si $x=0$, luego sólo hay un extremo relativo, cuya abscisa coincide con la raiz de $f(x)$ y su ordenada es $f(0)=e^{0^2}=e^0=1$. Como la función sólo puede tomar valores positivos, dicho extremo relativo, que corresponde, pues, al punto $M(0,1)$, es un máximo local; por otra parte, como el recorrido de la función es $\mathcal{R}_f=[0\,,\,1]$, dicho máximo relativo o local es también el máximo absoluto. Al no ser la función dada una función constante, no tener raíces y tener un sólo extremo relativo, deducimos que el eje $Ox$ es una asíntota horitzontal; en efecto, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f(x)=0$, luego $\text{a.h.:}\,y=0$, que es el propio eje de abscisas.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
$I^{\uparrow}=(-\infty\,,\,0)$ ( solamente hay un intervalo de crecimiento )
$I^{\downarrow}=(0\,,\,+\infty)$ ( solamente hay un intervalo de decrecimiento )
Asíntotas verticales y asíntotas oblícuas (distintas de la a. horizontal): no hay ( por ser una función exponencial )
Con todos los elementos de análisis, hasta ahora recogidos, podemos ya perfilar la trazo de la función y es el siguiente ( figura ):
Puntos de inflexión:
La curva ( el trazo de la función ) cambia el signo de la curvatura en dos puntos ( A y B en el gráfico ); procedemos, ahora a calcular sus coordenadas:
Los valores del dominio de existencia en los que la curvatura cambia de signo cumplen la condición necesaria $f''(x)=0$, así, pues, determinamos, primero, la función segunda derivada, que es $f''(x)=-2\,e^{-x^2}\,(1-2\,x^2)$ ( se deja al alumno la comprobación de dicho resultado ); a continuación, imponemos la condición necesaria, y encontramos que $f''(x)=0$ si y sólo si $x_B=-\dfrac{1}{|\sqrt{2}|}$ ( abscisa del punto de inflexión $B$ ) o bien si $x_A=\dfrac{1}{|\sqrt{2}|}$ (absicisa del punto de inflixión $A$ ). Las ordenadas respetivas se calculan determinando la imagen de dichas abscisas: $y_B=f \big( -\dfrac{1}{|\sqrt{2}|} \big)=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ y $y_A=f \big( \dfrac{1}{|\sqrt{2}|} \big)=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ ( dejo la comprobación de estos cálculos a cargo del lector ).
Intervalos de concavidad y convexidad:
$I_{\text{convexidad}}=(-\infty\,,\,-\dfrac{1}{|\sqrt{2}|})$
$J_{\text{concavidad}}=(-\dfrac{1}{|\sqrt{2}|}\,,\,\dfrac{1}{|\sqrt{2}|})$
$K_{\text{convexidad}}=(-\dfrac{1}{|\sqrt{2}|}\,,\,+\infty)$
Nota: Recordemos que, por convenio, decimos que una función es cóncava ( respectivamente, convexa ) en un punto si al trazar las secantes paralelas a la recta tangente que pasa por dicho punto, éstas quedan por debajo ( repectivamente, por encima ) de la recta tangente. Por otra parte, decimos, también, que una función es cóncava ( respectivamente, convexa ) en un punto si el valor de la derivada segunda en dicho punto es positivo ( respectivamente, negativo ); por ello, el valor de la segunda derivada en un punto de inflexión -- donde la función no es cóncava ni convexa -- es cero.
Observación: En otro ejercicio, estudiábamos la función $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$. Cabe destacar - como curiosidad - un parecido con la función $e^{-x^2}$ al invertirla y trasladarla, tal como se muestra en la siguiente figura:
$\square$
viernes, 9 de mayo de 2014
Sea $X$ una variable aleatoria continua cuyos valores son números reales, con función de densidad de probabilidad dada por $$f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \text{si} & x \prec 0 \\ x & \text{si} & 0 \le x \le \sqrt{2} \\ 0 & \text{si} & x \succ \sqrt{2} \\ \end{matrix}\right.$$ Se pide: a) la función de distribución de probabilidad $F(x)$ b) $P\{X \le 1\}$
Enunciado:
Sea $X$ una variable aleatoria continua cuyos valores son números reales, con función de densidad de probabilidad dada por
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \text{si} & x \prec 0 \\
x & \text{si} & 0 \le x \le \sqrt{2} \\
0 & \text{si} & x \succ \sqrt{2} \\
\end{matrix}\right.$$
Se pide:
a) la función de distribución de probabilidad $F(x)$
b) $P\{X \le 1\}$
Resolución:
Por los conceptos de probabilidad sabemos que la función de distribución de probabilidad $F(x)$ es una primitiva de la función de densidad de probabilidad $f(x)$, esto es, cumple el Primer Teorema Fundamental del Cálculo: $(F(x)+C)'=f(x)$, donde $C$ es la constante de integración; dicho de manera equivalente, $F(x)=\int \,f(x)\,dx + C$. Entonces, $F(x)=\dfrac{1}{2}\,x^2+C$ (1), y teniendo en cuenta - por su significado de probabilidad acumulada - que la función de distribución de probabilidad, por tanto, debe venir dada por
$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \text{si} & x \prec 0 \\
\dfrac{1}{2}\,x^2+C & \text{si} & 0 \le x \prec \sqrt{2} \\
1 & \text{si} & x \ge \sqrt{2} \\
\end{matrix}\right.$$
Determinemos, ahora, el valor de la constante de integración $C$: imponiendo la condición que se desprende del valor total de la probabilidad acumulada, esto es, $F(\sqrt{2})=1$, y teniendo en cuenta (1) podemos escribir $\dfrac{1}{2}\,(\sqrt{2})^2+C=1$ y, por tanto, $C=0$. Así, pues,
$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \text{si} & x \prec 0 \\
\dfrac{1}{2}\,x^2 & \text{si} & 0 \le x \prec \sqrt{2} \\
1 & \text{si} & x \ge \sqrt{2} \\
\end{matrix}\right.$$
b)
Calculemos, ahora, la probabilidad pedida utilizando el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo,
$\displaystyle P\{X \le 1\}:=F(1)=\int_{-\infty}^{0}\,0\,dx+\int_{0}^{1}\,x\,dx$
$=0+\int_{0}^{1}\,x\,dx=0+\left[\dfrac{1}{2}\,x^2\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}\cdot 1^2-\dfrac{1}{2}\cdot 0^2=\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2}$
$\square$
Sea $X$ una variable aleatoria continua cuyos valores son números reales, con función de densidad de probabilidad dada por
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \text{si} & x \prec 0 \\
x & \text{si} & 0 \le x \le \sqrt{2} \\
0 & \text{si} & x \succ \sqrt{2} \\
\end{matrix}\right.$$
Se pide:
a) la función de distribución de probabilidad $F(x)$
b) $P\{X \le 1\}$
Resolución:
Por los conceptos de probabilidad sabemos que la función de distribución de probabilidad $F(x)$ es una primitiva de la función de densidad de probabilidad $f(x)$, esto es, cumple el Primer Teorema Fundamental del Cálculo: $(F(x)+C)'=f(x)$, donde $C$ es la constante de integración; dicho de manera equivalente, $F(x)=\int \,f(x)\,dx + C$. Entonces, $F(x)=\dfrac{1}{2}\,x^2+C$ (1), y teniendo en cuenta - por su significado de probabilidad acumulada - que la función de distribución de probabilidad, por tanto, debe venir dada por
$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \text{si} & x \prec 0 \\
\dfrac{1}{2}\,x^2+C & \text{si} & 0 \le x \prec \sqrt{2} \\
1 & \text{si} & x \ge \sqrt{2} \\
\end{matrix}\right.$$
Determinemos, ahora, el valor de la constante de integración $C$: imponiendo la condición que se desprende del valor total de la probabilidad acumulada, esto es, $F(\sqrt{2})=1$, y teniendo en cuenta (1) podemos escribir $\dfrac{1}{2}\,(\sqrt{2})^2+C=1$ y, por tanto, $C=0$. Así, pues,
$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \text{si} & x \prec 0 \\
\dfrac{1}{2}\,x^2 & \text{si} & 0 \le x \prec \sqrt{2} \\
1 & \text{si} & x \ge \sqrt{2} \\
\end{matrix}\right.$$
b)
Calculemos, ahora, la probabilidad pedida utilizando el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo,
$\displaystyle P\{X \le 1\}:=F(1)=\int_{-\infty}^{0}\,0\,dx+\int_{0}^{1}\,x\,dx$
$=0+\int_{0}^{1}\,x\,dx=0+\left[\dfrac{1}{2}\,x^2\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}\cdot 1^2-\dfrac{1}{2}\cdot 0^2=\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2}$
$\square$
Una sustancia se diluye en un líquido contenido en un recipiente a un ritmo que viene expresado por la función $f(t)=e^{0'001\,t}$. Los valores de dicha función se expresan en $\text{g}/h$ y los valores de $t$ en horas. Se pide: a) ¿ Qué cantidad de dicha sustancia se ha introducido desde $t=1\,\text{h}$ hasta $t=4\,\text{h}$ ? b) ¿ En qué unidades se expresa la constante que figura en el exponente ? ( cuestión )
Enunciado:
Una sustancia se diluye en un líquido contenido en un recipiente a un ritmo que viene expresado por la función $f(t)=e^{0'001\,t}$. Los valores de dicha función se expresan en $\text{g}/h$ y los valores de $t$ en horas. Se pide:
a) ¿ Qué cantidad de dicha sustancia se ha introducido desde $t=1\,\text{h}$ hasta $t=4\,\text{h}$ ?
b) ¿ En qué unidades se expresa la constante que figura en el exponente ? ( cuestión )
Resolución:
a)
Siendo $f(t)$ la función que expresa la cantidad de sustancia diluida por unidad de tiempo, la cantidad de sustancia diluida en un instante de tiempo $t$ viene dada por la familia de primitivas de $f(t)$, esto es, por el conjunto de funciones $F(t)+C$, donde $(F(t)+C)'=f(t)$ ( Primer Teorema Fundamental del Cálculo ), en otras palabras, por $\displaystyle \int\,f(t)\,dt=\int e^{0'001\,t}\,dt$, es decir, $F(t)=\dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\,t}+C$, donde $C$ es la constante de integración.
Entonces, como en el instante inicial la cantidad de sustancia en el líquido es nula, $F(0)=0$, podemos escribir que $\dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\cdot 0}+C=0 \Rightarrow \dfrac{1}{0,001}+C=0 \Rightarrow C=-\dfrac{1}{0,001}$ con lo cual hemos fijado la constante de integración de acuerdo con la condición inicial del proceso, y, por tanto, la función que describe la cantidad de sustancia, dada dicha condición inicial, es $F(t)=\dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\, t}-\dfrac{1}{0,001}\,$, que, expresada de forma más compacta, es $F(t)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\, t}-1\big)$.
La cantidad de sustancia diluida en el líquido que contiene el recipiente en el instante $t=4 \, \text{h}$ es $F(4)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 4}-1\big)$ y la cantidad de sustancia en $t=1\,\text{h}$ es $F(1)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 1}-1\big)$, luego entre un instante y otro la cantidad de dicha sustancia viene dada por $F(4)-F(1)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 4}-1\big)-\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 1}-1\big)$, y, simplificando, obtenemos $F(4)-F(1)=\dfrac{1}{0,001}\,\big(e^{0,001\cdot 4} -e^{0,001\cdot 1}\big)\approx 3,008 \,\text{g}$
Nota: Podemos llegar al mismo resultado con más brevedad calculando directamente el valor de la integral definida ( Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ) de la función $f(t)$ integrada entre $t=1$ y $t=4$ tal como sigue $\displaystyle \int_{1}^{4}\,e^{0'001\,t}\,dt=\left[ \dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\cdot t} \right]_{1}^{4}=\dfrac{1}{0,001}\,\big(e^{0,001\cdot 4} -e^{0,001\cdot 1}\big)\approx 3,008 \,\text{g}$
b)
Veamos, ahora, cuáles son las unidades en las que se expresa la constante del exponente y que denotamos por $\tau$ y cuyo valor es $0,0001$. Como la cantidad del exponente de $\tau \, t$ debe ser adimensional, $[\tau]=[t]^{-1}$, luego las unidades de $\tau$ son $\text{h}^{-1}$, o lo que es lo mismo, $1/h$ es decir, $\tau = 0,001 \, \text{h}^{-1}$
$\square$
Una sustancia se diluye en un líquido contenido en un recipiente a un ritmo que viene expresado por la función $f(t)=e^{0'001\,t}$. Los valores de dicha función se expresan en $\text{g}/h$ y los valores de $t$ en horas. Se pide:
a) ¿ Qué cantidad de dicha sustancia se ha introducido desde $t=1\,\text{h}$ hasta $t=4\,\text{h}$ ?
b) ¿ En qué unidades se expresa la constante que figura en el exponente ? ( cuestión )
Resolución:
a)
Siendo $f(t)$ la función que expresa la cantidad de sustancia diluida por unidad de tiempo, la cantidad de sustancia diluida en un instante de tiempo $t$ viene dada por la familia de primitivas de $f(t)$, esto es, por el conjunto de funciones $F(t)+C$, donde $(F(t)+C)'=f(t)$ ( Primer Teorema Fundamental del Cálculo ), en otras palabras, por $\displaystyle \int\,f(t)\,dt=\int e^{0'001\,t}\,dt$, es decir, $F(t)=\dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\,t}+C$, donde $C$ es la constante de integración.
Entonces, como en el instante inicial la cantidad de sustancia en el líquido es nula, $F(0)=0$, podemos escribir que $\dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\cdot 0}+C=0 \Rightarrow \dfrac{1}{0,001}+C=0 \Rightarrow C=-\dfrac{1}{0,001}$ con lo cual hemos fijado la constante de integración de acuerdo con la condición inicial del proceso, y, por tanto, la función que describe la cantidad de sustancia, dada dicha condición inicial, es $F(t)=\dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\, t}-\dfrac{1}{0,001}\,$, que, expresada de forma más compacta, es $F(t)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\, t}-1\big)$.
La cantidad de sustancia diluida en el líquido que contiene el recipiente en el instante $t=4 \, \text{h}$ es $F(4)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 4}-1\big)$ y la cantidad de sustancia en $t=1\,\text{h}$ es $F(1)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 1}-1\big)$, luego entre un instante y otro la cantidad de dicha sustancia viene dada por $F(4)-F(1)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 4}-1\big)-\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 1}-1\big)$, y, simplificando, obtenemos $F(4)-F(1)=\dfrac{1}{0,001}\,\big(e^{0,001\cdot 4} -e^{0,001\cdot 1}\big)\approx 3,008 \,\text{g}$
Nota: Podemos llegar al mismo resultado con más brevedad calculando directamente el valor de la integral definida ( Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ) de la función $f(t)$ integrada entre $t=1$ y $t=4$ tal como sigue $\displaystyle \int_{1}^{4}\,e^{0'001\,t}\,dt=\left[ \dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\cdot t} \right]_{1}^{4}=\dfrac{1}{0,001}\,\big(e^{0,001\cdot 4} -e^{0,001\cdot 1}\big)\approx 3,008 \,\text{g}$
b)
Veamos, ahora, cuáles son las unidades en las que se expresa la constante del exponente y que denotamos por $\tau$ y cuyo valor es $0,0001$. Como la cantidad del exponente de $\tau \, t$ debe ser adimensional, $[\tau]=[t]^{-1}$, luego las unidades de $\tau$ son $\text{h}^{-1}$, o lo que es lo mismo, $1/h$ es decir, $\tau = 0,001 \, \text{h}^{-1}$
$\square$
Sea la función $f(x)=x$. Se pide: a) Una función primitiva de $f(x)$ y la familia de funciones primitivas de $f(x)$, esto es, resolver la integral indefinida de $f(x)$ b) Hallar la integral definida de $f(x)$ entre $x=-1$ y $x=1$ c) Calcular el valor del área comprendida entre el trazo de la función $f(x)$, el eje $Ox$ y la rectas perpendiculares al mismo que pasan por los puntos de coordenadas $(-1,0)$ y $(1,0)$
Enunciado:
Sea la función $f(x)=x$. Se pide:
a) Una función primitiva de $f(x)$ y la familia de funciones primitivas de $f(x)$, esto es, resolver la integral indefinida de $f(x)$
b) Hallar la integral definida de $f(x)$ entre $x=-1$ y $x=1$
c) Calcular el valor del área comprendida entre el trazo de la función $f(x)$, el eje $Ox$ y la rectas perpendiculares al mismo que pasan por los puntos de coordenadas $(-1,0)$ y $(1,0)$
Resolución:
a)
Una función primitiva de $f(x)$ es $F(x)=\dfrac{1}{2}\,x^2$, luego la familia de primitivas de $f(x)$ es $\dfrac{1}{2}\,x^2+C$, siendo $C$ una constante arbitraria llamada constante de integración, pues según el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, $F(x)$ ha de ser tal que $(F(x)+C)'=F'(x)+(C)'=F'(x)+0=f(x)$; en nuestro caso, $(\dfrac{1}{2}\,x^2+C)'=x$. Otra manera de expresar lo mismo es $\int x\,dx=\dfrac{1}{2}\,x^2+C$, resultado que también suele denominarse integral indefinida de $f(x)$.
b)
La integral definida es un número real, y se define como el resultado de aplicar el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo o Teorema de Newton-Leibiniz ( también llamado regla de Barrow ):
$\displaystyle \int_{-1}^{1}\,x\,dx=F(1)-F(-1)=\dfrac{1}{2}\,1^2-\dfrac{1}{2}\,(-1)^2=\dfrac{1}{2}\,(1-1)=0$
c)
El área comprendida entre el trazo ( curva ) de la función y el eje de abscisas no siempre coincide con el valor de la integral definida cuyo significado va más allá que el del área geométrica stricto sensu ( el valor de la integral definida, según la naturaleza del modelo funcional, puede corresponder diversas magnitudes: una probabilidad, una energía, la longitud de camino recorrida, etcétera), aunque la noción de área bajo la curva da nombre al problema de la integral definida y por tanto el cálculo del área geométrica utiliza la noción de integral definida.
Para obtener el valor del área ( geométrica ), a partir de la integral definida, ocurre que, a veces, falta arreglar la suma de los términos de los que se compone el resultado de la integral definida para determinar, a partir de dicho resultado, el valor del área, pues es necesario convertir los términos negativos del resultado en positivos ( el área geométrica es, además, por definición, una magnitud positiva ); en efecto, eso ocurre cuando la función toma valores positivos y negativos en el conjunto del dominio de integración. En particular, si la función es impar y el dominio de integración es simétrico, que es el caso del ejercicio, la integral definida resulta ser igual a cero como acabamos de ver en el apartado anterior; ahora bien, el área pedida no es cero ( ver figura ); para que ello se refleje en el cálculo, procederemos a sumar en valor absoluto los sumandos ( o términos ) negativos a los positivos en el resultado de la integral definida, es decir
$\displaystyle \text{Área bajo la curva}=|\int_{-1}^{0}\,x\,dx|+|\int_{0}^{1}\,x\,dx|=|-\dfrac{1}{2}|+|\dfrac{1}{2}|$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$ unidades arbitrarias de área
En el caso que nos ocupa - insistimos en ese punto - por ser $f(x)=x$ una función impar ( $f(-x)=-f(x); \forall x \in D_f$ ) y el dominio de integración simétrico ( esto es, siendo el límite inferior igual a $-1$ y límite superior igual a $1$ ), podemos escribir dicha suma de términos positivos, o sea, el área, de la forma $\text{Área}=2\,\displaystyle \int_{0}^{1}\,x\,dx=2\,(\dfrac{1}{2}\,1^2-\dfrac{1}{2}\,0^2)=2\,(\dfrac{1}{2}\,(1-0))$
$=2\cdot \dfrac{1}{2} = 1$ unidades arbitrarias de área
Observación: Notemos, además, que en este caso, ni siquiera hace falta utilizar el concepto de integral definida para determinar el área pedida, pues, dicha área se puede calcular, simplemente, con la fórmula del área del triángulo, tal como se comenta en el rótulo de la figura.
$\square$
Sea la función $f(x)=x$. Se pide:
a) Una función primitiva de $f(x)$ y la familia de funciones primitivas de $f(x)$, esto es, resolver la integral indefinida de $f(x)$
b) Hallar la integral definida de $f(x)$ entre $x=-1$ y $x=1$
c) Calcular el valor del área comprendida entre el trazo de la función $f(x)$, el eje $Ox$ y la rectas perpendiculares al mismo que pasan por los puntos de coordenadas $(-1,0)$ y $(1,0)$
Resolución:
a)
Una función primitiva de $f(x)$ es $F(x)=\dfrac{1}{2}\,x^2$, luego la familia de primitivas de $f(x)$ es $\dfrac{1}{2}\,x^2+C$, siendo $C$ una constante arbitraria llamada constante de integración, pues según el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, $F(x)$ ha de ser tal que $(F(x)+C)'=F'(x)+(C)'=F'(x)+0=f(x)$; en nuestro caso, $(\dfrac{1}{2}\,x^2+C)'=x$. Otra manera de expresar lo mismo es $\int x\,dx=\dfrac{1}{2}\,x^2+C$, resultado que también suele denominarse integral indefinida de $f(x)$.
b)
La integral definida es un número real, y se define como el resultado de aplicar el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo o Teorema de Newton-Leibiniz ( también llamado regla de Barrow ):
$\displaystyle \int_{-1}^{1}\,x\,dx=F(1)-F(-1)=\dfrac{1}{2}\,1^2-\dfrac{1}{2}\,(-1)^2=\dfrac{1}{2}\,(1-1)=0$
c)
El área comprendida entre el trazo ( curva ) de la función y el eje de abscisas no siempre coincide con el valor de la integral definida cuyo significado va más allá que el del área geométrica stricto sensu ( el valor de la integral definida, según la naturaleza del modelo funcional, puede corresponder diversas magnitudes: una probabilidad, una energía, la longitud de camino recorrida, etcétera), aunque la noción de área bajo la curva da nombre al problema de la integral definida y por tanto el cálculo del área geométrica utiliza la noción de integral definida.
Para obtener el valor del área ( geométrica ), a partir de la integral definida, ocurre que, a veces, falta arreglar la suma de los términos de los que se compone el resultado de la integral definida para determinar, a partir de dicho resultado, el valor del área, pues es necesario convertir los términos negativos del resultado en positivos ( el área geométrica es, además, por definición, una magnitud positiva ); en efecto, eso ocurre cuando la función toma valores positivos y negativos en el conjunto del dominio de integración. En particular, si la función es impar y el dominio de integración es simétrico, que es el caso del ejercicio, la integral definida resulta ser igual a cero como acabamos de ver en el apartado anterior; ahora bien, el área pedida no es cero ( ver figura ); para que ello se refleje en el cálculo, procederemos a sumar en valor absoluto los sumandos ( o términos ) negativos a los positivos en el resultado de la integral definida, es decir
$\displaystyle \text{Área bajo la curva}=|\int_{-1}^{0}\,x\,dx|+|\int_{0}^{1}\,x\,dx|=|-\dfrac{1}{2}|+|\dfrac{1}{2}|$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$ unidades arbitrarias de área
En el caso que nos ocupa - insistimos en ese punto - por ser $f(x)=x$ una función impar ( $f(-x)=-f(x); \forall x \in D_f$ ) y el dominio de integración simétrico ( esto es, siendo el límite inferior igual a $-1$ y límite superior igual a $1$ ), podemos escribir dicha suma de términos positivos, o sea, el área, de la forma $\text{Área}=2\,\displaystyle \int_{0}^{1}\,x\,dx=2\,(\dfrac{1}{2}\,1^2-\dfrac{1}{2}\,0^2)=2\,(\dfrac{1}{2}\,(1-0))$
$=2\cdot \dfrac{1}{2} = 1$ unidades arbitrarias de área
Observación: Notemos, además, que en este caso, ni siquiera hace falta utilizar el concepto de integral definida para determinar el área pedida, pues, dicha área se puede calcular, simplemente, con la fórmula del área del triángulo, tal como se comenta en el rótulo de la figura.
$\square$
Estudiar la función $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$
Enunciado:
Estudiar la función $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$ y representarla gráficamente a partir del resultado del análisis.
Resolución:
Dominio de definición:
$D_f=\mathbb{R}$, ya que el denominador no se anula para ningún
valor de $x$, y, por tanto todos los números reales tienen imagen.
Raíces de la función ( abscisas de los puntos de corte con el eje $Ox$):
raíces=$\{x:f(x)=0\}$; imponiendo la condición, $\dfrac{x^2}{x^2+1}=0 \Leftrightarrow x=0$, luego sólo hay una raiz: $x=0$; su ordenada en el origen es $f(0)=0$, por tanto, el trazo de la función pasa por el origen de coordenadas.
Extremos relativos ( máximos y mínimos locales o relativos ):
Para encontrar los extremos relativos ( máximos y mínomos locales ) debemos encontrar los valores de $x$ ( abscisas de dichos puntos ) que cumplen $f'(x)=0$ -- por este motivo, se llaman, también, puntos estacionarios --. Como $f'(x)=\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$, esta función es nula si y sólo si $x=0$, luego sólo hay un extremo relativo, cuya abscisa coincide con la raiz de $f(x)$ y su ordenada es $f(0)=0$, luego el punto del plano que corresponde a dicho extremo relativo es el origen de coordenadas $O(0,0)$, con lo cual vemos que su naturaleza no puede ser otra que la de mínimo local, pues, la función es positiva para todo valor de $x$ de su dominio de existencia ( las ordenadas de la función son todas positivas ), y es, además, el mínimo absoluto, habida cuenta que $f(x)$ no puede tomar valores negativos y, por tanto, valores menores que la ordenada de dicho mínimo local, que es $0$. Así, vemos que el recorrido de la función ( conjunto de valores que toma la función ) es $\mathcal{R}_f=[0\,,\,1]$.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
$I^{\downarrow}=(-\infty\,,\,0)$ ( solamente hay un intervalo de decrecimiento )
$I^{\uparrow}=(0\,,\,+\infty)$ ( solamente hay un intervalo de crecimiento )
Asíntotas verticales: no hay ( no se anula el denominador para ningún valor de $x$ )
asíntotas oblícuas:
Las asíntotas oblícuas, como rectas que son, tienen ecuación $y=m\,x+k$. Veamos, en primer lugar, cuál es la pendiente $m$; $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$ o, lo que es lo mismo (propiedad), $\displaystyle m \underset{def}{=}\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$, y, haciendo el cálculo: $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{\frac{x^2}{x^2+1}}{x}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{x^2}{x^3+1}=0$ ( por ser el grado del denominador mayor que el del numerador ).
Una vez conocido el valor de la pendiente, $m=0$ ( recta horizontal ), calculamos el valor de la ordenada en el origen de la ( sólo hay una ) recta asíntota; para ello, despejamos el valor de $k$ de la ecuación de la recta, a la vez que pasamos al límite:
$\displaystyle k \underset{def}{=}\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,(y-m\,x)$, esto es, $\displaystyle k=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,(f(x)-m\,x)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,(\dfrac{x^2}{x^2+1}-0\,x)=1$, concluyendo que $\text{r.h.:}\,y=1$
Con todos los elementos de análisis, hasta ahora recogidos, podemos ya perfilar la trazo de la función y es el siguiente ( figura ):
Puntos de inflexión:
La curva ( el trazo de la función ) cambia el signo de la curvatura en dos puntos ( A y B en el gráfico ); procedemos, ahora a calcular sus coordenadas:
Los valores del dominio de existencia en los que la curvatura cambia de signo cumplen la condición necesaria $f''(x)=0$, así, pues, determinamos, primero, la función segunda derivada, que es $f''(x)=2\,\dfrac{(x^2+1)(1-3\,x^2)}{(x^2+1)^4}$ ( se deja al alumno la comprobación de dicho resultado ), y, a continuación, imponemos la condición necesaria, viendo que $f''(x)=0$ si y sólo si $x_B=-\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}$ ( abscisa del punto de inflexión $B$ ) o bien si $x_A=\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}$ (abscisa del punto de inflexión $A$ ). Las ordenadas respectivas se calculan determinando la imagen de dichas abscisas: $y_B=f \big( -\dfrac{1}{|\sqrt{3}|} \big)=\dfrac{1}{4}$ y $y_A=f \big( \dfrac{1}{|\sqrt{3}|} \big)=\dfrac{1}{4}$
Intervalos de concavidad y convexidad:
$I_{\text{concavidad}}=(-\infty\,,\,-\dfrac{1}{|\sqrt{3}|})$
$J_{\text{convexidad}}=(-\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}\,,\,\dfrac{1}{|\sqrt{3}|})$
$K_{\text{concavidad}}=(\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}\,,\,+\infty)$
-oOo-
Comentario:
Cabe hacer aquí un par de comentarios sobre la función que aparece en este ejercicio, $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$; en primer lugar, su forma recuerda a la de la función de densidad de probabilidad de Gauss, pero me gustaría hacer hincapié, ahora, en otra cosa: dicha función está relacionada con una curva muy famosa que describe el lugar geométrico ligado a un cierto "mecanismo", curva que fue estudiada ( entre otros matemáticos ) por Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) en uno de sus trabajos; esta curva tiene la siguiente ecuación ( en coordenadas cartesianas ): $y=\dfrac{1}{x^2+1}$ y se conoce con el curioso nombre de [ Bruja de Agnesi], debiéndose este nombre a un error de traducción del italiano al inglés que, sin ser subsanado, ha perdurado. Pues bien, el trazo de la función del ejercicio tiene la misma forma que dicha famosa curva. Observe el lector que haciendo dos transformaciones -- una reflexión respecto al eje $Ox$ seguida de una traslación en el sentido del eje $Oy$ --, llevamos la curva de la función que aparece en el ejercicio, $y=\dfrac{x^2}{x^2+1}$, a este otro trazo ( curva ): $-\dfrac{x^2}{x^2+1}+1 = \dfrac{1}{x^2+1}$, que es la curva de Agnesi.
$\square$
Estudiar la función $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$ y representarla gráficamente a partir del resultado del análisis.
Resolución:
Dominio de definición:
$D_f=\mathbb{R}$, ya que el denominador no se anula para ningún
valor de $x$, y, por tanto todos los números reales tienen imagen.
Raíces de la función ( abscisas de los puntos de corte con el eje $Ox$):
raíces=$\{x:f(x)=0\}$; imponiendo la condición, $\dfrac{x^2}{x^2+1}=0 \Leftrightarrow x=0$, luego sólo hay una raiz: $x=0$; su ordenada en el origen es $f(0)=0$, por tanto, el trazo de la función pasa por el origen de coordenadas.
Extremos relativos ( máximos y mínimos locales o relativos ):
Para encontrar los extremos relativos ( máximos y mínomos locales ) debemos encontrar los valores de $x$ ( abscisas de dichos puntos ) que cumplen $f'(x)=0$ -- por este motivo, se llaman, también, puntos estacionarios --. Como $f'(x)=\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$, esta función es nula si y sólo si $x=0$, luego sólo hay un extremo relativo, cuya abscisa coincide con la raiz de $f(x)$ y su ordenada es $f(0)=0$, luego el punto del plano que corresponde a dicho extremo relativo es el origen de coordenadas $O(0,0)$, con lo cual vemos que su naturaleza no puede ser otra que la de mínimo local, pues, la función es positiva para todo valor de $x$ de su dominio de existencia ( las ordenadas de la función son todas positivas ), y es, además, el mínimo absoluto, habida cuenta que $f(x)$ no puede tomar valores negativos y, por tanto, valores menores que la ordenada de dicho mínimo local, que es $0$. Así, vemos que el recorrido de la función ( conjunto de valores que toma la función ) es $\mathcal{R}_f=[0\,,\,1]$.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
$I^{\downarrow}=(-\infty\,,\,0)$ ( solamente hay un intervalo de decrecimiento )
$I^{\uparrow}=(0\,,\,+\infty)$ ( solamente hay un intervalo de crecimiento )
Asíntotas verticales: no hay ( no se anula el denominador para ningún valor de $x$ )
asíntotas oblícuas:
Las asíntotas oblícuas, como rectas que son, tienen ecuación $y=m\,x+k$. Veamos, en primer lugar, cuál es la pendiente $m$; $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$ o, lo que es lo mismo (propiedad), $\displaystyle m \underset{def}{=}\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$, y, haciendo el cálculo: $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{\frac{x^2}{x^2+1}}{x}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{x^2}{x^3+1}=0$ ( por ser el grado del denominador mayor que el del numerador ).
Una vez conocido el valor de la pendiente, $m=0$ ( recta horizontal ), calculamos el valor de la ordenada en el origen de la ( sólo hay una ) recta asíntota; para ello, despejamos el valor de $k$ de la ecuación de la recta, a la vez que pasamos al límite:
$\displaystyle k \underset{def}{=}\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,(y-m\,x)$, esto es, $\displaystyle k=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,(f(x)-m\,x)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,(\dfrac{x^2}{x^2+1}-0\,x)=1$, concluyendo que $\text{r.h.:}\,y=1$
Con todos los elementos de análisis, hasta ahora recogidos, podemos ya perfilar la trazo de la función y es el siguiente ( figura ):
Puntos de inflexión:
La curva ( el trazo de la función ) cambia el signo de la curvatura en dos puntos ( A y B en el gráfico ); procedemos, ahora a calcular sus coordenadas:
Los valores del dominio de existencia en los que la curvatura cambia de signo cumplen la condición necesaria $f''(x)=0$, así, pues, determinamos, primero, la función segunda derivada, que es $f''(x)=2\,\dfrac{(x^2+1)(1-3\,x^2)}{(x^2+1)^4}$ ( se deja al alumno la comprobación de dicho resultado ), y, a continuación, imponemos la condición necesaria, viendo que $f''(x)=0$ si y sólo si $x_B=-\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}$ ( abscisa del punto de inflexión $B$ ) o bien si $x_A=\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}$ (abscisa del punto de inflexión $A$ ). Las ordenadas respectivas se calculan determinando la imagen de dichas abscisas: $y_B=f \big( -\dfrac{1}{|\sqrt{3}|} \big)=\dfrac{1}{4}$ y $y_A=f \big( \dfrac{1}{|\sqrt{3}|} \big)=\dfrac{1}{4}$
Intervalos de concavidad y convexidad:
$I_{\text{concavidad}}=(-\infty\,,\,-\dfrac{1}{|\sqrt{3}|})$
$J_{\text{convexidad}}=(-\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}\,,\,\dfrac{1}{|\sqrt{3}|})$
$K_{\text{concavidad}}=(\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}\,,\,+\infty)$
Comentario:
Cabe hacer aquí un par de comentarios sobre la función que aparece en este ejercicio, $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$; en primer lugar, su forma recuerda a la de la función de densidad de probabilidad de Gauss, pero me gustaría hacer hincapié, ahora, en otra cosa: dicha función está relacionada con una curva muy famosa que describe el lugar geométrico ligado a un cierto "mecanismo", curva que fue estudiada ( entre otros matemáticos ) por Maria Gaetana Agnesi (1718-1799) en uno de sus trabajos; esta curva tiene la siguiente ecuación ( en coordenadas cartesianas ): $y=\dfrac{1}{x^2+1}$ y se conoce con el curioso nombre de [ Bruja de Agnesi], debiéndose este nombre a un error de traducción del italiano al inglés que, sin ser subsanado, ha perdurado. Pues bien, el trazo de la función del ejercicio tiene la misma forma que dicha famosa curva. Observe el lector que haciendo dos transformaciones -- una reflexión respecto al eje $Ox$ seguida de una traslación en el sentido del eje $Oy$ --, llevamos la curva de la función que aparece en el ejercicio, $y=\dfrac{x^2}{x^2+1}$, a este otro trazo ( curva ): $-\dfrac{x^2}{x^2+1}+1 = \dfrac{1}{x^2+1}$, que es la curva de Agnesi.
$\square$
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