La variable aleatoria tiempo necesario para resolver un test se distribuye según un distribución normal de media $110$ min y desviación estándar $20$ min a) ¿ Cuál es la proporción de alumnos que se espera que finalicen el test antes de $2$ horas ? b) A partir de qué tiempo se espera que el $90\%$ de las personas que realizan el test lo habrán terminado ?

La variable aleatoria tiempo necesario para resolver un test se distribuye según un distribución normal de media $110$ min y desviación estándar $20$ min
a) ¿ Cuál es la proporción de alumnos que se espera que finalicen el test antes de $2$ horas ?
b) A partir de qué tiempo se espera que el $90\%$ de las personas que realizan el test lo habrán terminado ?

RESOLUCIÓN
  a) La v.a. $X$ representa la cantidad de tiempo necesaria para acabar el test
a) Como $X$ es $N(110,20)$, $P \lbrace X \prec 120 \rbrace =P \lbrace Z \prec \dfrac{120-110}{20} \rbrace=0.6915 \approx 69,2\%$

b)   Queremos encontrar el valor del tiempo $t$ tal que
$P\lbrace X \prec t \rbrace=P \lbrace Z \prec t'\rbrace=0,9$
Consultando les tablas de la función de distribución $F(z)$ donde $Z$ és $N(0,1)$, encontramos:
$F(1,28)=0,8997$ y $F(1,29)=0,9015$

Interpolando linealmente, $\dfrac{t'-1,29}{1,29-1.28}=\dfrac{0,9-0,9015}{0,9015-0,8997}$
y de aquí deducimos el valor de $t'$: $t'=1,282$

Finalmente, deshaciendo la tipificación, vemos que el valor de $t$ que cumple la condición pedida es
$t=20(1,282)+110 \approx$ $135$ min $38$ s

$\square$

[nota del autor]

Calcule las siguientes probabilidades ...

Enunciado:
(1) Calcule las siguientes probabilidades:

  a) $P\{3'5 \le X \le 4'5\}$, siendo $X \sim N(5\,,\,1'2)$

  b) $P\{ X = 20 \}$, siendo $X \sim B(40\,,\,0'4)$

  c) $P\{ X \le 4 \}$, siendo $X \sim B(5\,,\,0'5)$

(2) Calcule el valor de la abscisa $k$ tal que $P\{|Z|\le k\}=0'8$, siendo $Z \sim N(0\,,\,1)$


Resolución:
(1)
  a)

$P\{3'5 \le X \le 4'5 \}=$

  $= P\{\dfrac{3'5-5}{1'2} \le Z \le \dfrac{4'5-5}{1'2} \}$   ( tipificando la variable )

  $=P\{-1'25 \le Z \le -0'42 \}=P\{Z \le -0'42 \}-P\{Z \le -1'25 \}$

  $=P\{Z \ge 0'42 \}-P\{Z \ge 1'25 \}$   (simetría de la función de densidad $f(z)$ )

  $=1-P\{Z \le 0'42 \}-(1-P\{Z \ge 1'25 \})$   ( probabilidad del contrario )

  $=P\{Z \le 1'25 \}-P\{Z \le 0'42 \}$

  $F(1'25) - F(0'42) \underset{\text{tablas}}{=}0'8944-0'6628=0'2316$

  b)
Con el fin de hacer viable el cálculo, nos proponemos aproximar la variable aleatoria binomial $X=B(40\,,\,0'4)$ por una variable aleatoria normal $Y=N(\mu\,,\,\sigma)$, con $\mu=40\cdot 0'4=16$ y $\sigma=\sqrt{40\cdot 0'4\cdot (1-0'4)}\approx 3'10$; pero, antes, debemos comprobar que estamos en condiciones de realizar dicha aproximación; para ello, debemos comprobar que, siendo $p \prec 0'5$, $n\,p$ sea mayor que $5$; en efecto, $40\cdot 0'4=16 \succ 5$.

Entonces, haciendo, además, la corrección de continuidad, para poder calcular la probabilidad del valor puntual,
$P\{ X = 20 \} \approx P\{ 19'5 \le Y \le 20'5 \}$
    $=P\{ 19'5 \le Y \le 20'5 \}$
    $=P\{ \dfrac{19'5-16}{3'10} \le Z \le \dfrac{20'5-16}{3'10} \}$   ( tipificando la variable normal )
    $= P\{ 1'13 \le Z \le 1'45 \}$
    $= P\{ Z \le 1'45 \} - P\{ Z \le 1'13 \}$
    $ = 0'9265-0'8708$
    $ = 0'0557$

  c)
La variable aleatoria es, en este caso, binomial, y el cálculo directo con dicha distribución resulta viable ( pues los valores son pequeños ) y no hace falta aproximar por la normal, luego
$P\{ X \le 4 \}=1-P\{ X = 5 \}=1-\binom{5}{5}\,0'5\cdot 0'5=1-1\cdot 0'25 = 0'75$

(2)
$P\{|Z|\le k\}=0'8 \Rightarrow P\{Z \ge k\}=\dfrac{1-0'8}{2}=0'1$   ( por tratarse de la cola derecha )
por tanto $P\{Z \le k\}=F(k)=1-0'1=0'9$ ( por la probabilidad del contrario )
y, consultando las tablas de la función de distribución, encontramos: $k \approx 1'29$

$\square$

[nota del autor]

Sea $X$ una variable aleatoria continua cuyos valores son números reales, con función de densidad de probabilidad dada por $$f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \text{si} & x \prec 0 \\ x & \text{si} & 0 \le x \le \sqrt{2} \\ 0 & \text{si} & x \succ \sqrt{2} \\ \end{matrix}\right.$$ Se pide: a) la función de distribución de probabilidad $F(x)$ b) $P\{X \le 1\}$

Enunciado:
Sea $X$ una variable aleatoria continua cuyos valores son números reales, con función de densidad de probabilidad dada por
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \text{si} & x \prec 0 \\
x & \text{si} & 0 \le x \le \sqrt{2} \\
0 & \text{si} & x \succ \sqrt{2} \\
\end{matrix}\right.$$
Se pide:
  a) la función de distribución de probabilidad $F(x)$
  b) $P\{X \le 1\}$

Resolución:
Por los conceptos de probabilidad sabemos que la función de distribución de probabilidad $F(x)$ es una primitiva de la función de densidad de probabilidad $f(x)$, esto es, cumple el Primer Teorema Fundamental del Cálculo: $(F(x)+C)'=f(x)$, donde $C$ es la constante de integración; dicho de manera equivalente, $F(x)=\int \,f(x)\,dx + C$. Entonces, $F(x)=\dfrac{1}{2}\,x^2+C$     (1), y teniendo en cuenta - por su significado de probabilidad acumulada - que la función de distribución de probabilidad, por tanto, debe venir dada por
$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \text{si} & x \prec 0 \\
\dfrac{1}{2}\,x^2+C & \text{si} & 0 \le x \prec \sqrt{2} \\
1 & \text{si} & x \ge \sqrt{2} \\
\end{matrix}\right.$$

Determinemos, ahora, el valor de la constante de integración $C$: imponiendo la condición que se desprende del valor total de la probabilidad acumulada, esto es, $F(\sqrt{2})=1$, y teniendo en cuenta (1) podemos escribir $\dfrac{1}{2}\,(\sqrt{2})^2+C=1$ y, por tanto, $C=0$. Así, pues,

$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \text{si} & x \prec 0 \\
\dfrac{1}{2}\,x^2 & \text{si} & 0 \le x \prec \sqrt{2} \\
1 & \text{si} & x \ge \sqrt{2} \\
\end{matrix}\right.$$

b)
Calculemos, ahora, la probabilidad pedida utilizando el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo,
$\displaystyle P\{X \le 1\}:=F(1)=\int_{-\infty}^{0}\,0\,dx+\int_{0}^{1}\,x\,dx$
      $=0+\int_{0}^{1}\,x\,dx=0+\left[\dfrac{1}{2}\,x^2\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}\cdot 1^2-\dfrac{1}{2}\cdot 0^2=\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2}$

$\square$

[nota del autor]