Ejercicio de álgebral lineal. Cálculo con matrices.

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Resuélvase la ecuación matricial $A\,X+B=C$, siendo ...

Enunciado:
Resuélvase la ecuación matricial $A\,X+B=C$, siendo:

$
A=\begin{pmatrix}
-1&2 &1 \\
0&2 &0 \\
-2&1 &1
\end{pmatrix}
$

$B=\begin{pmatrix}
1&4 &4 \\
-1&-1 &-1 \\
7&1 &0
\end{pmatrix}
$

$C=\begin{pmatrix}
0&0 &5 \\
1&-2 &1 \\
-2&1 &-3
\end{pmatrix}
$

Resolución:

$A\,X+B=C$
$A\,X+B-B=C-B$   ( restando $B$ a cada miembro )
$A\,X+O=C-B$   ( $O$ es la matriz nula )
$A\,X=C-B$
$A^{-1}\,A\,X=A^{-1}\,(C-B)$   ( multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda en cada miembro de la igualdad )
$I \, X = A^{-1}\,(C-B)$   ( $I$ es la matriz identidad )
$I \, X = A^{-1}\,(C-B)$
$X = A^{-1}\,(C-B)$     (1)

Calculamos $A^{-1}$ empleando el método de Gauss-Jordan, que consiste en transformar $(A|I)$ en $(I|A^{-1})$ mediante operaciones elementales por filas:

$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
-2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}\right)

\overset{-2\,f_1+f_3 \rightarrow f_3}{\rightarrow}

\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & -3 & -1 & -2 & 0 & 1\\
\end{array}\right)$


$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & -3 & -1 & -2 & 0 & 1\\
\end{array}\right)

\overset{\frac{3}{2}\,f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\rightarrow}

\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\
\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\
\end{array}\right)

\overset{1 \cdot f_3+f_1 \rightarrow f_1}{\rightarrow}

\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 2 & 0 & -1 & \dfrac{3}{2} & 1\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\
\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 2 & 0 & -1 & \dfrac{3}{2} & 1\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\
\end{array}\right)

\overset{(-1) \cdot f_2+f_1 \rightarrow f_1}{\rightarrow}

\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & -1 & \dfrac{1}{2} & 1\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\
\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
-1 & 0 & 0 & -1 & \dfrac{1}{2} & 1\\
0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\
\end{array}\right)

\overset{(-1) \cdot f_1 \rightarrow f_1; \quad \frac{1}{2} \cdot f_2 \rightarrow f_2; \quad (-1) \cdot f_3 \rightarrow f_3}{\rightarrow}$

$ \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{2} & -1\\
0 & 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{2} & 0\\
0 & 0 & 1 & 2 & -\dfrac{3}{2} & -1\\
\end{array}\right) \Rightarrow A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -\dfrac{1}{2} & -1\\
0 & \dfrac{1}{2} & 0\\
2 & -\dfrac{3}{2} & -1\\
\end{array}\right)$

Por lo tanto, de (1):

$(X)_{3 \times 3}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -\dfrac{1}{2} & -1\\
0 & \dfrac{1}{2} & 0\\
2 & -\dfrac{3}{2} & -1\\
\end{array}\right)\, \left( \left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 5\\
1 & -2 & 1\\
-2 & 1 & -3\\
\end{array}\right)
-
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 4\\
-1 & -1 & -1\\
7 & 1 & 0\\
\end{array}\right)
\right)$
  $=
\left(\begin{array}{ccc}
1 & -\dfrac{1}{2} & -1\\
0 & \dfrac{1}{2} & 0\\
2 & -\dfrac{3}{2} & -1\\
\end{array}\right)\, \left(\begin{array}{ccc}
-1 & -4 & 1\\
2 & -1 & 2\\
-9 & 0 & -3\\
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{ccc}
7 & -\dfrac{7}{2} & 3\\
1 & -\dfrac{1}{2} & 1\\
4 & -\dfrac{13}{2} & 2\\
\end{array}\right)$

$\square$

[nota del autor]