Estudiar la función $f(x)=e^{-x^2}$

Enunciado:
Estudiar la función $f(x)=e^{-x^2}$ y representarla gráficamente a partir del resultado de dicho análisis.

Nota:   En Probabilidad y Estadística, esta función está relacionada con la función de Gauss( o campana de Gauss), es decir, con la función de densidad de probabilidad del modelo de variable aleatoria con distribución normal ) - y, por tanto, con el Teorema Central del Límite -, presentando todos los elementos cualitativos que la caracterizan.

Resolución:
Dominio de definición:
$D_f=\mathbb{R}$ ( todos los números reales tiene imagen, por ser una función exponencial )


Raíces de la función ( abscisas de los puntos de corte con el eje $Ox$): no tiene


Extremos relativos ( máximos y mínimos locales o relativos ):
Para encontrar los extremos relativos ( máximos y mínomos locales ) debemos encontrar los valores de $x$ ( abscisas de dichos puntos ) que cumplen $f'(x)=0$. La función derivada $f'(x)=e^{-x^2}\,(-x^2)'=-2\,x\,e^{-x^2}$ se anula si y sólo si $x=0$, luego sólo hay un extremo relativo, cuya abscisa coincide con la raiz de $f(x)$ y su ordenada es $f(0)=e^{0^2}=e^0=1$. Como la función sólo puede tomar valores positivos, dicho extremo relativo, que corresponde, pues, al punto $M(0,1)$, es un máximo local; por otra parte, como el recorrido de la función es $\mathcal{R}_f=[0\,,\,1]$, dicho máximo relativo o local es también el máximo absoluto. Al no ser la función dada una función constante, no tener raíces y tener un sólo extremo relativo, deducimos que el eje $Ox$ es una asíntota horitzontal; en efecto, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f(x)=0$, luego $\text{a.h.:}\,y=0$, que es el propio eje de abscisas.


Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
$I^{\uparrow}=(-\infty\,,\,0)$ ( solamente hay un intervalo de crecimiento )
$I^{\downarrow}=(0\,,\,+\infty)$ ( solamente hay un intervalo de decrecimiento )


Asíntotas verticales y asíntotas oblícuas (distintas de la a. horizontal): no hay ( por ser una función exponencial )


Con todos los elementos de análisis, hasta ahora recogidos, podemos ya perfilar la trazo de la función y es el siguiente ( figura ):

Puntos de inflexión:
La curva ( el trazo de la función ) cambia el signo de la curvatura en dos puntos ( A y B en el gráfico ); procedemos, ahora a calcular sus coordenadas:


Los valores del dominio de existencia en los que la curvatura cambia de signo cumplen la condición necesaria $f''(x)=0$, así, pues, determinamos, primero, la función segunda derivada, que es $f''(x)=-2\,e^{-x^2}\,(1-2\,x^2)$ ( se deja al alumno la comprobación de dicho resultado ); a continuación, imponemos la condición necesaria, y encontramos que $f''(x)=0$ si y sólo si $x_B=-\dfrac{1}{|\sqrt{2}|}$ ( abscisa del punto de inflexión $B$ ) o bien si $x_A=\dfrac{1}{|\sqrt{2}|}$ (absicisa del punto de inflixión $A$ ). Las ordenadas respetivas se calculan determinando la imagen de dichas abscisas: $y_B=f \big( -\dfrac{1}{|\sqrt{2}|} \big)=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ y $y_A=f \big( \dfrac{1}{|\sqrt{2}|} \big)=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$ ( dejo la comprobación de estos cálculos a cargo del lector ).


Intervalos de concavidad y convexidad:
$I_{\text{convexidad}}=(-\infty\,,\,-\dfrac{1}{|\sqrt{2}|})$
$J_{\text{concavidad}}=(-\dfrac{1}{|\sqrt{2}|}\,,\,\dfrac{1}{|\sqrt{2}|})$
$K_{\text{convexidad}}=(-\dfrac{1}{|\sqrt{2}|}\,,\,+\infty)$

Nota:   Recordemos que, por convenio, decimos que una función es cóncava ( respectivamente, convexa ) en un punto si al trazar las secantes paralelas a la recta tangente que pasa por dicho punto, éstas quedan por debajo ( repectivamente, por encima ) de la recta tangente. Por otra parte, decimos, también, que una función es cóncava ( respectivamente, convexa ) en un punto si el valor de la derivada segunda en dicho punto es positivo ( respectivamente, negativo ); por ello, el valor de la segunda derivada en un punto de inflexión -- donde la función no es cóncava ni convexa -- es cero.

Observación:   En otro ejercicio, estudiábamos la función $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+1}$. Cabe destacar - como curiosidad - un parecido con la función $e^{-x^2}$ al invertirla y trasladarla, tal como se muestra en la siguiente figura:

$\square$

[nota del autor]