Hallar las dimensiones de una ventana rectangular de $6\,\text{m}$ de perímetro para que tenga la mayor área posible.

Enunciado:
Hallar las dimensiones de una ventana rectangular de $6\,\text{m}$ de perímetro para que tenga la mayor área posible.

Resolución:
Denotemos por $x$ a uno de los dos lados, entonces el otro lado es $3-x$, luego la función área viene dada por $f(x)=x\,(3-x)$, que es una función polinómica de segundo grado ( $f(x)=ax^2+bx+c$   (1)) cuyo coeficiente de grado dos, $a=-3$ es negativo, luego el vértice de la parábola, de abscisa $x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{3}{2\,(-1)}=\dfrac{3}{2} \, \text{m}$, corresponde a un máximo relativo.

Esto se puede comprobar derivando e igualando a cero la función ( condición necesaria para hallar extremos relativos) obteniéndose dicha abscisa, que, además, en este caso es el (máximo) absoluto ( por ser todos los puntos de la curva puntos de concavidad ), con lo cual, el valor que corresponde al otro lado ( desigual ) del rectángulo, que es $3-x$, es el mismo: $3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\,\text{m}$.

Conclusión: para maximizar el área de la ventana, ésta debe ser un cuadrado, y dicha área máxima, con los datos del problema, es igual a $\big(\dfrac{3}{2}\big)^2= \dfrac{9}{4}\,\text{m}^2$

$\square$

[nota del autor]