En una empresa se editan revistas de dos tipos; de deportes y de cine. Cada revista de deportes precisa dos cartuchos de tinta negra y uno de color, y se vende a $3$ euros. Cada revista de cine precisa dos cartuchos de tinta negra y dos de color, y se vende a $5$ euros. Se dispone de $500$ cartuchos de cada clase. Suponiendo que se vendan todas las revistas que se produzcan, ¿ cuántas de cada tipo se deben realizar para obtener el mayor ingreso posible ?.

Enunciado:
En una empresa se editan revistas de dos tipos; de deportes y de cine. Cada revista de deportes precisa dos cartuchos de tinta negra y uno de color, y se vende a $3$ euros. Cada revista de cine precisa dos cartuchos de tinta negra y dos de color, y se vende a $5$ euros. Se dispone de $500$ cartuchos de cada clase. Suponiendo que se vendan todas las revistas que se produzcan, ¿ cuántas de cada tipo se deben realizar para obtener el mayor ingreso posible ?.

Solución:
Denotemos por $d$ al número de revistas deportivas; $c$ al número de revistas de cine, e $I$ a los ingresos por las ventas de todas las revistas producidas. Entonces:

Función objetivo: $I(d,c)=3\,d+5\,c$     (1)

Sistema de restricciones:
$$\left\{\begin{matrix}
2d &+&2c &\le & 500 \\
d &+&2c &\le & 500 \\
& d \ge 0\\
& c \ge 0\\
\end{matrix}\right.$$

es decir

$$\left\{\begin{matrix}
d & \le & 250 &- &c \\
d & \le & 500 &- &2c \\
& d \ge 0\\
& c \ge 0\\
\end{matrix}\right.$$


Rectas que determinan los bordes de la región factible:
$$\left\{\begin{matrix}
d & = & 250 &- &c \\
d & = & 500 &- &2c \\
& d = 0\\
& c = 0\\
\end{matrix}\right.$$


Región factible ( Si existe solución o soluciones - de existir, puede no ser única -, esta es la región del plano que la contiene ):

Família de rectas de la función objetivo:
Despejando $d$ de (1): $d=-\dfrac{5}{3}\,c+\dfrac{I}{3}$, luego $I$ es máximo cuando la ordenada en el origen, $\dfrac{I}{3}$, de dichas rectas es máxima, lo cual se da para la recta que pasa por el punto $A(250,0)$ tal como se puede visualizar en el gráfico.

Así, pues, $I_{máx}=I(d_A,c_A)=d(0,250)=3\cdot 0+5\cdot 250=1250$ euros, y dicho valor máximo se obtiene produciendo $250$ revista de cine y ninguna de deportes.

$\square$

[nota del autor]