(a) Demostrar, a partir del Teorema de Rolle, que la función $f(x)=x^4-x^3+5\,x^2-2$ no puede tener más de dos raíces. (b) Demostrar, a partir del Teorema de Bolzano, que la función $f(x)=-(x+1)^3$ tiene por lo menos una raíz en el intervalo $(-2\,,\,0) \subset \mathbb{R}$. (c) Calcular el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}$, empleando la regla de l'Hôpital ( consecuencia del Teorema del Valor Medio Extendido ) para resolver la indeterminación que aparece.

Enunciado:
(a) Demostrar, a partir del Teorema de Rolle, que la función $f(x)=x^4-x^3+5\,x^2-2$ no puede tener más de dos raíces.
(b) Demostrar, a partir del Teorema de Bolzano, que la función $f(x)=-(x+1)^3$ tiene por lo menos una raíz en el intervalo $(-2\,,\,0) \subset \mathbb{R}$.
(c) Calcular el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}$, empleando la regla de l'Hôpital ( consecuencia del Teorema del Valor Medio Extendido ) para resolver la indeterminación que aparece.

Resolución:
a)
Estudiando las raíces de la función primera derivada $f'(x)=4\,x^3-3\,x^2+10x$, encontramos: $f'(x)=0 \Leftrightarrow 4\,x^3-3\,x^2+10x=0 \Leftrightarrow x\,(4\,x^2-3x+10)=0 \Leftrightarrow x=0$ o bien $4\,x^2-3x+10=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{9-4\cdot 10 \cdot 4}}{2\cdot 4} \notin \mathbb{R}$, con lo cual $f'(x)$ sólo tiene una raiz ( $x=0$ ), luego, por el Teorema de Rolle ( $f(x)$ es continua y derivable en $D_f=\mathbb{R}$ ), se deduce de ello que $f(x)$ tiene a lo sumo dos raíces.

b)
La función $f(x)$ cambia de signo en los extremos del intervalo indicado, esto es $f(-2)=-(-2+1)^3=-(-1)^3=-(-1)=1 \succ 0$ y $f(0)=-(0+1)^3=-(1)^3=-1 \prec 0$, luego, por el Teorema de Bolzano ( la función $f(x)$ es continua y derivable en $D_f=\mathbb{R}$ y, por tanto, lo es también en el intervalo indicado ) se deduce que $f(x)$ tiene por lo menos una raiz en $(-2\,,\,0) \subset \mathbb{R}$

c)
Al pasar al límite, encontramos
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}=\dfrac{0}{0}$   ( indeterminación )
Como estamos en condiciones de aplicar la regla de l'Hôpital, esto es, la derivada de la función del denominador $(e^x-1)'=e^x$ es no nula en $x=0$ ( valor al que se hace tender la variable de control del límite ), vamos a hacer uso de este método ( $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow c}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ ), tal como se nos pide en el enunciado:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{(x^3)'}{(e^x-1)'}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{3\,x^2}{e^x}=\dfrac{3\cdot 0^2 }{e^0}=\dfrac{0}{1}=0$

$\square$

[nota del autor]