Resuélvase la ecuación matricial $A\,X+B=C$, siendo ...

Enunciado:
Resuélvase la ecuación matricial $A\,X+B=C$, siendo:

$A=\begin{pmatrix} -1&2 &1 \\ 0&2 &0 \\ -2&1 &1 \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 1&4 &4 \\ -1&-1 &-1 \\ 7&1 &0 \end{pmatrix}$

$C=\begin{pmatrix} 0&0 &5 \\ 1&-2 &1 \\ -2&1 &-3 \end{pmatrix}$

Resolución:

$A\,X+B=C$
$A\,X+B-B=C-B$   ( restando $B$ a cada miembro )
$A\,X+O=C-B$   ( $O$ es la matriz nula )
$A\,X=C-B$
$A^{-1}\,A\,X=A^{-1}\,(C-B)$   ( multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda en cada miembro de la igualdad )
$I \, X = A^{-1}\,(C-B)$   ( $I$ es la matriz identidad )
$I \, X = A^{-1}\,(C-B)$
$X = A^{-1}\,(C-B)$     (1)

Calculamos $A^{-1}$ empleando el método de Gauss-Jordan, que consiste en transformar $(A|I)$ en $(I|A^{-1})$ mediante operaciones elementales por filas:

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \overset{-2\,f_1+f_3 \rightarrow f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -3 & -1 & -2 & 0 & 1\\ \end{array}\right)$


$\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -3 & -1 & -2 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \overset{\frac{3}{2}\,f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\ \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\ \end{array}\right) \overset{1 \cdot f_3+f_1 \rightarrow f_1}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 2 & 0 & -1 & \dfrac{3}{2} & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\ \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 2 & 0 & -1 & \dfrac{3}{2} & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\ \end{array}\right) \overset{(-1) \cdot f_2+f_1 \rightarrow f_1}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 0 & 0 & -1 & \dfrac{1}{2} & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\ \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 0 & 0 & -1 & \dfrac{1}{2} & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & -2 & \dfrac{3}{2} & 1\\ \end{array}\right) \overset{(-1) \cdot f_1 \rightarrow f_1; \quad \frac{1}{2} \cdot f_2 \rightarrow f_2; \quad (-1) \cdot f_3 \rightarrow f_3}{\rightarrow}$

$\rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -\dfrac{1}{2} & -1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \dfrac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -\dfrac{3}{2} & -1\\ \end{array}\right) \Rightarrow A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -\dfrac{1}{2} & -1\\ 0 & \dfrac{1}{2} & 0\\ 2 & -\dfrac{3}{2} & -1\\ \end{array}\right)$

Por lo tanto, de (1):

$(X)_{3 \times 3}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -\dfrac{1}{2} & -1\\ 0 & \dfrac{1}{2} & 0\\ 2 & -\dfrac{3}{2} & -1\\ \end{array}\right)\, \left( \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 5\\ 1 & -2 & 1\\ -2 & 1 & -3\\ \end{array}\right) - \left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 4\\ -1 & -1 & -1\\ 7 & 1 & 0\\ \end{array}\right) \right)$
  $= \left(\begin{array}{ccc} 1 & -\dfrac{1}{2} & -1\\ 0 & \dfrac{1}{2} & 0\\ 2 & -\dfrac{3}{2} & -1\\ \end{array}\right)\, \left(\begin{array}{ccc} -1 & -4 & 1\\ 2 & -1 & 2\\ -9 & 0 & -3\\ \end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc} 7 & -\dfrac{7}{2} & 3\\ 1 & -\dfrac{1}{2} & 1\\ 4 & -\dfrac{13}{2} & 2\\ \end{array}\right)$

$\square$

[nota del autor]