Sea $X$ una variable aleatoria continua cuyos valores son números reales, con función de densidad de probabilidad dada por $$f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & \text{si} & x \prec 0 \\ x & \text{si} & 0 \le x \le \sqrt{2} \\ 0 & \text{si} & x \succ \sqrt{2} \\ \end{matrix}\right.$$ Se pide: a) la función de distribución de probabilidad $F(x)$ b) $P\{X \le 1\}$

Enunciado:
Sea $X$ una variable aleatoria continua cuyos valores son números reales, con función de densidad de probabilidad dada por
$$f(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \text{si} & x \prec 0 \\
x & \text{si} & 0 \le x \le \sqrt{2} \\
0 & \text{si} & x \succ \sqrt{2} \\
\end{matrix}\right.$$
Se pide:
  a) la función de distribución de probabilidad $F(x)$
  b) $P\{X \le 1\}$

Resolución:
Por los conceptos de probabilidad sabemos que la función de distribución de probabilidad $F(x)$ es una primitiva de la función de densidad de probabilidad $f(x)$, esto es, cumple el Primer Teorema Fundamental del Cálculo: $(F(x)+C)'=f(x)$, donde $C$ es la constante de integración; dicho de manera equivalente, $F(x)=\int \,f(x)\,dx + C$. Entonces, $F(x)=\dfrac{1}{2}\,x^2+C$     (1), y teniendo en cuenta - por su significado de probabilidad acumulada - que la función de distribución de probabilidad, por tanto, debe venir dada por
$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \text{si} & x \prec 0 \\
\dfrac{1}{2}\,x^2+C & \text{si} & 0 \le x \prec \sqrt{2} \\
1 & \text{si} & x \ge \sqrt{2} \\
\end{matrix}\right.$$

Determinemos, ahora, el valor de la constante de integración $C$: imponiendo la condición que se desprende del valor total de la probabilidad acumulada, esto es, $F(\sqrt{2})=1$, y teniendo en cuenta (1) podemos escribir $\dfrac{1}{2}\,(\sqrt{2})^2+C=1$ y, por tanto, $C=0$. Así, pues,

$$F(x)=\left\{\begin{matrix}
0 & \text{si} & x \prec 0 \\
\dfrac{1}{2}\,x^2 & \text{si} & 0 \le x \prec \sqrt{2} \\
1 & \text{si} & x \ge \sqrt{2} \\
\end{matrix}\right.$$

b)
Calculemos, ahora, la probabilidad pedida utilizando el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo,
$\displaystyle P\{X \le 1\}:=F(1)=\int_{-\infty}^{0}\,0\,dx+\int_{0}^{1}\,x\,dx$
      $=0+\int_{0}^{1}\,x\,dx=0+\left[\dfrac{1}{2}\,x^2\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}\cdot 1^2-\dfrac{1}{2}\cdot 0^2=\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2}$

$\square$

[nota del autor]