Determinar las ecuaciones de las rectas asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x^3+2\,x^2-3\,x}{x^2-3\,x+2}$

Enunciado:
Determinar las ecuaciones de las rectas asíntotas de la función $f(x)=\dfrac{x^3+2\,x^2-3\,x}{x^2-3\,x+2}$

Solución:
Veamos, en primer lugar, si la función dada, que es una fracción algebraica, puede expresarse de una forma más sencilla; para ello, procedemos a realizar la factorización de los polinomios del numerador y denominador para ver si se puede simplificar, y, para ello, debemos encontrar, primero, las raíces de ambos polinomios.

Raíces de del polinomio numerador $x^3+2\,x^2-3\,x$: son los valores de $x$ que anulan el valor del polinomio, por tanto, imponiendo esta condición, $x^3+2\,x^2-3\,x=0 \Leftrightarrow x\,(x^2+2x-3)=0$ con lo cual obtenemos las siguientes raíces: $0$, $1$ y $-3$; así, pues, $x^3+2\,x^2-3\,x=x\,(x-1)(x-(-3))=x\,(x-1)(x+3)$

Haciendo lo propio con el polinomio del denominador de la fracción vemos que $x^2-3x+2= (x-1)(x-2)$.

Podemos, por tanto, volver a escribir la función dada de la forma $f(x)=\dfrac{x\,(x-1)(x+3)}{(x-1)(x-2)}$ y, cancelando los factores iguales del numerador y denominador, la función se simplifica de la forma $f(x)=\dfrac{x\,(x+3)}{x-2}$

Concluido este importante paso, pasamos a buscar rectas asíntotas.

Asíntotas verticales:
Son las rectas del tipo $x=a$, donde $a$ anule el denominador, esto es, siendo $\displaystyle k=\lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\pm \infty$. Este valor de $a$, evidentemente, tiene que ser $2$, luego hay solamente una recta asíntota vertical, de ecuación $\text{a.v.:}\,x=2$

Asíntotas oblicuas ( incluyen, si las hay, las horizontales ):
La ecuación de una recta asíntota oblicua es ( por ser una recta ) del tipo $\text{a.o.:}\,y=m\,x+k$, donde $m$ es la pendiente de la recta y $k$ la ordenada en el origen.

Así, pues, debemos encontrar los valores $\{m\}$ y $\{k \}$ para caracterizar todas las rectas oblicuas que presente la función. Realizamos ésto en dos pasos:

(i) Calculamos el valor de $m$ teniendo en cuenta que la curva ( el trazo de la función ) debe tocar a la recta tagente en el infinito ( $+\infty$ o $-\infty$ ); por consiguiente, $m$ debe ser el valor del límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$, o lo que es lo mismo, $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$ ( propiedad que se demuestra fácilmente ); optando por lo segundo ( mayor facilidad de cálculo ) encontramos $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \, \dfrac{x\,(x+3)}{x\,(x-2)}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \, \dfrac{x+3}{x-2}=1$. Vemos, por tanto, que, en este caso, sólo hay una asíntota oblicua, de pendiente igual a $1$.

(ii) Conociendo ya el valor de la pendiente ( $m=1$ ), podemos calcular ya el valor de la ordenada en el origen, ya que, en el límite, debe cumplirse que $\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\big(f(x)-m\,x\big)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\bigg(\dfrac{x\,(x+3)}{x-2)}-1 \cdot x\bigg)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{5x}{x-2}=5$

Llegamos, pues, a la conclusión que la función $f(x)$ presenta una asíntota oblicua de ecuación, $\text{a.o.:}\,y=x+5$

La siguiente figura muestra la curva $f(x)$ y sus asíntotas:

$\square$

[nota del autor]