Tres amigos trabajan un cierto número de horas diarias en una empresa que se dedica a repartir propaganda. Debido tanto a la antigüedad como al número de horas diarias que trabajan, tienen saliros diferentes. Sabemos que: por cada día trabajado, los tres juntos ganan $490$ euros; por $6$ días del primero, $4$ del segundo y $6$ del tercero, obtienen un total de $486$ euros, y, por $5$ días primero, $2$ del segundo y $2$ del tercero, cobran en total $306$ euros. ¿ Cuánto cobra al día cada uno ?.

Enunciado:
Tres amigos trabajan un cierto número de horas diarias en una empresa que se dedica a repartir propaganda. Debido tanto a la antigüedad como al número de horas diarias que trabajan, tienen saliros diferentes. Sabemos que: por cada día trabajado, los tres juntos ganan $490$ euros; por $6$ días del primero, $4$ del segundo y $6$ del tercero, obtienen un total de $486$ euros, y, por $5$ días primero, $2$ del segundo y $2$ del tercero, cobran en total $306$ euros. ¿ Cuánto cobra al día cada uno ?.

Resolución:
Denotemos por $x$ el salario diario del primero; por $y$, el del segundo, y por $z$ el del tercero. Entonces, de acuerdo con la información del enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que iremos reduciendo por Gauss ( obteniendo sistemas equivalentes, hasta llegar a un sistema escalonado ):

$\left\{\begin{matrix} x &+ &y&+&z&=&90 \\ 6x &+ &4y&+&6z&=&486 \\ 5x &+ &2y&+&2z&=&306 \\ \end{matrix}\right. \overset{\frac{1}{2}\,e_2 \rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix} x &+ &y&+&z&=&90 \\ 3x &+ &2y&+&3z&=&243 \\ 5x &+ &2y&+&2z&=&306 \\ \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x &+ &y&+&z&=&90 \\ 3x &+ &2y&+&3z&=&243 \\ 5x &+ &2y&+&2z&=&306 \\ \end{matrix}\right. \overset{e_2-3\,e_1 \rightarrow e_2; \quad e_3-5\,e_1 \rightarrow e_3}{\sim}$

$\sim \left\{\begin{matrix} x &+ &y&+&z&=&90 \\ & &y&&&=&27 \\ & &3y&+&3z&=&144 \\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix} x &+ &y&+&z&=&90 \\ & &y&&&=&27 \\ & &y&+&z&=&48 \\ \end{matrix}\right. \sim$

$\overset{e_3-e_1 \rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix} x &+ &y&+&z&=&90 \\ & &y&&&=&27 \\ & &&&z&=&21 \\ \end{matrix}\right.$

y sustituyendo $z=21$ e $y=27$ en la primera ecuación obtenemos finalmente un sistema equivalente de rango $3$, que es igual al número de incógnitas, y, por tanto, según el Teorema de Rouché-Frobenius, es compatible determinado, con la siguiente solución:

$\left\{\begin{matrix} x & &&&&=&42 \\ & &y&&&=&27 \\ & &&&z&=&21 \\ \end{matrix}\right.$

$\square$

[nota del autor]