En el supueto de que, en una determinada ciudad, la variable aleatoria número de días de duración de un contrato laboral siga una distribución aproximadamente normal, de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=57$ días, ¿ cuál es el número mínimo de contratos que debemos examinar para que el intervalo de confianza, al $95\,\%$ de confianza, con el que estimamos la media poblacional, $\mu$, de dicha variable aleatoria tenga una amplitud inferior a $10$ días ?.

Enunciado:
En el supueto de que, en una determinada ciudad, la variable aleatoria número de días de duración de un contrato laboral siga una distribución aproximadamente normal, de media $\mu$ desconocida y desviación típica $\sigma=57$ días, ¿ cuál es el número mínimo de contratos que debemos examinar para que el intervalo de confianza, al $95\,\%$ de confianza, con el que estimamos la media poblacional, $\mu$, de dicha variable aleatoria tenga una amplitud inferior a $10$ días ?.

Resolución:
Siendo el intervalo de confianza $I_{\mu}=[\bar{x}-E\,,\,\bar{x}+E]$ donde $E=z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$, y siendo $2\,E \prec 10$, se cumple que $2\cdot z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \prec 10$, y, teniendo en cuenta que el valor de la abscisa $z_{\alpha/2}=z_{0'05/2}=z_{0'025}$ tal que $P\{Z \ge z_{\alpha/2}\}=\dfrac{1-0'95}{2}=0'025$ y, por tanto, siendo $P\{Z \le z_{0'025}\}=F(z_{0'025})=1-0'025=0'975$ encontramos ( tablas de la función de la función de distribución de probabilidad $F(z)$ ) que $z_{0'025}=1'96$. Luego, con este valor y los datos del problema,
$1,96 \cdot \dfrac{57}{\sqrt{n}} \prec 5 \Rightarrow n \succ \big( \dfrac{1'96 \cdot 57} {5}\big)^2=500$, o sea, $n \succ 500$

$\square$

[nota del autor]