Sea la función $f(x)=x^4-13\,x^2+36$. Se pide: ...

Enunciado:
Sea la función $f(x)=x^4-13\,x^2+36$. Se pide:
  a) Analizar y representar gráficamente dicha función
  b) Calcular la integral $\displaystyle \int_{-3}^{3}\,f(x)\,dx$
  c) Calcular el área de la región del plano comprendida entre la curva dada por $f(x)$ y el eje $Ox$, entre las abscisas $-3$ y $3$

Solución:
a)
La función $f(x)=x^4-13\,x^2+36$ es un polinomio, por lo que su dominio de definición, de continuidad y de derivabilidad es $D_f=\mathbb{R}$. Al tratarse de un polinomio, no tiene asíntotas.

Veamos si la función $f(x)$ tiene raíces: $\{x \in D_f:\,f(x)=0\}$. Imponiendo la condición $f(x)=0$ encontramos $x^4-13\,x^2+36=0$. Al tratarse de una ecuación polinómica de grado $4$ puede haber, a lo sumo, cuatro soluciones distintas; y, por ser un polinomio sin términos de grado impar, reconocemos en dicha ecuación la forma bicuadrada, con lo cual resulta muy sencillo encontrarlas: haciendo el cambio $t=x^2$ y resolviendo la ecuación cuadrática en $t$ a la que se llega encontramos que los valores que puede tomar dicha variable son $4$ y $9$, por lo que, para acabar, deshaciendo el cambio ( $x=\sqrt{t}$ ), se llega a las siguientes cuatro soluciones de la ecuación ( que son las raíces de $f(x)$ ): $\{-3,\,\,-2\,,\,2\,,\,3\}$, con lo cual la función $f(x)$ corta al eje de abscisas en los siguientes puntos: $A(-3\,,\,0)$, $B(-2\,,\,0)$, $C(2\,,\,0)$ y $D(3\,,\,0)$

Punto de corte con el eje de ordenadas: $E(0\,,\,f(0))$, siendo $f(0)=0^4-13\,0^2+36=36$

La función dada es par, ya que $f(x)=f(-x) \; \forall x \in \mathbb{R}$ ( la curva es simétrica respecto del eje de ordenadas )

Abscisas de los extremos relativos ( máximos y mínimos locales ): $\{x \in D_f:\,f'(x)=0$. Imponiendo la condición encontramos $f'(0)=0 \Leftrightarrow 4\,x^3-26\,x=0 \Leftrightarrow 2\,x (2\,x^2-13)=0$ luego $x$ toma los siguientes valores $\{ -|\sqrt{\frac{13}{2}}|\,,0\,,\,|\sqrt{\frac{13}{2}}|\}$, luego obtenemos los siguientes puntos estacionarios en el trazo ( curva ) de $f(x)$: $M_{1}\big(-|\sqrt{\frac{13}{2}}|\,,\,f(-|\sqrt{\frac{13}{2}}|)\big)$, $M_{2}\big(0\,,\,f(0)\big)$ y $M_{3}\big(|\sqrt{\frac{13}{2}}|\,,\,f(|\sqrt{\frac{13}{2}}|)\big)$

Investiguemos, ahora, la naturaleza de dichos extremos relativos. Para ello utilizaremos el criterio del signo de la segunda derivada en dichos puntos, al ser muy fácil calcular la derivada de las funciones polinómicas; como $f'(x)=4\,x^3-26\,x$, derivando otra vez encontramos $f''(x)=12\,x^2-26$. Entonces, al ser $f''(-|\sqrt{\frac{13}{2}}|) \succ 0$ y $f''(|\sqrt{\frac{13}{2}}|)\succ 0$, se desprende de ello que $M_1$ y $M_3$ son mínimos relativos ( la función es convexa en dichos puntos ); y, como $f''(0) \prec 0$, la función presenta un máximo relativo en $M_2$ ( la abscisa de dicho máximo coincide con la ordenada en el origen y, por tanto, dicho punto es también el punto de corte con el eje de ordenadas ).

Intervalos de decrecimiento (hay dos): $(-\infty\,,\,-|\sqrt{\frac{13}{2}}|$ y $(0\,,\,|\sqrt{\frac{13}{2}}|)$
Intervalos de crecimiento ( hay dos ): $( -|\sqrt{\frac{13}{2}}|\,,\,0)$ y $( |\sqrt{\frac{13}{2}}|\,,\,+\infty)$

Abscisas de los puntos de inflexión: $\{x \in D_f:\,f''(x)=0$. Imponiendo la condición, $f''(0)=0 \Leftrightarrow 12\,x^2-26=0$, luego $x$ toma los siguientes valores $\{-|\sqrt{\frac{13}{6}}|\,,\,|\sqrt{\frac{13}{6}}|\}$, luego hay dos puntos de inflexión cuyas coordenadas son $I_{1}(-|\sqrt{\frac{13}{6}}|\,,\,f(-|\sqrt{\frac{13}{6}}|)$ y $I_{2}(|\sqrt{\frac{13}{6}}|\,,\,f(|\sqrt{\frac{13}{6}}|)$

Comportamiento de la función en el infinito: $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f(x)=+\infty$

Intervalos de convexidad ( hay dos ): $(-\infty\,,\,-|\sqrt{\frac{13}{6}}|$ y $(|\sqrt{\frac{13}{6}}|\,,\,+\infty)$
Intervalo de concavidad (sólo hay uno): $(-|\sqrt{\frac{13}{6}}|\,,\,|\sqrt{\frac{13}{6}}|)$

Representación gráfica de la función. Reuniendo todas esas piezas de información podemos dibujar la siguiente curva

b)
Integral definida entre $x=-3$ y $x=3$: $\displaystyle \int_{-3}^{3} ( x^4-13\,x^2+36 ) \, dx \underset{\text{función par}}{=} 2\, \int_{0}^{3} ( x^4-13\,x^2+36 ) \, dx$. Por el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, la familia de primitivas de la función del integrando es $\dfrac{1}{5}\,x^5-\dfrac{13}{3}\,x^3+36\,x+C$ ( donde $C$ es una constante arbitaria o constante de integración), y, por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( Newton-Leibniz ) o regla de Barrow, obtenemos
  $\displaystyle \int_{0}^{3} ( x^4-13\,x^2+36 ) \, dx =$
    $=\left[ \dfrac{1}{5}\,x^5-\dfrac{13}{3}\,x^3+36\,x \right]_{0}^{3}$
      $=\big(\dfrac{1}{5}\,3^5-\dfrac{13}{3}\,3^3+36\cdot 3 \big)-\big(\dfrac{1}{5}\,0^5-\dfrac{13}{3}\,0^3+36\cdot 0 \big)=\dfrac{198}{5}$
luego
$$\displaystyle \int_{-3}^{3} ( x^4-13\,x^2+36 ) \, dx = 2 \cdot \dfrac{198}{5} = \dfrac{396}{5}$$


c) Área de la región del plano comprendida entre el trazo de la función y el eje de abscisas; entre los puntos de abscisas $x=-3$ y $x=3$.

Cuidado:   No debemos confundir el valor de la integral definida que acabamos de calcular con el área de la región del plano ( magnitud púramente geométrica y, por tanto, en cualquier caso, positiva ), ya que algunas partes de la integral definida en su dominio de integración podrían dar contribuciones negativas y, por consiguiente, dichas parte -- en este caso las hay -- deben ser sumadas en valor absoluto. Hacer hincapié en este importante matiz es lo que se persigue en esta última pregunta.

Dicho ésto, volvemos a tener en cuenta que la función del integrando, $f(x)$, es par, el dominio de integración es simétrico, así que nos conviene -- con el fin de economizar operaciones de cálculo -- obtener el área de una de las dos mitades para, al final, multiplicar por dos.

El área de una de las dos mitades, pongamos que la de la derecha ( comprendida en el primer y cuarto cuadrantes ), la obtenemos calculando la contribución de las dos subregiones delimitadas por la raiz $x=2$, esto es, entre $0$ y $2$ por una parte y entre $2$ y $3$ para acabar; para ello, sumamos en valor absoluto las dos partes de la integral definida ( ver, para más claridad, la figura de abajo ).

Así, pues, podemos escribir:
$$\displaystyle \text{Área}=2 \, \bigg( \left| \int_{0}^{2}\,f(x)\,dx \right| + \left| \int_{2}^{3}\,f(x)\,dx \right| \bigg)$$

y como la mitad del área pedida es
$\displaystyle \left| \big(\dfrac{1}{5}\,2^5-\dfrac{13}{3}\,2^3+36\cdot 2 \big)-\big(\dfrac{1}{5}\,0^5-\dfrac{13}{3}\,0^3+36\cdot 0 \big) \right| + $
    $\displaystyle + \left| \big(\dfrac{1}{5}\,3^5-\dfrac{13}{3}\,3^3+36\cdot 3 \big)-\big(\dfrac{1}{5}\,2^5-\dfrac{13}{3}\,2^3+36\cdot 2 \big) \right| = \dfrac{718}{15} $
el área completa es
$$\text{Área}=2 \, \big( \dfrac{718}{15} \big)=\dfrac{1436}{15} \, \text{unidades arbitrarias de área}$$

$\square$

[nota del autor]