Tres amigos trabajan un cierto número de horas diarias en una empresa que se dedica a repartir propaganda. Debido tanto a la antigüedad como al número de horas diarias que trabajan, tienen saliros diferentes. Sabemos que: por cada día trabajado, los tres juntos ganan $490$ euros; por $6$ días del primero, $4$ del segundo y $6$ del tercero, obtienen un total de $486$ euros, y, por $5$ días primero, $2$ del segundo y $2$ del tercero, cobran en total $306$ euros. ¿ Cuánto cobra al día cada uno ?.

Enunciado:
Tres amigos trabajan un cierto número de horas diarias en una empresa que se dedica a repartir propaganda. Debido tanto a la antigüedad como al número de horas diarias que trabajan, tienen saliros diferentes. Sabemos que: por cada día trabajado, los tres juntos ganan $490$ euros; por $6$ días del primero, $4$ del segundo y $6$ del tercero, obtienen un total de $486$ euros, y, por $5$ días primero, $2$ del segundo y $2$ del tercero, cobran en total $306$ euros. ¿ Cuánto cobra al día cada uno ?.

Resolución:
Denotemos por $x$ el salario diario del primero; por $y$, el del segundo, y por $z$ el del tercero. Entonces, de acuerdo con la información del enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que iremos reduciendo por Gauss ( obteniendo sistemas equivalentes, hasta llegar a un sistema escalonado ):

$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
6x &+ &4y&+&6z&=&486 \\
5x &+ &2y&+&2z&=&306 \\
\end{matrix}\right.

\overset{\frac{1}{2}\,e_2 \rightarrow e_2}{\sim}

\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
3x &+ &2y&+&3z&=&243 \\
5x &+ &2y&+&2z&=&306 \\
\end{matrix}\right.
$

$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
3x &+ &2y&+&3z&=&243 \\
5x &+ &2y&+&2z&=&306 \\
\end{matrix}\right.

\overset{e_2-3\,e_1 \rightarrow e_2; \quad e_3-5\,e_1 \rightarrow e_3}{\sim}$

$
\sim \left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
& &y&&&=&27 \\
& &3y&+&3z&=&144 \\
\end{matrix}\right.

\sim

\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
& &y&&&=&27 \\
& &y&+&z&=&48 \\
\end{matrix}\right.
\sim
$

$\overset{e_3-e_1 \rightarrow e_3}{\sim}

\left\{\begin{matrix}
x &+ &y&+&z&=&90 \\
& &y&&&=&27 \\
& &&&z&=&21 \\
\end{matrix}\right.
$

y sustituyendo $z=21$ e $y=27$ en la primera ecuación obtenemos finalmente un sistema equivalente de rango $3$, que es igual al número de incógnitas, y, por tanto, según el Teorema de Rouché-Frobenius, es compatible determinado, con la siguiente solución:

$\left\{\begin{matrix}
x & &&&&=&42 \\
& &y&&&=&27 \\
& &&&z&=&21 \\
\end{matrix}\right.
$

$\square$

[nota del autor]