La ciudad $A$ tiene el triple de habitantes ( adultos ) que la ciudad $B$, pero la proporción de universitarios en la ciudad $B$ es el doble que en la ciudad $A$. Sabiendo que la proporción de universitarios es del $10\,\%$, se pide: a) ¿ Cuál es la probabilidad de que eligiendo al azar un habitante del conjunto de las dos ciudades resulte ser universitario ? b) Sabiendo que el habitante elegido al azar entre el conjunto de habitantes de ambas ciudades resulta ser universitario, ¿ cuál es la probabilidad de que sea un habitante de la ciudad $A$ ? ¿ Cuál es la probabilidad de que sea de la ciudad $B$ ? ¿ En qué ciudad hay más universitarios ?.

Enunciado:
La ciudad $A$ tiene el triple de habitantes ( adultos ) que la ciudad $B$, pero la proporción de universitarios en la ciudad $B$ es el doble que en la ciudad $A$. Sabiendo que la proporción de universitarios es del $10\,\%$, se pide:

a) ¿ Cuál es la probabilidad de que eligiendo al azar un habitante del conjunto de las dos ciudades resulte ser universitario ?

b) Sabiendo que el habitante elegido al azar entre el conjunto de habitantes de ambas ciudades resulta ser universitario, ¿ cuál es la probabilidad de que sea un habitante de la ciudad $A$ ? ¿ Cuál es la probabilidad de que sea de la ciudad $B$ ? ¿ En qué ciudad hay más universitarios ?.

Solución:

Denominamos $A$ al suceso "elegir, al azar, una persona de la ciudad A"; $B$, al suceso "elegir, al azar, una persona de la ciudad B; $U$, al suceso "elegir, al azar, una persona universitaria". Entonces; $a$ al número de habitantes de la ciudad A, y $b$ al número de habitantes de la ciudad B.

Entonces, como $\dfrac{a}{b}=3$, $a=3\,b$, y, por tanto, $P(A):=\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{3\,b}{3\,b+b}=\dfrac{3\,b}{4\,b}=\dfrac{3}{4}$, con lo cual $P(B)=1-P(A)=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}$

a)
Por el Teorema de la Probabilidad Total: $P(U)=P(U|A)\,P(A)+P(U|B)\,P(B)$, y, teniendo en cuenta ( enunciado ) que $P(U|A)=\dfrac{1}{10}$ y que, por tanto, $P(U|B)=2\,P(U|A)=2\cdot \dfrac{1}{10}=\dfrac{2}{10}$, obtenemos $P(U)=\dfrac{1}{10}\cdot \dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{10}\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$

b)
Por el Teorema de Bayes:
$P(A|U)=\dfrac{P(U|A)\,P(A)}{P(U)}=\dfrac{(1/10)\cdot(3/4)}{1/8}=\dfrac{3\cdot 8}{40}=\dfrac{3}{5}$
$P(B|U)=\dfrac{P(U|B)\,P(B)}{P(U)}=\dfrac{(2/10)\cdot(1/4)}{1/8}=\dfrac{2\cdot 8}{40}=\dfrac{2}{5}$

Y, como $P(A|U) \succ P(B|U)$, se desprende de ello que el número de universitarios es mayor en la ciudad A que en la ciudad B.

$\square$

[nota del autor]