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martes, 13 de mayo de 2014

Calcule las siguientes probabilidades ...

Enunciado:
(1) Calcule las siguientes probabilidades:

  a) P\{3'5 \le X \le 4'5\}, siendo X \sim N(5\,,\,1'2)

  b) P\{ X = 20 \}, siendo X \sim B(40\,,\,0'4)

  c) P\{ X \le 4 \}, siendo X \sim B(5\,,\,0'5)

(2) Calcule el valor de la abscisa k tal que P\{|Z|\le k\}=0'8, siendo Z \sim N(0\,,\,1)


Resolución:
(1)
  a)

P\{3'5 \le X \le 4'5 \}=

  = P\{\dfrac{3'5-5}{1'2} \le Z \le \dfrac{4'5-5}{1'2} \}   ( tipificando la variable )

  =P\{-1'25 \le Z \le -0'42 \}=P\{Z \le -0'42 \}-P\{Z \le -1'25 \}

  =P\{Z \ge 0'42 \}-P\{Z \ge 1'25 \}   (simetría de la función de densidad f(z) )

  =1-P\{Z \le 0'42 \}-(1-P\{Z \ge 1'25 \})   ( probabilidad del contrario )

  =P\{Z \le 1'25 \}-P\{Z \le 0'42 \}

  F(1'25) - F(0'42) \underset{\text{tablas}}{=}0'8944-0'6628=0'2316

  b)
Con el fin de hacer viable el cálculo, nos proponemos aproximar la variable aleatoria binomial X=B(40\,,\,0'4) por una variable aleatoria normal Y=N(\mu\,,\,\sigma), con \mu=40\cdot 0'4=16 y \sigma=\sqrt{40\cdot 0'4\cdot (1-0'4)}\approx 3'10; pero, antes, debemos comprobar que estamos en condiciones de realizar dicha aproximación; para ello, debemos comprobar que, siendo p \prec 0'5, n\,p sea mayor que 5; en efecto, 40\cdot 0'4=16 \succ 5.

Entonces, haciendo, además, la corrección de continuidad, para poder calcular la probabilidad del valor puntual,
P\{ X = 20 \} \approx P\{ 19'5 \le Y \le 20'5 \}
    =P\{ 19'5 \le Y \le 20'5 \}
    =P\{ \dfrac{19'5-16}{3'10} \le Z \le \dfrac{20'5-16}{3'10} \}   ( tipificando la variable normal )
    = P\{ 1'13 \le Z \le 1'45 \}
    = P\{ Z \le 1'45 \} - P\{ Z \le 1'13 \}
    = 0'9265-0'8708
    = 0'0557

  c)
La variable aleatoria es, en este caso, binomial, y el cálculo directo con dicha distribución resulta viable ( pues los valores son pequeños ) y no hace falta aproximar por la normal, luego
P\{ X \le 4 \}=1-P\{ X = 5 \}=1-\binom{5}{5}\,0'5\cdot 0'5=1-1\cdot 0'25 = 0'75

(2)
P\{|Z|\le k\}=0'8 \Rightarrow P\{Z \ge k\}=\dfrac{1-0'8}{2}=0'1   ( por tratarse de la cola derecha )
por tanto P\{Z \le k\}=F(k)=1-0'1=0'9 ( por la probabilidad del contrario )
y, consultando las tablas de la función de distribución, encontramos: k \approx 1'29

\square

[nota del autor]

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