Calcule las siguientes probabilidades ...

Enunciado:
(1) Calcule las siguientes probabilidades:

  a) $P\{3'5 \le X \le 4'5\}$, siendo $X \sim N(5\,,\,1'2)$

  b) $P\{ X = 20 \}$, siendo $X \sim B(40\,,\,0'4)$

  c) $P\{ X \le 4 \}$, siendo $X \sim B(5\,,\,0'5)$

(2) Calcule el valor de la abscisa $k$ tal que $P\{|Z|\le k\}=0'8$, siendo $Z \sim N(0\,,\,1)$


Resolución:
(1)
  a)

$P\{3'5 \le X \le 4'5 \}=$

  $= P\{\dfrac{3'5-5}{1'2} \le Z \le \dfrac{4'5-5}{1'2} \}$   ( tipificando la variable )

  $=P\{-1'25 \le Z \le -0'42 \}=P\{Z \le -0'42 \}-P\{Z \le -1'25 \}$

  $=P\{Z \ge 0'42 \}-P\{Z \ge 1'25 \}$   (simetría de la función de densidad $f(z)$ )

  $=1-P\{Z \le 0'42 \}-(1-P\{Z \ge 1'25 \})$   ( probabilidad del contrario )

  $=P\{Z \le 1'25 \}-P\{Z \le 0'42 \}$

  $F(1'25) - F(0'42) \underset{\text{tablas}}{=}0'8944-0'6628=0'2316$

  b)
Con el fin de hacer viable el cálculo, nos proponemos aproximar la variable aleatoria binomial $X=B(40\,,\,0'4)$ por una variable aleatoria normal $Y=N(\mu\,,\,\sigma)$, con $\mu=40\cdot 0'4=16$ y $\sigma=\sqrt{40\cdot 0'4\cdot (1-0'4)}\approx 3'10$; pero, antes, debemos comprobar que estamos en condiciones de realizar dicha aproximación; para ello, debemos comprobar que, siendo $p \prec 0'5$, $n\,p$ sea mayor que $5$; en efecto, $40\cdot 0'4=16 \succ 5$.

Entonces, haciendo, además, la corrección de continuidad, para poder calcular la probabilidad del valor puntual,
$P\{ X = 20 \} \approx P\{ 19'5 \le Y \le 20'5 \}$
    $=P\{ 19'5 \le Y \le 20'5 \}$
    $=P\{ \dfrac{19'5-16}{3'10} \le Z \le \dfrac{20'5-16}{3'10} \}$   ( tipificando la variable normal )
    $= P\{ 1'13 \le Z \le 1'45 \}$
    $= P\{ Z \le 1'45 \} - P\{ Z \le 1'13 \}$
    $ = 0'9265-0'8708$
    $ = 0'0557$

  c)
La variable aleatoria es, en este caso, binomial, y el cálculo directo con dicha distribución resulta viable ( pues los valores son pequeños ) y no hace falta aproximar por la normal, luego
$P\{ X \le 4 \}=1-P\{ X = 5 \}=1-\binom{5}{5}\,0'5\cdot 0'5=1-1\cdot 0'25 = 0'75$

(2)
$P\{|Z|\le k\}=0'8 \Rightarrow P\{Z \ge k\}=\dfrac{1-0'8}{2}=0'1$   ( por tratarse de la cola derecha )
por tanto $P\{Z \le k\}=F(k)=1-0'1=0'9$ ( por la probabilidad del contrario )
y, consultando las tablas de la función de distribución, encontramos: $k \approx 1'29$

$\square$

[nota del autor]