Sea la función $f(x)=x$. Se pide: a) Una función primitiva de $f(x)$ y la familia de funciones primitivas de $f(x)$, esto es, resolver la integral indefinida de $f(x)$ b) Hallar la integral definida de $f(x)$ entre $x=-1$ y $x=1$ c) Calcular el valor del área comprendida entre el trazo de la función $f(x)$, el eje $Ox$ y la rectas perpendiculares al mismo que pasan por los puntos de coordenadas $(-1,0)$ y $(1,0)$

Enunciado:
Sea la función $f(x)=x$. Se pide:
  a) Una función primitiva de $f(x)$ y la familia de funciones primitivas de $f(x)$, esto es, resolver la integral indefinida de $f(x)$
  b) Hallar la integral definida de $f(x)$ entre $x=-1$ y $x=1$
  c) Calcular el valor del área comprendida entre el trazo de la función $f(x)$, el eje $Ox$ y la rectas perpendiculares al mismo que pasan por los puntos de coordenadas $(-1,0)$ y $(1,0)$

Resolución:
a)
Una función primitiva de $f(x)$ es $F(x)=\dfrac{1}{2}\,x^2$, luego la familia de primitivas de $f(x)$ es $\dfrac{1}{2}\,x^2+C$, siendo $C$ una constante arbitraria llamada constante de integración, pues según el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, $F(x)$ ha de ser tal que $(F(x)+C)'=F'(x)+(C)'=F'(x)+0=f(x)$; en nuestro caso, $(\dfrac{1}{2}\,x^2+C)'=x$. Otra manera de expresar lo mismo es $\int x\,dx=\dfrac{1}{2}\,x^2+C$, resultado que también suele denominarse integral indefinida de $f(x)$.

b)
La integral definida es un número real, y se define como el resultado de aplicar el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo o Teorema de Newton-Leibiniz ( también llamado regla de Barrow ):
$\displaystyle \int_{-1}^{1}\,x\,dx=F(1)-F(-1)=\dfrac{1}{2}\,1^2-\dfrac{1}{2}\,(-1)^2=\dfrac{1}{2}\,(1-1)=0$

c)
El área comprendida entre el trazo ( curva ) de la función y el eje de abscisas no siempre coincide con el valor de la integral definida cuyo significado va más allá que el del área geométrica stricto sensu ( el valor de la integral definida, según la naturaleza del modelo funcional, puede corresponder diversas magnitudes: una probabilidad, una energía, la longitud de camino recorrida, etcétera), aunque la noción de área bajo la curva da nombre al problema de la integral definida y por tanto el cálculo del área geométrica utiliza la noción de integral definida.

Para obtener el valor del área ( geométrica ), a partir de la integral definida, ocurre que, a veces, falta arreglar la suma de los términos de los que se compone el resultado de la integral definida para determinar, a partir de dicho resultado, el valor del área, pues es necesario convertir los términos negativos del resultado en positivos ( el área geométrica es, además, por definición, una magnitud positiva ); en efecto, eso ocurre cuando la función toma valores positivos y negativos en el conjunto del dominio de integración. En particular, si la función es impar y el dominio de integración es simétrico, que es el caso del ejercicio, la integral definida resulta ser igual a cero como acabamos de ver en el apartado anterior; ahora bien, el área pedida no es cero ( ver figura ); para que ello se refleje en el cálculo, procederemos a sumar en valor absoluto los sumandos ( o términos ) negativos a los positivos en el resultado de la integral definida, es decir
$\displaystyle \text{Área bajo la curva}=|\int_{-1}^{0}\,x\,dx|+|\int_{0}^{1}\,x\,dx|=|-\dfrac{1}{2}|+|\dfrac{1}{2}|$
      $=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$ unidades arbitrarias de área

En el caso que nos ocupa - insistimos en ese punto - por ser $f(x)=x$ una función impar ( $f(-x)=-f(x); \forall x \in D_f$ ) y el dominio de integración simétrico ( esto es, siendo el límite inferior igual a $-1$ y límite superior igual a $1$ ), podemos escribir dicha suma de términos positivos, o sea, el área, de la forma $\text{Área}=2\,\displaystyle \int_{0}^{1}\,x\,dx=2\,(\dfrac{1}{2}\,1^2-\dfrac{1}{2}\,0^2)=2\,(\dfrac{1}{2}\,(1-0))$
      $=2\cdot \dfrac{1}{2} = 1$ unidades arbitrarias de área

Observación:   Notemos, además, que en este caso, ni siquiera hace falta utilizar el concepto de integral definida para determinar el área pedida, pues, dicha área se puede calcular, simplemente, con la fórmula del área del triángulo, tal como se comenta en el rótulo de la figura.

$\square$

[nota del autor]