Suponiendo que el tipo de interés ( expresado en tanto por ciento ) que ofrece una entidad financiera depende del tiempo, $t$, de acuerdo con la función $I(t)=\dfrac{90\,t}{t^2+9}$, ¿ a cuántos años le conviene pactar a un inversor para que el tipo de interés sea máximo ?.

Enunciado:
Suponiendo que el tipo de interés ( expresado en tanto por ciento ) que ofrece una entidad financiera depende del tiempo, $t$, de acuerdo con la función $I(t)=\dfrac{90\,t}{t^2+9}$, ¿ a cuántos años le conviene pactar a un inversor para que el tipo de interés sea máximo ?.

Resolución:
Encontremos los extremos relativos en $D_I = \mathbb{R}^{+}$; para ello, imponemos la condición necesaria: $I'(t)=0$. Así, pues, derivando e igualando a cero, se obtiene
$\big(\dfrac{90\,t}{t^2+9}\big)'=0 \Leftrightarrow 90\,\dfrac{9-t^2}{(t^2+9)^2}=0 \Leftrightarrow t=3 \,\text{años}$. Comprobemos que se trata de un máximo relativo; basta para ello utilizar el criterio del signo de la primera derivada; así, es fácil ver que $I'(t) \succ 0$ para $0 \le t \prec 3$ e $I'(t) \prec 0$ para $t \succ 3$, luego, efectivamente, se trata de un máximo relativo, y, además, del máximo absoluto, ya que $\displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty}\,I(t) = 0$.

$\square$

[nota del autor]