Teoremas de continuidad

Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 14 al 20 de diciembre

Un problema de programación lineal ( EvAU, Madrid, septiembre de 2020 )

ENUNCIADO. Un vivero elabora dos tipos de sustratos. Para elaborar 1 metro cúbico del tipo A necesita 60 kg de tierra vegetal y 30 horas de trabajo. Para elaborar 1 metro cúbico del tipo B necesita 50 kg de tierra vegetal y 50 horas de trabajo. El vivero dispone como máximo de 21000 kg de tierra vegetal y 15000 horas de trabajo. Además, la cantidad de metros cúbicos que elabora de tipo A debe ser como mucho cinco veces la cantidad de tipo B. Por la venta de cada metro cúbico de tipo A obtiene un beneficio de 50 euros y 60 euros por cada metro cúbico de tipo B.

a) Represente la región del plano determinada por las restricciones anteriores y determine las coordenadas de sus vértices.

b) Determine cuántos metros cúbicos de cada tipo deben elaborarse para, respetando las restricciones anteriores, maximizar el beneficio. Obtenga el valor del beneficio máximo.



SOLUCIÓN. Denotemos por $a$ la cantidad ( en metros cúbicos ) de sustrato de tipo A, y por $b$ la cantidad ( en metros cúbicos ) de sustrato B. Entonces, según el enunciado el sistema de restricciones es $$\left\{\begin{matrix}60a+50b \le 21\,000 \\ 30a + 50b \le 15\,000 \\ a \le 5b \\ a \ge 0 \\ b \ge 0 \end{matrix}\right.$$ Por otra parte, la función objetivo es $$f(a,b)=50a+60b$$
Como ejercicio, a ver si podéis terminarlo vosotras.

Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 7 al 13 de diciembre

Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 30 de noviembre al 6 de diciembre

Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 23 al 29 de noviembre

Ejemplo de cálculo de la solución de un sistema compatible determinado empleando el método de la matriz inversa

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}x&+&2y&+&z&=&1 \\ x&+&2y&+&3z&=&0 \\ x&+&y&+&2z&=&0\end{matrix}\right.$$ a) Escríbase dicho sistema en forma matricial, y, sin resolverlo, demuéstrese que se trata de un sistema compatible determinado
b) Resuélvase mediante el método de la matriz inversa.

SOLUCIÓN.
a)
$$\begin{pmatrix}1&2&1\\ 1& 2 & 3 \\ 1&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix}$$ que puede abreviarse de la forma $$AX=B \quad (1)$$ siendo $A$ la matriz de los coeficientes del sistema, $X$ la matriz columna con las incógnitas, y $B$ la matriz columna de los términos independientes.

Como $\text{det}(A)=2 \neq 0$, el rango de $A$ es $3$ y el rango de la matriz de los coeficientes ampliada con la columna de los términos independientes es también $3$ ya que contiene como submatriz a la matriz de los coeficientes $A$. Además, este rango común, $r=3$ es igual al número de incógnitas. Así pues, por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado.

b)
Como el rango de la matriz de los coeficientes $A$ es $3$, que es igual al orden de la matriz, dicha matriz $A$ es regular ( inversible ), luego tiene inversa. Por consiguiente, de (1), podemos calcular la matriz de las incógnitas, multiplicando por la matriz inversa por la izquierda en ambos miembros:
$AX=B$
  $A^{-1}\,AX=A^{-1}\,B$
    $I\,X=A^{-1}\,B$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $3$, con lo cual:
      $X=A^{-1}\,B \quad (2)$


El cálculo de la matriz inversa de $A$ puede realizarse a partir del método de Gauss-Jordan o bien a partir del método de la matriz de los elementos adjuntos ( cofactores ). Omito este cálculo rutinario. El resultado es: $$A^{-1}=\begin{pmatrix}1/2&-3/2&2\\ 1/2& 1/2 & -1 \\ -1/2&1/2&0\end{pmatrix}$$
Así, de (2), llegamos a: $$\begin{pmatrix}x\\y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2&-3/2&2\\ 1/2& 1/2 & -1 \\ -1/2&1/2&0\end{pmatrix}$$ esto es $$\begin{pmatrix}x\\y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2\\1/2 \\ -1/2\end{pmatrix}$$ $\square$

Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 16 al 22 de noviembre

CORRECCIÓN DE UN ERROR DE DICCIÓN EN EL VÍDEO: En el instante 4:18, donde digo "(...) si tengo que utilizar la segunda columna no lo voy a conseguir (...)", quería decir "(...) si tengo que utilizar la segunda fila no lo voy a conseguir (...)".

A continuación, podéis ver una variante de resolución que me parece bastante interesante:

Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones ...

ENUNCIADO. Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 metros cúbicos y un espacio no refrigerado de 40 metros cúbicos. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado ( la capacidad de cada camión es de 60 metros cúbicos ). La contratan para el transporte de $3\,000$ metros cúbicos de producto que necesita refrigeración y $4\,000$ metros cúbicos de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo ?.


SOLUCIÓN.

Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 9 al 15 de noviembre

Lista de reproducción:

Puntualizaciones y anotaciones sobre los contenidos de la semana del 2 al 8 de noviembre

Tarea de progresión número 2 de la semana del 2 al 8 de noviembre

Ejercicio 12 de la página 55 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Sabiendo que: $$\begin{vmatrix}a& b & c \\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix}=2$$ calcula el siguiene deterinante y explica las propiedades que utilices: $$\begin{vmatrix}a+2b & c & b \\ d+2e & f & e \\ g+2h & i & h\end{vmatrix}$$
SOLUCIÓN.
$$\begin{vmatrix}a+2b & c & b \\ d+2e & f & e \\ g+2h & i & h\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & c & b \\ d & f & e \\ g & i & h\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2b & c & b \\ 2e & f & e \\2h & i & h\end{vmatrix}=$$

$$=-\begin{vmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & i & h\end{vmatrix}+2\,\begin{vmatrix}b & c & b \\ e & f & e \\h & i & h\end{vmatrix}=-2+0=-2$$ $\square$


-oOo- Ejercicio 24 de la página 59 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Considera la matriz $A$ que dependen de un parámetro $a$: $$A=\begin{pmatrix}a^2 & a & 1 \\ 2a & a+1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ a) ¿ Para qué valores de $a$ tiene $A$ inversa ? Justifica la respuesta
b) Para $a:=0$, halla la inversa de $A$
SOLUCIÓN.
a)
Para que una matriz $A$ de orden $n$ tenga matriz inversa, es condición necesaria y suficiente que su determinante sea distinto de cero. Decimos entonces que la matriz $A$ es regular ( o inversible ). Entonces, $\begin{vmatrix}a^2 & a & 1 \\ 2a & a+1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(a-1)^3=0 \Leftrightarrow a=1$. Por consiguiente, $A$ tiene inversa si y sólo si $a\neq 1$.
b) Para $a:=0$, $A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, y se puede comprobar ( por el método de Gauss-Jordan, o bien por el de la matriz de los cofactores ) que la matriz inversa asociada es $A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\square$


-oOo- Ejercicio 35 de la página 63 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula el rango de la matriz $A$ según los diferentes valores del parámetro $a$: $$A=\begin{pmatrix}2 & 0 & a & 2\\ -1&0&-1&3\\ 5 & a+4& -4 & -3\end{pmatrix}$$ SOLUCIÓN.



-oOo- Ejercicio 50 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Dado el siguiente sistema: $$\left\{\begin{matrix}x&&&+&z&=&1 \\ &&y&+&(a+1)\,z&=&0 \\ x&+&(a-1)\,y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right.$$ a) Discute el sistema según los valores del parámetro de $a$
b) Resuelve el sistema en todos los casos de compatibilidad.

SOLUCIÓN.


-oOo-

EL PROBLEMA DE LA SEMANA del 2 al 8 de noviembre

Ejercicio 46 de la página 108 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una tienda de alimentación quiere ofrecer dos clases de bandejas: A y B. La bandeja A contiene $40$ gramos de queso manchego, $160$ gramos de roquefort y $80$ gramos de camembert; la bandeja B contiene $120$ gramos de cada uno de los tres tipos de queso anteriores. Para confeccionarlas disponen del $10,4$ kiglograms de queso manchego, $17,6$ kilogramos de roquefort y $11,2$ kilogramos de camembert.

El precio de venta es de $5,8$ euros la bandja A y de $7,32$ euros la bandeja B. El comerciante desea maximizar los ingresos.
a) Expresa la función objetivo.
b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y represnta gráficamente el recinto definido ( región factible ). c) Determina el número de bandejas que debe vender de cada clase para que los ingresos obtenidos sean máximos. Calcula el valor de dicho máximo de ingresos.



-oOo-

Tarea de progresión número 1 de la semana del 2 al 8 de noviembre

Ejercicio 53 de la página 26 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un $4\,\%$ en un cierto producto A, un $6\,\%$ en el producto B y un $5\,\%$ en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta, descontando un $8\,\%$ sobre el precio inicial de $A$, un $10\,\%$ sobre el precio inicial de B y un $6\,\%$ sobre el precio inicial de C.

Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos B y tres C, se ahorra $16$ euros respecto del precio inicial; si compra en la segunda oferta tres productos A, uno B y cinco C, al ahorro es de $29$ euros; y si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar $135$ euros.

Calcula el precio de cada producto antes de las ofertas.

SOLUCIÓN.
Denotando por $a,b$ y $c$ los precios de los tres productos, y de acuerdo con la información del enunciado, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}a+b+c=135 \\ \dfrac{4}{100}\,a+\dfrac{6}{100}\cdot 2\,b+\dfrac{5}{100}\cdot 3 \,c=16 \\ \dfrac{8}{100}\cdot 3\,a+\dfrac{10}{100}\,b+\dfrac{6}{100}\cdot 5\,c=29\end{matrix}\right.$$ que es equivalente a $$\left\{\begin{matrix}a+b+c=135 \\ 4a+12b+15c=1\,600 \\ 24a+10b+30c=2\,900\end{matrix}\right.$$ y reduciéndolo por Gauss se obtiene ( fácilmente ): $c=60$ euros, $b=50$ euros y $a=25$ euros.$\square$

-oOo- Ejercicio 86 de la página 29 del libro de texto base
ENUNCIADO.
En un teatro hay localidades de tres clases, A, B y C, cuyos precios son $3$ euros, $6$ euros y $12$ euros, respectivamente. Cierto día, la recaudación total fue de $6\,600$ euros. Si se sabe, además, que de la clase A se vendieron tantas localidades como de las clases B y C juntas, y que de la B se vendió el doble que de la C, ¿ cuántas localidades de cada clase se vendieron ese día ?.

SOLUCIÓN.
Denotemos por $a,b$ y $c$ al número de localidades vendidas de cada uno de los tres tipos ( respectivamente, A, B y C ). Entonces, según el enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}a+b+c=6\,600 \\ a= b+c \\ b=2c \end{matrix}\right.$$ De la terecera ecuación y la segunda ecuación vemos que $a=3c$, y sustituyendo en la primera llegamos a: $3c+2c+c=6\,600$, así $6\,c=6\,600 \Rightarrow c = 1\,100$ localidades de tipo C. Por consiguiente, $b=2\cdot 1\,100=2\,200$ localidades de tipo B, y $a=3\cdot 1\,100 = 3\,300$ localidades de tipo A. $\square$

-oOo- Ejercicio 24 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un constructor puede adquirir ladrillos ( L ), tejas (T), madera ( M ) y cemento (C ) de tres proveedores: P, Q y R. Los precios de cada proveedor por paquete de materiales vienen dados en miles de euros por los elementos de la matriz $$\begin{pmatrix}8 & 13 & 6 & 6 \\ 6 & 12 & 7 & 8 \\ 7 & 14 & 6 & 7\end{pmatrix}$$ El constructor tiene que comenzar tres obras. Necesita los siguientes paquetes:
a) Primera obra: $24$ de L, $5$ de T, $12$ de M y $18$ de C.
b) Segunda obra: $20$ de L, $7$ de T, $15$ de M y $20$ de C.
a) Tercera obra: $20$ de L, $4$ de T, $15$ de M y $15$ de C.
El constructor quiere adquirir todos los materiales de cada obra al mismo proveedor. ¿ Qué proveedor es el más económico ?.
SOLUCIÓN.


-oOo- Ejercicio 47 de la página 45 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema matricial: $$\left\{\begin{matrix}2A+3B=\begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix} \\ \\ \\ A-3B=\begin{pmatrix}-18&8\\-5&-25\\-8&11\end{pmatrix}\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Sumando miembro a miembro la primera ecuación y la segunda ecuación, $$3A= \begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-18&8\\-5&-25\\-8&11\end{pmatrix}$$ y por tanto $$3A= \begin{pmatrix}-18&6\\-6&-12\\3&-3\end{pmatrix} \Rightarrow A=\dfrac{1}{3}\,\begin{pmatrix}-18&6\\-6&-12\\3&-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-6&2\\-2&-4\\1&1\end{pmatrix} $$ Ahora, de la primera ecuación, $$3B=\begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix}-2A$$ esto es $$3B=\begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix}-2\,\begin{pmatrix}-6&2\\-2&-4\\1&1\end{pmatrix}$$ y por tanto, $$B=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix}-\dfrac{2}{3}\,\begin{pmatrix}-6&2\\-2&-4\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\1&7\\3&4\end{pmatrix}$$ $\square$


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El Problema de la Semana del 26 de octubre al 1 de noviembre

Solamente puedes enviar el trabajo realizado en la opción que hayas elegido.


OPCIÓN 1.
Ejercicio 51 de la página 109 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una agencia de viajes vende paquetes turísticos para acudir a la final de un campionato de fútbol. La agencia está considerando ofrecer dos tipos de viajes. El primero de ellos, A, incluye desplazamiento en autocar para dos personas, una noche de alojamiento en habitación doble y cuatro comidas. El segundo, B, incluye desplazamiento en autocar para una persona, una noche de alojamiento ( en habitación doble ) y dos comidas.
El precio de venta del paquete A es de $150$ euros y el del paquete B es de $90$ euros. La agencia tiene contratadas un máximo de: $30$ plazas de autobús, $20$ habitaciones dobles y $56$ comidas. El número de paquetes del tipo B no debe superar al del tipo A. La empresa desea maximizar sus ingresos. Se pide:
a) Expresar la función objetivo.
b) Escribir mediante inecuaciones las restricciones del problema y representar gráficamente la región factible.
c) Determinar cuántos paquetes de cada tipo debe vender la agencia para que sus ingresos sean máximos. Calcular dichos ingresos.

SOLUCIÓN.

Denominemos $a$ al número de paquetes de tipo A, y $b$ al número de paquetes de tipo B. Entonces, la función objetivo es $f(a,b)=150\,a+90\,b$. Por lo que se refiere a la región factible, ésta viene dada por el sistema de desigualdades que podemos escribir atendiendo a los datos del enunciado resumidos en esta tabla y a las cantidades máximas de recursos.

|-------------------------------------------------------------------|
|              | plazas de autocar  | habitación doble  |  comidas  |
|-------------------------------------------------------------------|
|      A       |     2              |           1       |     4     |
|-------------------------------------------------------------------|
|      A       |     1              |           1       |     2     |
--------------------------------------------------------------------|

$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} 2a+b \le 30 \\ a+b \le 20 \\ 4a + 2b \le 56 \\ a \ge 0 \\ b \ge 0 \end{matrix}\right.$$ Eligiendo $b$ como variable dependiente y $a$ como variable independiente, podemos escribir:
$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} b &\le& -2a+30 & (1)\\ b &\le& -a + 20 &(2) \\ b& \le& -2a+28&(3)\\ b&\ge& 0&(4) \\ a &\ge& 0&(5) \end{matrix}\right.$$

Así, las ecuaciones de las rectas que contienen los lados de la región factible escritas en forma explícita son:
$$\left\{\begin{matrix} r_1\equiv b &=& -2a&+&30\\ r_2\equiv b &=&-a&+&20 \\r_3\equiv b& =&-2a&+&28\\ r_4\equiv b&=& 0 \\ r_5\equiv a &=& 0\end{matrix}\right.$$

En el siguiente gráfico se resume el estudio pedido, observando que el máximo de se obtiene para para el vértice de la región factible $A(8,12)$, por tanto el beneficio máximo es igual a $f(8,12)=150\cdot 8+90\cdot 12 = 2\,280$ euros.

$\square$



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OPCIÓN 2.
Ejercicio 45 de la página 108 del libro de texto base
ENUNCIADO.
En un cierto problema de programación lineal, la región factible es el pentágono convexo que tiene por vértices los puntos: $O(0,0$, $P(0,4)$, $Q(3/2,3)$, $R(5/2,2)$ y $S(11/4,0)$, y la función objetivo que hay que maximizar es $f(x,y)=2x+ay$, donde el parámetro $a$ es un número real positivo.
a) Dibuja la región factible.
b) Halla el vértice, o punto extremo, del contorno de la región factible en el que la función objetivo alcanza el máximo para $a=1/2$.
c) Encuentra un valor de $a$ para que el máximo se alcance en el punto $(0,4)$.
SOLUCIÓN.
a) y b)

Para $a:=1/2$, la función objetivo es $f(x,y)=2x+\dfrac{1}{2}\,y$, luego denominando por comodidad $k\overset{.}{=}f(x,y)$, podemos escribir la ecuación de la familia de rectas asociadas a dicha función objetivo: $y=-4x +2\,k$, y por tanto $k$ es máximo cuando la ordenada en el origen $2\,k$ alcanza un máximo al pasar por el vértice $R(5/2m2)$ de la región factible, cosa que se hace evidente en la gráfica.


c) Si el maximo de $f(x,y)$ se alcanza en el punto $P(0,4)$, entonces la pendiente de la recta que corta al eje de ordenadas en el punto $P(0,4)$ ha de ser igual a la pendiente de la recta que contiene al lado $[Q,R]$, que es igual a $\dfrac{4-3}{0-3-3/2}=-\dfrac{2}{3}$, y como la ecuación del haz de rectas paralelas asociada a la función objetivo tiene por ecuación $y=-\dfrac{2}{a}\,x+\dfrac{k}{a}$, vemos que la pendiente $-\dfrac{2}{a}$ ( que, desde luego es la de la recta que pasa por $P(0,4)$ ) tiene que ser igual que $-\dfrac{2}{3}$, así pues $-\dfrac{2}{a} = -\dfrac{2}{3} \Rightarrow a = 3 $
$\square$


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Tarea de progresión número 2 de la semana del 26 de octubre al 1 de noviembre

Ejercicio 39 de la página 108 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un agricultor puede sembrar trigo (en $5$ hectáreas como máximo) y centeno (en $7$ hectáreas como máximo). La producción de trigo por cada hectárea sembrada es de $5$ toneladas, mientras que la producción de centeono por cada hectárea sembrada es de $2$ toneladas, y puede producir un máximo de $29$ toneladas entre los dos cereales.

Si el beneficio que obtiene el agricultor por cada tonelada de trigo es de $290$ euros y el beneficio por cada tonelada de centeno es de $240$ euros, ¿ qué número de hectáreas ha de sembrar de cada cultivo para maximizar los beneficios ?.


SOLUCIÓN.
Denotamos por $t$ la extensión ( en hectáreas ) del cultivo de trigo, y por $c$ la extensión ( en hectáreas ) del cultivo de centeno. Según el enunciado, el sistema de restricciones que describen la región factible es $\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix}5t+2c\le 29 \\ c \ge 0\\ t\ge 0\end{matrix}\right.$ esto es ( considerenado $t$ como variable dependiente y $c$ como v. independiente ), $\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix}t\le -\dfrac{2}{5}\,c+\dfrac{29}{5} \\ c \ge 0\\ t\ge 0\end{matrix}\right.$. Por otra parte, la función objetivo, que describe los beneficios, es $f(c,t)=290\,t+240\,c$. Al representar gráficamente $\mathcal{R}$, vemos que ésta corresponde a un triángulo rectángulo de vértices $O(0,0)$, $A(0,29/5)$ y $B(29/2,0)$, y que el valor máximo de la función objetivo se alcanza con la recta de la función objetivo que pasa por $B(29/2,0)$, y es igual a $f(29/2,0)=290\cdot \dfrac{29}{2}+0=4\,205$ por tonelada de cereal. $\square$

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Ejercicio 42 de la página 108 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una empresa se dedica a la fabricación de frascos de perfume y de agua de colonia, a partir de tres factores productivos: $F_1$, $F_2$ y $F_3$.
Las unidades de dichos factores utilizadas en la producción de cada tipo de frasco se detallan en la siguiente tabla:

|--------------------------------------------|
|              | Perfume  | Agua de colonia  |
|--------------------------------------------|
|      F_1     |     1    |       2          |
|--------------------------------------------|
|      F_2     |     2    |       0          |
---------------------------------------------|
|      F_3     |     0    |       4          |
|--------------------------------------------|

Sabiendo que el precio de venta de un frasco de perfume es de $50$ euros, el de agua de colonia es de $20$ euros, y que la empresa dispone de $240$ unidades de $F_1$, $360$ de $F_2$ y $440$ de $F_3$:
a) Calcula el número de frascos de cada tipo que debe fabricar la empresa para maximizar sus beneficios. Explica los pasos seguidos para obtener la respuesta.
b) ¿ Se cosumen todas las existencias de $F_1, F_2$ y $F_3$ en la producción de los frascos que maximiza los beneficios ?.


SOLUCIÓN.
a)
Denotando por $p$ al número de frascos de perfume y por $a$ al número de frascos de colonia, podemos escribir la función objetivo ( beneficio ) como $f(p,a)=20a+50p$, la cual tendremos que maximizar atendiendo, según la información del enunciado, al siguiente sistema de restricciones:
$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} p+2a \le 180 \\ 2p \le 360 \\ 4a \le 440 \\ p\ge 0 \\ a \ge 0 \end{matrix}\right.$$ Eligiendo $p$ como variable dependiente y $a$ como variable independiente, podemos escribir:
$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} p &\le& -2a&+&240&&&(1)\\ p &\le& 180&&&&&(2) \\ a& \le&110&&&&& (3)\\ p&\ge& 0&&&&&(4) \\ a &\ge& 0&&&&& (5) \end{matrix}\right.$$

Así, las ecuaciones de las rectas que contienen los lados de la región factible escritas en forma explícita son:
$$\left\{\begin{matrix} r_1\equiv p &=& -2a&+&240\\ r_2\equiv p &=&180&& \\r_3\equiv a& =& 110&&\\ r_4\equiv p&=& 0 \\ r_5\equiv a &=& 0\end{matrix}\right.$$

Teniendo en cuenta el sentido de las desigualdades, la región factible que se obtiene es el pentágono de vértices $O(0,0)$, $A(0,240)$, $B(30,180)$,$C(110,20)$ y $D(110,0)$, coordenadas que se calculan teniendo en cuenta que $O\in r_4\cap r_5$, $A \in r_2 \cap r_5$, $B \in r_1 \cap r_2$, $C \in r_1 \cap r_3$, y $D \in r_1 \cap r_2$

La ecuación del haz de rectas paralelas asociado a la función objetivo es $p=-\dfrac{2}{5}\,a+\dfrac{k}{50}$, donde $k\overset{.}{=}f(x,y)$. Fijando el valor de $k$, pongamos que a $0$, representamos una de dichas rectas ( la que pasa por el origen de coordenadas ), cuya ecuación es $y=-\dfrac{2}{5}\,x$ [ las coordenadas de una pareja de puntos que permite representar dicha recta representante de la familia son $(0,0)$ y $(50,-10)$ ]; trazando ahora las rectas paralelas a esa recta, vemos que el valor máximo de la ordenada en el origen, $\dfrac{k}{50}$ corresponde a la recta que pasa por el vértice $B(30,180)$ de la región factible, luego $k$ ( esto es, el valor de la función objetivo ) también alcanza un máximo de este modo. Dicho máximo de la función objetivo es igual al valor de dicha función para las coordenadas del punto $B$, es decir $f_{\text{máximo}}(a,p)=f(30,180)=20\cdot 30+50\cdot 180=9\,600$ euros

Nota: De manera complementaria, podemos comprobar de manera analítica que el máximo obtenido, calculando el valor que toma la función en cada uno de los vértices de la región factible:
$f_{O}(0,0)=0\cdot 0+0\cdot 180=0 \prec f_{B}(30,180)=9\,600$
$f_{A}(0,180)=20\cdot 0+50\cdot 180=9\,000 \prec f_{B}(30,180)=9\,600$
$f_{C}(110,20)=20\cdot 110+50\cdot 20=3\,200 \prec f_{B}(30,180)=9\,600$
$f_{D}(110,0)=20\cdot 110+0\cdot 20=2\,200 \prec f_{B}(30,180)=9\,600$


b)
Según la tabla que muestra la composición de cada frasco de agua de colonia y de cada frasco de perfume vemos que:

  el número de factores $F_1$ requeridos para alcanzar el máximo beneficio es pues $2\cdot 30+1\cdot 180=240$, así pues no van a sobrar componentes de tipo $F_1$

  el número de factores $F_2$ requeridos para alcanzar el máximo beneficio es pues $0\cdot 30+2\cdot 180=360$, así pues no van sobrar componentes de tipo $F_2$

  el número de factores $F_3$ requeridos para alcanzar el máximo beneficio es pues $4\cdot 30+0\cdot 180=120 \prec 440$, así pues van sobrar $440-120=320$ unidades de componentes de tipo $F_3$

$\square$



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Ejercicio 43 de la página 108 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un concesionario de coches vende dos modelos: el modelo A, con el que gana $1000$ euros por unidad vendida, y el B, con el que gana $500$ euros por unidad vendida. El número $x$ de coches del modelo A debe verificar $50\le x\le 75$. El número de coches $y$ del modelo B debe ser mayor o igual que el número de coches vendidos del modelo A.

Sabiendo que el máximo de coches que puede vender es de $400$, determina cuántos coches debe vender de cada modelo para que su beneficio sea máximo.


SOLUCIÓN.
La función objetivo es $f(x,y)=1000x+500y$, que, en el caso que nos ocupa, tendremos que maximizar. Por otra parte, el sistema de restricciones viene dado por:
$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} x\le 75 \\ x\ge 50 \\ y \ge x \\ x+y \le 400 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0 \end{matrix}\right.$$ Eligiendo $p$ como variable dependiente y $a$ como variable independiente, podemos escribir:
$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} x &\le& 75&&&&&(1)\\ x &\ge& 50&&&&&(2) \\ y &\ge & x&& &&&(3)\\ y&\le& -x&+&400&&&(4) \\ x &\ge& 0&&&&& (5) \\ y &\ge& 0&&&&& (6) \end{matrix}\right.$$

Las ecuaciones de las rectas que contienen los lados de la región factible escritas en forma explícita son:
$$\left\{\begin{matrix} r_1\equiv x &=& 75&&\\ r_2\equiv x &=&50&& \\r_3\equiv y& =& x&&\\ r_4\equiv y&=&-x&+&400 \\ r_5\equiv x &=& 0 \\ r_6\equiv y &=& 0\end{matrix}\right.$$
Teniendo en cuenta el sentido de las desigualdades, la región factible que se obtiene es el cuadrilátero de vértices $A(50,50)$, $B(50,350)$, $C(75,325)$ y $D(75,75)$, coordenadas que se calculan teniendo en cuenta que $A\in r_2\cap r_3$, $B \in r_2 \cap r_4$, $C \in r_1 \cap r_4$ y $D \in r_1 \cap r_3$

La ecuación del haz de rectas paralelas asociado a la función objetivo es $y=-\dfrac{1000}{500}\,x+\dfrac{k}{500}$, donde $k\overset{.}{=}f(x,y)$. Fijando el valor de $k$, pongamos que a $0$, representamos una de dichas rectas ( la que pasa por el origen de coordenadas ), cuya ecuación es $y=-2\,x$ [ las coordenadas de una pareja de puntos que permite representar dicha recta representante de la familia son $(0,0)$ y $(100,-200)$ ]; trazando ahora las rectas paralelas a esa recta, vemos que el valor máximo de la ordenada en el origen, $\dfrac{k}{500}$ corresponde a la recta que pasa por el vértice $C(75,325)$ de la región factible, luego $k$ ( esto es, el valor de la función objetivo ) también alcanza un máximo de este modo. Dicho máximo de la función objetivo es igual al valor de dicha función para las coordenadas del punto $C$, es decir $f_{\text{máximo}}(x,y)=f(75,325)=1000\cdot 75+500\cdot 325=237\,500$ euros

Nota: De manera complementaria, podemos comprobar de manera analítica que el máximo obtenido, calculando el valor que toma la función en cada uno de los vértices de la región factible:
$f_{A}(50,50)=1000\cdot 50+500\cdot 50=75\,000 \prec f_{C}(75,325)=237\,500$
$f_{B}(50,350)=1000\cdot 350+500\cdot 350=225\,000 \prec f_{C}(75,325)=237\,500$
$f_{D}(75,75)=1000\cdot 75+500\cdot 75=112\,500 \prec f_{C}(75,325)=237\,500$


$\square$

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Ejercicio 44 de la página 108 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un cliente de un banco dispone de $30\,000$ euros para adquirir fondos de inversión. El banco le ofrece dos tipos de fondos, A y B. El de tipo A tienen una rentabilidad del $12\,\%$ y unas limitaciones legales de $12\,000$ euros de inversión máxima; el del tipo B presenta una rentabilidad del $8\,\%$ sin ninguna limitación. Además, este cliente desea invertir en los fondos de tipo B, como máximo, el doble de lo invertido en los fondos de tipos A.
a) ¿ Qué cantidad de dinero debe invertir en cada tipo de fondo para obtener un beneficio máximo ?
b) ¿ Cuál será el valor de dicho beneficio máximo ?.


SOLUCIÓN.
a)
Denotando por $a$ al dinero invertido en fondos A, y por $b$ al dinero invertido en fondos B, podemos escribir la función objetivo ( beneficio ) como $f(a,b)=\dfrac{12}{100}\,a+\dfrac{8}{100}\,b$, esto es $f(a,b)=\dfrac{3}{25}\,a+\dfrac{2}{25}\,b$, la cual tendremos que maximizar atendiendo, según la información del enunciado, al siguiente sistema de restricciones:
$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} a+b \le 30\,000 \\ a \le 12\,000 \\ b \le 2a \\ a\ge 0 \\ b \ge 0 \end{matrix}\right.$$ Eligiendo $b$ como variable dependiente y $a$ como variable independiente, podemos escribir:
$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} b &\le& -a&+&30\,000&&&(1)\\ a &\le& 12\,000&&&&&(2) \\ b& \le&2a&&&&& (3)\\ a&\ge& 0&&&&&(4) \\ b &\ge& 0&&&&& (5) \end{matrix}\right.$$

Así, las ecuaciones de las rectas que contienen los lados de la región factible escritas en forma explícita son:
$$\left\{\begin{matrix} r_1\equiv b &=& -a&+& 30\,000\\ r_2\equiv a &=& 12\,000&& \\r_3\equiv b& =& 2a&&\\ r_4\equiv a&=& 0 \\ r_5\equiv b &=& 0\end{matrix}\right.$$


Teniendo en cuenta el sentido de las desigualdades, la región factible ( véase la figura de abajo ) que se obtiene es el triángulo de vértices $O(0,0)$, $A(0,30\,000)$ y $B(10\,000,20\,000)$, coordenadas que se calculan teniendo en cuenta que $O\in r_3 \cap r_4 \cap r_5$, $A \in r_1 \cap r_4$ y $B \in r_1 \cap r_3$

La ecuación del haz de rectas paralelas asociado a la función objetivo es $b=-\dfrac{3}{2}\,x+\dfrac{25}{2}\,k$, donde $k\overset{.}{=}f(x,y)$. Fijando el valor de $k$, pongamos que a $0$, representamos una de dichas rectas ( la que pasa por el origen de coordenadas ), cuya ecuación es $b=-\dfrac{3}{2}\,a$ [ las coordenadas de una pareja de puntos que permite representar dicha recta representante de la familia son $(0,0)$ y $(10\,0000,-15\,000)$ ]; trazando ahora las rectas paralelas a esa recta, vemos que el valor máximo de la ordenada en el origen, $\dfrac{25}{3}\,k$ corresponde a la recta que pasa por el vértice $C(75,325)$ de la región factible, luego $k$ ( esto es, el valor de la función objetivo ) también alcanza un máximo de este modo. Dicho máximo de la función objetivo es igual al valor de dicha función para las coordenadas del punto $B$, es decir $f_{\text{máximo}}(b,a)=f(10\,000,20\,000)=\dfrac{3}{25}\cdot 10\,000+\dfrac{2}{25}\cdot 20\,000=2\,800$ euros.

Nota: Obsérvese que al ser la ordenada máxima, $\left(\dfrac{25}{2}\,k \right)_{\text{máxima}}$ igual a $35\,000$ ( véase la gráfica), se tiene que $\dfrac{25}{2}\,k=35\,000 \Rightarrow k_{\text{máxima}} \equiv f_{\text{máxima}}=\dfrac{35\,000 \cdot 2}{25}=2\,800$.

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Tarea de progresión número 1 de la semana del 26 de octubre al 1 de noviembre

Ejercicio 10 de la página 104 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Sea la región convexa del plano dada por las siguientes inecuaciones (región factible): $$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix}5x+2y-10\ge 10 \\ x-y-2 \le 0 \\ 3x+4y-20 \le 0 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0\end{matrix}\right.$$ a) Representa gráficamente dicha región y calcula las coordenadas de sus vértices
b) Determina en qué punto ( o puntos ) la función ( función objetivo ) $f(x,y)=4x+3y$ alcanza el máximo


SOLUCIÓN.
Asignando a $y$ el papel de la variable dependiente y a $x$ el papel de variable independiente, podemos escribir el sistema de inecuaciones de la forma $$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} y &\ge& -\dfrac{5}{2}\,x&+&5&&&(1)\\ y &\ge& x&-&2&&&(2) \\ y& \le& -\dfrac{3}{4}\,x&+&5&&& (3)\\ x&\ge& 0&&&&&(4) \\ y &\ge& 0&&&&& (5) \end{matrix}\right.$$ Así, las ecuaciones de las rectas que contienen los lados de la región factible escritas en forma explícita son:
$$\left\{\begin{matrix} r_1\equiv y &=& -\dfrac{5}{2}\,x&+&5\\ r_2\equiv y &=& x&-&2 \\r_3\equiv y& =& -\dfrac{3}{4}\,x&+&5\\ r_4\equiv x&=& 0 \\ r_5\equiv y &=& 0\end{matrix}\right.$$
Teniendo en cuenta el sentido de las desigualdades, la región factible que se obtiene es el triángulo de vértices $A(2,0)$, $B(0,5)$ y $C(4,2)$, coordenadas que se calculan teniendo en cuenta que $A \in r_5 \cap r_1$, $B \in r_1 \cap r_3$ y $C \in r_2 \cap r_3$

La ecuación del haz de rectas paralelas asociado a la función objetivo es $y=-\dfrac{4}{3}\,x+\dfrac{k}{3}$, donde $k\overset{.}{=}f(x,y)$. Fijando el valor de $k$, pongamos que a $0$, representamos una de dichas rectas ( la que pasa por el origen de coordenadas ), cuya ecuación es $y=-\dfrac{4}{3}\,x$ [ las coordenadas de una pareja de puntos que permite representar dicha recta representante de la familia son $(0,0)$ y $(3,-4)$ ]; trazando las rectas paralelas a esa recta, vemos que el valor máximo de la ordenada en el origen, $\dfrac{k}{3}$ corresponde a la recta que pasa por el vértice $C(4,2)$ de la región factible, luego $k$ ( esto es, el valor de la función objetivo ) también alcanza un máximo de este modo. Dicho máximo de la función objetivo es igual al valor de dicha función para las coordenadas del punto $C$, es decir $f_{\text{máximo}}(x,y)=f(4,2)=4\cdot 4+3\cdot 2=22$. Omito el gráfico ( hacedlo vosotras, por favor, para que podáis comprobar lo que os estoy explicando ), no obstante, el máximo se encuentra también haciendo un estudio analítico: calculando el valor que toma la función en cada uno de los vértices de la región factible y seleccionando el mayor de todos ellos.

Como la región factible es acotada, también alcanza $f(x,y)$ el valor mínimo; sin embargo, como no se pide en el enunciado, y aunque es evidente el punto de la región factible por el que tenemos que hacer pasar la recta que da el valor mínimo de $f(x,y)$, no lo calculo. Como añadido al problema, os propongo que lo hagáis vosotras.
$\square$

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Ejercicio 16 de la página 104 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una fábrica produce confitura de albaricoque y confitura de ciruela. El doble de la producción de confitura de ciruela es menor o igual que la producción de confitura de albaricoque más $800$ unidades. Además, el triple de la producción de confitura de albaricoque más el doble de la producción de confitura de ciruela es menor o igual que $2\,400$ unidades.

Cada unidad de confitura de albaricoque produce un beneficio de $60$ euros, y cada unidad de confitura de ciruela $80$ euros. ¿ Cuántas unidades de cada tipo de confitura se tienen que producir para obtener el beneficio máximo ?.



SOLUCIÓN


FE DE ERRATAS DEL VÍDEO: En la primera cuarta parte del vídeo he escrito $f(a,c)=60a+80a$, cuando debería haber escrito $f(a,c)=60a+80c$. Este error de transcripción a la hora de escribir en la pizarra no afecta al resto del vídeo, ya que después ya escribo la función objetivo tal como debe ser.

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Ejercicio 20 de la página 105 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Sea la región convexa del plano dada por las siguientes inecuaciones (región factible): $$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix}x+y\ge 8 \\ x\le y \\ x\ge 0 \\ y\ge 0\end{matrix}\right.$$ a) Representa gráficamente dicha región y calcula las coordenadas de sus vértices
b) Mínimiza la función (objetivo) $f(x,y)=23x+14y$ teniendo en cuenta las restricciones.


SOLUCIÓN.
Asignando a $y$ el papel de la variable dependiente y a $x$ el papel de variable independiente, podemos escribir el sistema de inecuaciones de la forma $$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} y &\ge& -x&+&8&&&(1)\\ y &\ge& x&&&&&(2) \\ x&\ge& 0&&&&&(3) \\ y &\ge& 0&&&&& (4) \end{matrix}\right.$$ Así, las ecuaciones de las rectas que contienen los lados de la región factible escritas en forma explícita son:
$$\left\{\begin{matrix} r_1\equiv y &=& -x&+&8\\ r_2\equiv y &=& x&& \\ r_3\equiv x&=& 0 \\ r_4\equiv y &=& 0\end{matrix}\right.$$
Teniendo en cuenta el sentido de las desigualdades, la región factible que se obtiene no está acotada por la parte superior, así que la función objetivo no presenta máximo, pero sí mínimo ( por estar acotada por la parte inferior ). Así las cosas ( omito la representación gráfica, dejando que vosotras lo hagáis ), la región factible solamente tiene dos vértices: $A(4,4)$ y $B(0,8)$ [ estas coordenadas que se calculan teniendo en cuenta que $A \in r_1 \cap r_2$ y $B \in r_1 \cap r_3$.

La ecuación del haz de rectas paralelas asociado a la función objetivo es $y=-\dfrac{23}{14}\,x+\dfrac{k}{14}$, donde $k\overset{.}{=}f(x,y)$. Fijando el valor de $k$, pongamos que a $0$, representamos una de dichas rectas ( la que pasa por el origen de coordenadas ), cuya ecuación es $y=-\dfrac{23}{14}\,x$ [ las coordenadas de una pareja de puntos que permite representarla son $(0,0)$ y $(7,-23/2)$ ]; trazando las rectas paralelas a esa recta, vemos que el valor mínimo que toma la ordenada en el origen, $\dfrac{k}{3}$ corresponde a la recta que pasa por el vértice $B(0,8)$ de la región factible, luego $k$ ( esto es, el valor de la función objetivo ) también alcanza un mínimo de este modo. Dicho mínimo de la función objetivo es igual al valor de dicha función para las coordenadas del punto $B$, es decir $f_{\text{mínimo}}(x,y)=f(0,8)=23\cdot 0+14\cdot 8=112$.
$\square$

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Ejercicio 24 de la página 105 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Sea la región convexa del plano dada por las siguientes inecuaciones (región factible): $$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix}x+y\ge 2 \\ x-y\le 0 \\ y\le 4 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0\end{matrix}\right.$$ a) Representa gráficamente dicha región y calcula las coordenadas de sus vértices
b) Determina el máximo y el mínimo de la función $f(x,y)=12x+4y$ teniendo en cuenta las restricciones.


SOLUCIÓN.
Asignando a $y$ el papel de la variable dependiente y a $x$ el papel de variable independiente, podemos escribir el sistema de inecuaciones de la forma $$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} y &\ge& -x&+&2&&&(1)\\ y &\ge& x&&&&&(2) \\ y& \le& 4&&&& (3)\\ x&\ge& 0&&&&&(4) \\ y &\ge& 0&&&&& (5) \end{matrix}\right.$$ Así, las ecuaciones de las rectas que contienen los lados de la región factible escritas en forma explícita son:
$$\left\{\begin{matrix} r_1\equiv y &=& -x&+&2\\ r_2\equiv y &=& x&& \\r_3\equiv y& =& 4&&\\ r_4\equiv x&=& 0 \\ r_5\equiv y &=& 0\end{matrix}\right.$$
Teniendo en cuenta el sentido de las desigualdades, la región factible que se obtiene es el cuadrilátero de vértices $A(0,2)$, $B(0,4)$, $C(4,4)$ y $D(1,1)$, coordenadas que se calculan teniendo en cuenta que $A \in r_1 \cap r_4$, $B \in r_3 \cap r_4$, $C \in r_2 \cap r_4$, y $D \in r_1 \cap r_2$

La ecuación del haz de rectas paralelas asociado a la función objetivo es $y=-3\,x+\dfrac{k}{4}$, donde $k\overset{.}{=}f(x,y)$. Fijando el valor de $k$, pongamos que a $0$, representamos una de dichas rectas ( la que pasa por el origen de coordenadas ), cuya ecuación es $y=-\dfrac{4}{3}\,x$ [ las coordenadas de una pareja de puntos que permite representar dicha recta representante de la familia son $(0,0)$ y $(1,-3)$ ]; trazando ahora las rectas paralelas a esa recta, vemos que el valor máximo de la ordenada en el origen, $\dfrac{k}{4}$ corresponde a la recta que pasa por el vértice $C(4,4)$ de la región factible, luego $k$ ( esto es, el valor de la función objetivo ) también alcanza un máximo de este modo. Dicho máximo de la función objetivo es igual al valor de dicha función para las coordenadas del punto $C$, es decir $f_{\text{máximo}}(x,y)=f(4,4)=12\cdot 4+4\cdot 4=64$, y el mínimo, para la recta que pasa por el vértice $A(0,2)$, siendo dicho mínimo igual a $f_{\text{mínimo}}(x,y)=f(0,2)=12\cdot 0+4\cdot 2=8$. Omito el gráfico ( hacedlo vosotras, por favor, para que podáis comprobar lo que os estoy explicando ), no obstante, tanto el máximo el mínimo se pueden obtener también haciendo un estudio analítico: calculando el valor que toma la función en cada uno de los vértices de la región factible y seleccionando el mayor y el menor de todos ellos.

Obsérvese que, como la región factible es acotada, hemos podido encontrar tanto el máximo como el mínimo de la función objetivo.
$\square$

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Puntualizaciones a los contenidos de la semana del 26 de octubre al 1 de noviembre ( Unidad Didáctica 5 - Programación Lineal )

Una huelga al principio de la pandemia de Covid19

Madrid, octubre de 2020

El PROBLEMA DE LA SEMANA del 19 al 25 de octubre

Elegid únicamente una de las dos opciones:


OPCIÓN 1: Ejercicio número 39 de la página 25 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un tren transporta $540$ viajeros, y la recaudación del importe de sus billetes asciende a $4\,250$ euros. Calcula cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que asciende a $10$ euros, cuántos han pagado el $80\,\%$ del billete y cuántos han pagado el $50\,\%$, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el $50\,\%$ es la mitad del número de viajeros que pagaron el $80\,\%$.


SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ al número de viajeros que pagan el $100\,\%$ del coste del billete; por $y$, al número de viajeros que pagan el $80\,\%$ del coste del mismo, y por $z$ al resto de pasajeros ( que pagan el $50\,\%$ del coste del billete ). Según la información del enunciado, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones:
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=470 \\ 10\,x&+&0,8\cdot 10\,y&+&0,5\cdot 10\,z&=4\,250 \\ &&\dfrac{1}{2}\,y&-&z&=0 \end{matrix}\right.$, que podemos escribir de la forma:

$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=470 \\ 10\,x&+&\dfrac{4}{5}\cdot 10\,y&+&\dfrac{1}{2}\cdot 10\,z&=4\,250 \\ &&\dfrac{1}{2}\,y&-&z&=0 \end{matrix}\right.$, o lo que es lo mismo:

$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=470 \\ 10\,x&+&8\,y&+&5\,z&=4\,250 \\ &&y&-&2\,z&=0 \end{matrix}\right. \begin{matrix}\\ -10\,e_1+e_2\rightarrow e_2\end{matrix} \sim$

$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=470 \\ &-&2\,y&-&5\,z&=-450 \\ &&y&-&2\,z&=0 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=470 \\ &&2\,y&+&5\,z&=450 \\ &&y&-&2\,z&=0 \end{matrix}\right. \sim $

$\begin{matrix}\\ \\ -2\,e_3+e_2\rightarrow e_3 \end{matrix} \sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=470 \\ &&2\,y&+&5\,z&=450 \\ &&&&9\,z&=450 \end{matrix}\right. \sim $

Y por sustitución retrógrada:
$$\sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&320 \\ &&y&&&=&100 \\ &&&&z&=&50 \end{matrix}\right.$$ $\square$
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OPCIÓN 2: Ejercicio número 14, apartado b, de la página 81 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Discute, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$$\left\{\begin{matrix}(2m+2)\,x&+&my&+&2z&=&2m-2\\2x&+&(2-m)\,y&&&=&0\\ (m+1)\,x&&&+&(m+1)\,z&=&m-1 \end{matrix}\right.$$


SOLUCIÓN.
Podemos escribir el sistema en forma matricial, $AX=B$ de la forma $$\left(\begin{array}{cccc}2\,(m+1) & m & 2 \,(m-1) \\ 2 & 2-m & 0 \\ m+1 & 0 & m+1 \end{array}\right)\begin{pmatrix}x \\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\,(m-1) \\0 \\ m-1 \end{pmatrix}$$ La matriz ampliada de los coeficientes del sistema ampliada con la columna de los términos independientes es $$(A|B) = \left(\begin{array}{ccc|c}2\,(m+1) & m & 2 & 2\,(m-1) \\ 2 & 2-m & 0 & 0 \\ m+1 & 0 & m+1 & m-1\end{array}\right)$$ de la cual la matriz de los coeficentes $$A=\left(\begin{array}{cccc}2\,(m+1) & m & 2 \\ 2 & 2-m & 0 \\ m+1 & 0 & m+1 \end{array}\right)$$ es una submatriz. Analicemos el rango de $A$ mediante el cálculo de su determinante: $$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}2\,(m+1) & m & 2 \\ 2 & 2-m & 0 \\ m+1 & 0 & m+1 \end{vmatrix}=-2m(m^2-1)=0\Leftrightarrow m \in \{0,-1,1\}$$ Por tanto, en el caso de que $m \notin \{0,-1,1\}$, $\text{rango}(A)=3$, y habida cuenta de que, $A$ es una submatriz de $(A|B)$, también se tiene que $\text{rango}(A|B)=3$, así pues: i) el sistema es compatible determinado ( si $m$ es distinto de $0$, $-1$, o $1$ ).

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Veamos ahora qué sucede cuando $m$ toma esos valores:
ii) Si $m=0$, la matriz ampliada es ahora $$(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c}2 & 0 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -1\end{array}\right)$$ Tomando la submatriz de orden $2$ formada por los elementos que están en las dos primeras filas y en las dos primeras columnas vemos que su determinante ( menor complementario ) es distinto de cero, en efecto $\begin{vmatrix}2&0\\2&2\end{vmatrix}=4\neq 0$, luego el rango de las matrices $A$ y $(A|B)$ es, al menos, $2$. Veamos si puede ser $3$. Aplicando el algoritmo del horlado de dicha submatriz, obtenemos dos menores de orden $3$ que procedemos a examinar. Uno de ellos es el determinante de la matriz $A$ ( submatriz de $(A|B)$ ): $\begin{vmatrix}2&0&2\\2&2&0\\1&0&1\end{vmatrix}=\ldots=0 \Rightarrow \text{rango}(A) \prec 3$, luego $\text{rango}(A)=2$. Por otra parte, tenemos también ( del horlado ) el menor complementario $\begin{vmatrix}2&0&-2\\2&2&0\\1&0&-1\end{vmatrix}=\ldots=0 \Rightarrow \text{rango}(A|B) \prec 3$, luego $\text{rango}(A|B)=2$. Así pues, como el rango común $r=2\prec n=3$ ( $n$ denota el número de incógnitas ), por el teorema de Rouché-Fröbenius, podemos decir que para $m=0$ el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $2$ variables principales.

ii) Si $m=1$, la matriz ampliada es ahora $$(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c}4 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0\end{array}\right)$$ Tomando la submatriz de orden $2$ formada por los elementos que están en las dos primeras filas y en las dos primeras columnas vemos que su determinante ( menor complementario ) es distinto de cero, en efecto $\begin{vmatrix}4&1\\2&1\end{vmatrix}=2\neq 0$, luego el rango de las matrices $A$ y $(A|B)$ es, al menos, $2$. Veamos si puede ser $3$. Aplicando el algoritmo del horlado de dicha submatriz, obtenemos dos menores de orden $3$ que procedemos a examinar. Uno de ellos es el determinante de la matriz $A$ ( submatriz de $(A|B)$ ): $\begin{vmatrix}4&1&2\\2&1&0\\2&0&2\end{vmatrix}=\ldots=0 \Rightarrow \text{rango}(A) \prec 3$, luego $\text{rango}(A)=2$. Por otra parte, tenemos también ( del horlado ) el menor complementario $\begin{vmatrix}4&1&0\\2&1&0\\2&0&0\end{vmatrix}=\ldots=0 \Rightarrow \text{rango}(A|B) \prec 3$, luego $\text{rango}(A|B)=2$. Así pues, como el rango común $r=2\prec n=3$ ( $n$ denota el número de incógnitas ), por el teorema de Rouché-Fröbenius, podemos decir que para $m=1$, al igual que para el caso anterior ( $m=0$ ), el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $2$ variables principales.

iii) Si $m=-1$, la matriz ampliada es ahora $$(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c}0 & -1 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2\end{array}\right)$$ Tomando la submatriz de orden $2$ formada por los elementos que están en las dos primeras filas y en las dos primeras columnas vemos que su determinante ( menor complementario ) es distinto de cero, en efecto $\begin{vmatrix}0&-1\\2&3\end{vmatrix}=2\neq 0$, luego el rango de las matrices $A$ y $(A|B)$ es, al menos, $2$. Veamos si puede ser $3$. Aplicando el algoritmo del horlado de dicha submatriz, obtenemos dos menores de orden $3$ que procedemos a examinar. Uno de ellos es el determinante de la matriz $A$ ( submatriz de $(A|B)$ ): $\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&3&0\\0&0&0\end{vmatrix}=0 \Rightarrow \text{rango}(A) \prec 3$, luego $\text{rango}(A)=2$. Por otra parte, tenemos también ( del horlado ) el menor complementario $\begin{vmatrix}&-1&-2\\2&3&0\\0&0&-2\end{vmatrix}=-4\neq 0 \Rightarrow \text{rango}(A|B) = 3$. Así pues, como $\text{rango}(A)\neq \text{rango}(A|B)$, por el teorema de Rouché-Fröbenius, podemos decir que para $m=-1$, el sistema es incompatible.


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Resumiendo, distinguimos los siguientes tres casos:

I) Si $m\notin \{0,-1,1\}$, el sistema es compatible determinado.
II) Si $m=-1$, el sistema es incompatible.
III) Si $m\in \{0,1\}$, el sistema es compatible indeterminado con $1$ variable secundaria y $2$ variables principales.

$\square$
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Tarea de progresión número 2 de la semana del 19 al 25 de octubre

Ejercicio número 5, apartado b, de la página 79 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema por el método de Cramer:
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&2z&=&6\\ 2x&+&3y&-&7z&=&16 \\ 5x&+&2y&+&z&=&16 \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
$$x=\dfrac{\begin{vmatrix}6&1&-2\\16&3&-7\\16&2&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-2\\2&3&-7\\5&2&1\end{vmatrix}}=3$$
$$y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&6&-2\\2&16&-7\\5&16&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-2\\2&3&-7\\5&2&1\end{vmatrix}}=1$$
$$z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&6\\2&3&16\\5&2&16\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-2\\2&3&-7\\5&2&1\end{vmatrix}}=-1$$ $\square$

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Ejercicio número 9 de la página 79 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve matricialmente el siguiente sistema:
$$\begin{pmatrix}5&8&1\\ 3&-2&6 \\ 2&1&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ -7 \\ -5 \end{pmatrix}$$

SOLUCIÓN.
Voy a utilizar el método de la matriz inversa. Podemos escribir el sistema de manera abreviada, en forma de ecuación matricial, $AX=B$ ( donde $A$ es la matriz de los coeficientes del sistema, $X$ es la matriz columna de las incógnitas, y $B$ es la matriz columna de los términos independientes; con lo cual, $X=A^{-1}\,B$. Calculando la matriz inversa de $A$, que es regular, y por tanto el sistema es compatible determinado, pues $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|B)=3=n$ (teorema de Rouché-Fröbenius). Calculando la matriz inversa de $A$ ( omito los cálculo, si bien vosotras tenéis que realizarlos, para practicar )se obtiene, $$A^{-1}=\begin{pmatrix}-4/107&9/107&50/107 \\ 15/107 &-7/107&-27/107 \\ 7/107&11/107&-34/107\end{pmatrix}$$ Así pues, $$\begin{pmatrix}x\\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4/107&9/107&50/107 \\ 15/107 &-7/107&-27/107 \\ 7/107&11/107&-34/107\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\ -7 \\ -5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ esto es: $x=-3$, $y=2$, $z=1$
$\square$

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Ejercicio número 13, apartado b, de la página 81 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $a$:
$$\left\{\begin{matrix}3x&+&10y&=&-4\\ ax&+&y&=&1 \\ x&+&3y&=&-1 \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
Por comodidad, reordeno las ecuaciones:
$$\left\{\begin{matrix} x&+&3y&=&-1\\ 3x&+&10y&=&-4 \\ ax&+&y&=&1 \end{matrix}\right.$$ Podemos escribir el sistema en forma matricial:
$$\begin{pmatrix}1&3\\3&10\\a&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-4\\1\end{pmatrix}$$ que abreviamos de la forma $AX=B$
Escribamos ahora la matriz de los coeficientes ampliada, $(A|B)$, y reduzcámosla por Gauss:
$\left(\begin{array}{cc|c} 1&3&-1\\3&10&-4\\a&1&1 \end{array}\right) \begin{matrix}\\ -3\,f_1+f_2\rightarrow f_2\\-a\,f_1+f_3\rightarrow f_3\end{matrix} \sim \left(\begin{array}{cc|c} 1&3&-1\\0&1&-1\\0&1-3a&1+a \end{array}\right)\sim$

$ \sim \begin{matrix}\\\\-(1-3a)\,f_2+f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix} \quad \left(\begin{array}{cc|c} 1&3&-1\\0&1&-1\\0&0&2\,(1-a) \end{array}\right)$

Por el teorema de Rouché-Fröbenius, podemos distinguir dos casos:
I. Si $a=1$, entonces $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|B)=2=n$ ( $n$ es el número de incógnitas ), luego el sistema es compatible determinado.
II. Si $a\neq 1$, entonces $\text{rango}(A)=2\neq\text{rango}(A|B)=3$, luego el sistema es incompatible.
$\square$

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Ejercicio número 12, apartado b, de la página 81 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $k$:
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ kx&&&+&2z&=&0 \\ 2x&-&y&+&kz&=&0 \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
Podemos escribir el sistema en forma matricial:
$$\begin{pmatrix}1&1&1\\k&0&2\\2&-1&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$ que abreviamos de la forma $AX=O$, donde $O$ es la matriz columna de los términos independientes, que es nula ( se dice que el sistema es homogéneo )
Escribamos ahora la matriz de los coeficientes ampliada, $(A|B)$:
$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&0\\k&0&2&0\\2&-1&k&0 \end{array}\right)$$
Analicemos el rango por menores complementarios: $\begin{vmatrix} 1&1&1\\k&0&2\\2&-1&k\end{vmatrix}=-(k^2+k-6)=0\Leftrightarrow k\notin\{-3,2\}$, luego en tal caso (I) $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|0)=3=n$ y el sistema es compatible determinado, siendo la solución $x=y=z=0$ ( solución trivial ); en caso contrario (II), $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|0)=2\prec n=3$ ( ya que al menos el menor complementario $\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}=2\neq 0$ ), por lo que el sistema es ahora compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria ( la solución dependerá de 1 parámetro libre, por lo que representará una recta en el espacio 3-dimensional ). $\square$

-oOo-
Ejercicio número 11, apartado a, de la página 81 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $a$:
$$\left\{\begin{matrix}ax&+&y&+&z&=&1\\ x&+&ay&+&z&=&a \\ x&+&y&+&az&=&a^2 \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
Voy a resolverlo de una forma alternativa a la que se muestra en un ejercicio similar en el apartado 3.1 ( página 80 ) del libro de texto base. En primer lugar, y por comodidad, reordeno el sistema de ecuaciones para que la ecuación que tenga coeficiente igual a $1$ para la primera incógnita ( en el orden 'xyz' ) sea la primera ecuación:
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&az&=&a^2 \\ x&+&ay&+&z&=&a \\ax&+&y&+&z&=&1 \end{matrix}\right.$$ La matriz de los coeficientes ampliada es:
$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&a&a^2\\1&a&1&a\\a&1&1&1 \end{array}\right)$$ Reduciéndola por Gauss ( obtenemos matrices equivalentes en rango ): $\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&a&a^2\\1&a&1&a\\a&1&1&1 \end{array}\right) \begin{matrix}\\-f_1+f_2\rightarrow f_2 \\ -a\,f_1+f_3\rightarrow f_3\end{matrix} \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&a&a^2\\0&a-1&1-a&a\,(1-a)\\0&1-a&(1-a)(1+a)&1-a^3 \end{array}\right)$
y mediante la operación elemental $f_1+f_3\rightarrow f_3$ llegamos a $\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&a&a^2\\0&a-1&1-a&a\,(1-a)\\0&0&(1-a)(1+a)+(1-a)&1-a^3+a\,(1-a) \end{array}\right)$
o lo que es lo mismo ( factorizando los polinomios en $a$ y simplificando los elementos que podamos )
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&a&a^2\\0&a-1&1-a&a\,(1-a)\\0&0&(1-a)(a+2)&(1-a)(a+1)^2 \end{array}\right)$$
Con lo cual ya podemos ver que, por el teorema de Rouché-Fröbenius:

I. Si $a=1$ las dos últimas filas son identicamente nulas, con lo cual $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|B)\overset{.}{=}r=1\prec n=3$, y el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-1=2$ variables secundarias ( la solución dependerá de $2$ parámetros libres, y por tanto representará un plano en el espacio afín 3-dimensional ).

II. Si $a=-2$, $\text{rango}(A)=2\neq \text{rango}(A|B)=3$, y el sistema es incompatible.

III. Si $a\notin \{-2,1\}$, $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|B)\overset{.}{=}r=3=n$, y el sistema es compatible determinado ( la solución es un punto en el espacio afín 3-dimensional )

$\square$

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Ejercicio número 47 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas $x,y,z,t$:
$$\left\{\begin{matrix}x&+&2y&+&z&&&=&0\\&&y&+&2z&+&t&=&0\\ 2x&+&2ky&&&-&t&=&0 \end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Encuentra los valores del parámetro $k$ para los que el rango de la matriz de los coeficientes del sistema es $2$
b) Resuelve el sistema para $k:=0$


SOLUCIÓN.
a)
Como se trata de un sistema homogéneo ( los términos independientes son nulos ), bastará con estudiar el rango de la matriz de los coeficientes del sistema, que es:
$$\left(\begin{array}{cccc} 1&2&1&0\\0&1&2&1\\2&2k&0&-1 \end{array}\right)$$ Reduciéndola por Gauss ( obtenemos matrices equivalentes en rango ):
$\begin{pmatrix} 1&2&1&0\\0&1&2&1\\2&2k&0&-1 \end{pmatrix}\begin{matrix}\\ \\ -2f_1+f_3\rightarrow f_3 \end{matrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\0&1&2&1\\0&2(k-2)&-2&-1 \end{pmatrix} \sim$

$\sim \begin{matrix}\\ \\ -2(k-2)\,f_2+f_3\rightarrow f_3 \end{matrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\0&1&2&1\\0&0&-2(2k-3)&-2(2k-3) \end{pmatrix}$. El rango de esta matriz es $2$ si $2k-3=0$ ( pues la última fila es identicamente nula en tal caso ), para lo cual es necesario que $k=\dfrac{3}{2}$. En tal caso $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|0)\overset{.}{=}r=2\prec n=4$, luego, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado con $n-r=4-2=2$ variables secundarias ( 2 parámetros libres en la solución ).

b)
Para $k:=0$, $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|0)\overset{.}{=}r=3\prec n=4$ y el sistema sigue siendo compatible indeterminado, pero con $n-r=4-3=1$ variable secundaria ( 1 parámetro libre en la solución ). Para este valor de $k$ el sistema equivalente (reducido por Gauss) queda:
$$\left\{\begin{matrix}x&+&2y&+&z&&&=&0\\&&y&+&2z&+&t&=&0\\ &&&&6z&+&3t&=&0 \end{matrix}\right.$$ Eligiendo una de las cuatro variables - pongamos que $t$ - como variable secundaria: $\lambda \overset{.}{=}z$ podemos reescribir el sistema de la forma:
$$\left\{\begin{matrix}x&+&2y&+&z&&&=&0\\&&y&+&2z&&&=&-\lambda\\ &&&&6z&&&=&-3\lambda \end{matrix}\right.$$ Despejando $z$ de la tercera ecuación, obtenemos $z=-\dfrac{1}{2}\,\lambda$, y sustituyendo este valor en la segunda ecuación para despejar $y$, obtenemos $y=0$; a su vez, sustituyendo estos dos resultados en la primera ecuación y despejando $x$, se llega a $x=\dfrac{1}{2}\,\lambda$. Por tanto, podemos indicar la solución de la forma $$\{(x,y,z,t)=\left(\dfrac{1}{2}\,\lambda,0,-\dfrac{1}{2}\,\lambda,\lambda\right):\lambda \in \mathbb{R}\}$$ $\square$

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Tarea de progresión número 1 de la semana del 19 al 25 de octubre

Ejercicio número 84 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Sean las matrices: $A=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\\-2&2\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}-2&2&0\\3&-1&1\end{pmatrix}$
¿ Se cumple la igualdad $\text{rango}(AB)=\text{rango}(A)\cdot \text{rango}(B)$ ? Justifica la respuesta.


SOLUCIÓN.
Los rangos de $A$ y de $B$ son a lo sumo $2$ pues es sabido que $\text{rango}\le\text{mín}(\{m,n\})=2$, donde $m$ y $n$ indican el número de filas/columnas de una matriz $m\times n$ o $n\times m$. Para la matriz $A$, encontramos al menos un menor complementario formado por los elementos de las dos primeras filas y de las dos columnas de $A$ es $\begin{vmatrix}1&0\\1&-1\end{vmatrix}=-1\neq 0$, luego el $\text{rango}\,A=2$; por otra parte, para la matriz $B$, encontramos también un menor complementario (formado por los elementos de las dos filas y de las dos primeras columnas que es distinto de cero, en efecto, $\begin{vmatrix}-2&2\\3&-1\end{vmatrix}=-4\neq 0$, luego el $\text{rango}\,B=2$. Así pues, $\text{rango}\,A \cdot \text{rango}\,B= 2 \cdot 2 = 4 \ge \text{rango}\,AB$, ya que al ser $A_{3\times 2}B_{2\times 3}$ un matriz $3\times 3$, su rango no puede ser $4$. Por consiguiente, la igualdad propuesta es falsa.

$\square$
-oOo- Ejercicio número 90 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Sea considera la matriz: $A=\begin{pmatrix}1&x&-1\\1&1&1\\x&x&0\end{pmatrix}$. Se pide:
a) Los valores de $x$ para los que no exista la inversa de la matriz $A$
b) Para $x:=3$, calcula, si es posible, la inversa $A^{-1}$ de la matriz $A$


SOLUCIÓN.
a) Para que no exista la matriz inversa de $A$, su determinante ha de ser nulo, entonces $\begin{vmatrix}1&x&-1\\1&1&1\\x&x&0\end{vmatrix}\overset{\text{Sarrus}}{=}x\,(x-1)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\\\x-1=0\Rightarrow x=1\end{matrix}\right.$. Así pues, para $x\in \{0,1\}$ la matriz $A$ no tiene matriz inversa.
b) Como $3 \notin \{0,1\}$, la matriz $A$ sí tiene inversa para $x:=3$. Para este valor, la matriz $A$ es $\begin{pmatrix}1&3&-1\\1&1&1\\3&3&0\end{pmatrix}$. Y utilizando el método de Gauss-Jordan ( del cual omito los cálculos, por ser tratarse de un ejercicio rutinario ), obtendemos $$A^{-1}=\begin{pmatrix}-1/2&-1/2&2/3\\1/2&1/2&-1/3\\0&1&-1/3\end{pmatrix}$$ Nota: Puede comprobarse que $A\,A^{-1}=A^{-1}\,A=I$, donde $I$ es la matriz identidad $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
$\square$
-oOo- Ejercicio número 87 de la página 71 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación matricial $A^2\,X=2B$, siendo $A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&-3\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&-1&4\\0&-3&1\end{pmatrix}$

SOLUCIÓN.
$A^2\,X=2B$
  $AA\,X=2B$
    $A^{-1}\,AA\,X=2A^{-1}\,B$
      $IA\,X=2A^{-1}\,B$
        $A\,X=2A^{-1}\,B$
          $A^{-1}\,A\,X=2A^{-1}\,A^{-1}\,B$
            $IX=2A^{-1}\,A^{-1}\,B$
              $2\,(A^{-1})_{2\times 2}^2\,B_{2\times 3}=X_{2\times 3}\quad \quad (1)$

Fácilmente, calculamos la matriz inversa asociada a $A$:, que resulta ser ( omito los cálculos que he hecho por Gauss-Jordan ) $A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\2&-1\end{pmatrix}$, luego $(A^{-1})^2=\begin{pmatrix}3&-1\\2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&-2\\4&-1\end{pmatrix}$ por lo que $2\,(A^{-1})^2=\begin{pmatrix}14&-4\\8&-2\end{pmatrix}$. Por tanto, de (1), vemos que $X=\begin{pmatrix}14&-4\\8&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&4\\0&-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14&-2&52\\8&-2&30\end{pmatrix}$

$\square$
-oOo- Ejercicio número 80 de la página 70 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Halla el rango de la matriz $A=\begin{pmatrix}1&3&-5&0\\-1&2&4&7\\1&5&-1&7\end{pmatrix}$


SOLUCIÓN.
Es sabido que $\text{rango}(A_{m\times n}\ge \text{mín}(\{m,n\})$ y como $m=3$ y $n=4$, tenemos que $\text{rango}(A)\le 3$. Por otra parte, seleccionando la submatriz formada por los elementos de las dos primeras filas y las dos primeras columnas, vemos que su determinante el menor complementario ( el determinante ) es $\begin{vmatrix}1&3\\-1&2\end{vmatrix}=5\neq 0 \Rightarrow$ el $\text{rango}(A)$ es, al menos, $2$. Veamos ahora si es $3$. Para ello, horlamos esa submatriz de orden $2$ seleccionada (cuyo determinante es distinto de $0$), y nos aparecen únicamente dos menores de orden $3$: $\begin{vmatrix}1&3&-5\\-1&2&4\\1&5&-1\end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix}1&3&0\\-1&2&7\\1&5&7\end{vmatrix}$; calculando el primero, vemos que es igual a $22$, por lo que, al ser no nulo, ya podemos afirmar que $\text{rango}\,A=$ orden de dicho determinante ( menor complementario ) $=3$. Nota: No hace falta calcular el otro menor de orden $3$ que ha aparecido en el horlado, pues con uno cuyo valor sea distinto de $0$ ya podemos decidir el rango ( que es igual al orden de dicho menor complementario.
$\square$
-oOo- Ejercicio número 62 de la página 69 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Se considera la matriz $A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\1&1&k\\1&-1&2\end{pmatrix}$. Se pide:
a) ¿ Para qué valores del parámetro $k$ tiene $A$ inversa ? Justifica la respuesta.
b) Para $k:=-5$, calcula la matriz inversa $A^{-1}$

SOLUCIÓN.
a)
Para que la matriz $A_{3\times 3}$ tenga matriz inversa es necesario y suficiente que tenga rango igual a $3$, lo que conlleva que su determinante sea distinto de $0$. Calculando dicho determinante encontramos:
$\begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&1&k\\1&-1&2\end{vmatrix}=k+8=0\Leftrightarrow k=-8$, luego para valores de $k$ distintos de $-8$, la matriz $A$ es regular ( es inversible ).
b)
Calculemos la matriz inversa de $A$ para el caso en que $k:=-5$. Así, la matriz es $A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\1&1&-5\\1&-1&2\end{pmatrix}$. Utilizando el método de Gauss-Jordan ( omito los pasos por tratarse de un cálculo rutinario, si bien tú debes hacerlos ) se llega a $$A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1&2\\-7/3&5/3&3\\-2/3&1/3&1\end{pmatrix}$$ Nota: Puede comprobarse que $A\,A^{-1}=A^{-1}\,A=I$, donde $I$ es la matriz identidad $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
$\square$
-oOo- Ejercicio número 7 de la página 79 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema compatible utilizando el método de Cramer $$\left\{\begin{matrix}4x&+&4y&+&5z&+&5t&=&0\\ 2x&&&+&3z&-&t&=&10 \\ x&+&y&-&5z&&&=&-10 \\ &&3y&+&2z&&&=&1 \end{matrix}\right.$$


SOLUCIÓN.
Expresando el sistema de forma matricial, $$\begin{pmatrix}4&4&5&5\\2&0&3&-1 \\ 1&1&-5&0\\ 0&1&2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\10\\-10\\1\end{pmatrix}$$ Y, como es sabido, $x=\dfrac{\text{det}\,A_{1}}{\text{det}\,A}$, $y=\dfrac{\text{det}\,A_{2}}{\text{det}\,A}$, $z=\dfrac{\text{det}\,A_{3}}{\text{det}\,A}$ y $t=\dfrac{\text{det}\,A_{4}}{\text{det}\,A}$, siendo: $$\text{det}\,A=\begin{vmatrix}4&4&5&5\\2&0&3&-1 \\ 1&1&-5&0\\ 0&1&2&0\end{vmatrix}\overset{\text{Laplace}}{=}-110$$
$$\text{det}\,A_1=\begin{vmatrix}0&4&5&5\\10&0&3&-1 \\ -10&1&-5&0\\ 1&1&2&0\end{vmatrix}\overset{\text{Laplace}}{=}-190$$
$$\text{det}\,A_2=\begin{vmatrix}4&0&5&5\\2&10&3&-1 \\ 1&-10&-5&0\\ 0&1&2&0\end{vmatrix}\overset{\text{Laplace}}{=}290$$
$$\text{det}\,A_3=\begin{vmatrix}4&4&0&5\\2&0&10&-1 \\ 1&1&-10&0\\ 0&1&1&0\end{vmatrix}\overset{\text{Laplace}}{=}-200$$
$$\text{det}\,A_4=\begin{vmatrix}4&4&5&0\\2&0&3&10 \\ 1&1&-5&-10\\ 0&1&2&1\end{vmatrix}\overset{\text{Laplace}}{=}120$$ Por consiguiente:

$x=\dfrac{-190}{-110}=\dfrac{19}{11}$

$y=\dfrac{290}{-110}=-\dfrac{29}{11}$

$z=\dfrac{-200}{-110}=\dfrac{20}{11}$

$t=\dfrac{120}{-110}=-\dfrac{12}{11}$

$\square$
-oOo- Ejercicio número 21 de la página 87 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}2x&+&4y&-&z&+&2t&=&0\\ x&+&y&+&z&&&=&3 \\ 5x&-&2y&-&4z&-&t&=&-12 \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
Expresando el sistema de forma matricial, $$\begin{pmatrix}2&4&-1&2\\1&1&1&0 \\ 5&-2&-4&-1\end{pmatrix}_{3\times 4}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}_{4\times 1}=\begin{pmatrix}0\\3\\-12\end{pmatrix}_{3\times 1}$$ La matriz de los coeficientes del sistema es $$A=\begin{pmatrix}2&4&-1&2\\1&1&1&0 \\ 5&-2&-4&-1\end{pmatrix}$$ y la matriz de los coeficientes ampliada con la columna de los términos independientes, $$(A|B)_{3 \times (4+1)}=\left(\begin{array}{cccc|c}2&4&-1&2&0\\1&1&1&0&3 \\ 5&-2&-4&-1&-12\end{array}\right)$$ Observemos que $\text{rango}\,A \le 3$ y que $\text{rango}\,(A|B)\le 3$. La matriz $A$ es una submatriz de la matriz $(A|B)$, por lo que estudiaremos directamente el rango de la matriz $(A|B)$. Observemos que hay una submatriz de orden $2$ cuyo determinante (menor complementario) es distinto de cero: el formado por los elementos de las dos primeras filas y las dos primeras columnas; en efecto, $\begin{vmatrix}2&4\\1&1\end{vmatrix}=-2\neq 0$, por lo que podemos afirmar que el rango de ambas matrices es al menos $2$. Veamos si es $3$. Horlando la submatriz citada, encontramos sólo tres menores de un orden mayor, $3$:

$\begin{vmatrix}2&4&-1\\1&1&1\\5&-2&-4\end{vmatrix}=39\neq 0 \Rightarrow \text{rango}\,A=\text{rango}\,(A|B)=3\overset{.}{=}r\prec n=4$ por lo que, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado con $n-r=4-3=1$ variable secundaria y $r=3$ variables principales.

Nota: Los otros dos menores complementarios son: $\begin{vmatrix}2&4&2\\1&1&0\\5&-2&-1\end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix}2&4&0\\1&1&3\\5&-2&-12\end{vmatrix}$, pero no hace falta calcularlos, habida cuenta de que ya hemos encontrado uno que es distinto de cero y con el que ya hemos podido hacer el análisis de la solución del sistema.

Procedamos ahora a calcular la solución ( que dependerá de $1$ parámetro libre, debido a que hay $1$ variable secundaria ). Escogemos una de las variables como v. secundaria, pongamos que $z$: $\lambda\overset{.}{=}z$, entendiendo $\lambda \in \mathbb{R}$ como un parámetro libre ( al que podremos asignarle tantos valores arbitrarios como queramos ). Entonces el sistema podemos escribirlo de la forma: $$\left\{\begin{matrix}2x&+&4y&-&z&=&-2\lambda\\ x&+&y&+&z&=&3 \\ 5x&-&2y&-&4z&=&-12+\lambda \end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&3\\ 2x&+&4y&-&z&=&-2\lambda\\ 5x&-&2y&-&4z&=&-12+\lambda \end{matrix}\right. $$ Reduciendo el sistema por Gauss llegamos a ( omito los pasos, por ser rutinarios - si bien tú debes hacerlos - )
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&3\\ &&2y&-&3z&=&-2\lambda-6\\ &&&&39z&=&-12\,\lambda+96 \end{matrix}\right.$$ Despejando $z$ de la última ecuación y sustituyéndola en la segunda para despejar la incógnita $y$, y, a su vez, haciendo lo propio con los resultados obtenidos sustituyéndolas en la primera ecuación para despejar finalmente la incógnita $x$, llegamos a:
$$\text{Solulción}:\left\{\begin{matrix}z=\dfrac{4}{13}\,(\lambda+8)\\\\\\ z=\dfrac{1}{13}\,(9-7\,\lambda) \\\\\\ x=\dfrac{1}{13}\,(3\,\lambda-2) \end{matrix}\right.\quad \quad \quad \text{para todo}\, \lambda \in \mathbb{R}$$ Comentario: Este conjunto de infinitos puntos representa una recta en el espacio $3$-dimensional.
$\square$

Puntualizaciones acerca de los contenidos de la semana del 19 al 25 de octubre ( Unidad Didáctica 4 - Sistemas de ecuaciones lineales con parámetros )

Lista de reproducción de vídeos:

El PROBLEMA DE LA SEMANA del 12 al 18 de octubre

Podéis elegir uno de los siguientes problemas. Solamente tenéis que enviar uno de los dos.

PROBLEMA 1
ENUNCIADO. Se considera la matriz $$\begin{pmatrix}0&0&1\\0&a&0\\-1&0&-2\end{pmatrix}$$ Determina el valor del parámetro $a$ para que se cumpla la igualdad matricial $$A^2+2A+I=O$$ donde $I$ es la matriz identidad de orden $3$ y $O$ la matriz nula de orden $3$.

SOLUCIÓN.
Calculando la matriz $A^2$ obtenemos
$A^2=AA=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&a&0\\-1&0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&1\\0&a&0\\-1&0&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&-2\\0&a^2&0\\2&0&3\end{pmatrix}$
Por lo tanto $A^2+2A+I=\begin{pmatrix}-1&0&-2\\0&a^2&0\\2&0&3\end{pmatrix}+2\,\begin{pmatrix}0&0&1\\0&a&0\\-1&0&-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=$
  $=\begin{pmatrix}-1&0&-2\\0&a^2&0\\2&0&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0&2\\0&2a&0\\-2&0&-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=$
  $=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&a^2+2a+1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$, y como esta matriz ha de ser igual a la matriz nula $O=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$, ha de cumplirse que $a^2+2a+1=0 \Leftrightarrow a=-1$
$\square$

PROBLEMA 2
ENUNCIADO. Una fábrica produce tres tipos de productos, A, B y C, que distribuye a cuatro clientes. En el mes de enero, el primer cliente compró 9 unidades de A, 5 de B y 2 de C; el segundo cliente compró 3 unidades de A, 8 de B y ninguna de C; el tercer cliente no compró nada, y el cuarto cliente compró 6 de A, 7 de B y 1 de C.

En el mes de febrero, el primer cliente y el segundo duplicaron el número de unidades que habían comprado en enero; el tercero compró 4 unidades de cada artículo, y el cuarto cliente no hizo pedido alguno.

Se pide:
a) La matriz correspondiente a las ventas de enero
b) La matriz correspondiente a las ventas de febrero
c) La matriz correspondiente a las ventas de enero y febrero
d) Si los precios respectivos de los artículos son $100$, $80$ y $90$ euros, calcula lo que factura la fábrica por sus pedidos en los meses de enero y febrero.

SOLUCIÓN.
a)
La matriz de ventas de enero es $$E=\begin{pmatrix}9&3&0&6\\5&8&0&7\\2&0&0&1\end{pmatrix}$$
b)
La matriz de ventas de enero es $$F=\begin{pmatrix}18&6&4&0\\ 10&16&4&0\\4&0&4&0\end{pmatrix}$$
b)
La matriz de ventas de enero y febrero es $E+F$, esto es
$$\begin{pmatrix}9&3&0&6\\5&8&0&7\\2&0&0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}18&6&4&0\\10&16&4&0\\4&0&4&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}27&9&4&6\\15&24&4&7\\6&0&4&1\end{pmatrix}$$
c) Los importes de los tres elementos de la factura corresponderán pues a los elementos de la matriz columna resultante de la multiplicación de matrices:
$$\begin{pmatrix}27&9&4&6\\15&24&4&7\\6&0&4&1\end{pmatrix}^T\begin{pmatrix}100\\80\\90\end{pmatrix}$$ esto es $$\begin{pmatrix}27&15&6\\9&24&0\\4&4&4\\6&7&1\end{pmatrix}_{4\times 3}\begin{pmatrix}100\\80\\90\end{pmatrix}_{3 \times 1}=\begin{pmatrix}4\,440\\2\,820\\1\,080\\1\,250\end{pmatrix}_{4 \times 1}$$ Luego la facturación total de la fábrica en los dos meses de enero y febrero por las ventas a estos cuatro clientes es igual a $4\,440+2\,820+1\,080+1\,250=9\,590$ euros. $\square$

Tarea de progresión número 1 de la semana del 12 al 18 de octubre

Ejercicio 1. ( e. 33, p.63 del libro de texto base )
ENUNCIADO.
Hállese el rango de la matriz $$\begin{pmatrix}2&-3&0&1\\6&-3&7&-2\\4&0&7&-3\end{pmatrix}$$
SOLUCIÓN. Al escalonar la matriz por Gauss, veréis que la última fila es identicamente nula, luego el número de filas no identicamente nulas ( de la matriz escalonada ) es $2$, por lo tanto el rango de la matriz es $2$. $\square$


Ejercicio 2. ( e. 22, p.59 del libro de texto base )
ENUNCIADO.
En el caso de que exista, hállese la matriz inversa asociada a la matriz $$\begin{pmatrix}6&3&1\\-5&-3&-1\\5&4&1\end{pmatrix}$$
SOLUCIÓN. Al escalonar esta matriz ( de $3$ filas y $3$ columnas, esto es, de orden $n=3$ ) por Gauss, encontraréis que el número de filas no identicamente nulas ( de la matriz escalonada ) es $3$, luego el rango de la matriz es $3$, que es igual al orden de la matriz, luego la matriz dada es regular ( inversible ). Calculando la matriz inversa asociada a dicha matriz - que os recuerdo que es única - podéis comprobar ( yo he utilizado el método de Gauss-Jordan ) que es la siguiente: $$\begin{pmatrix}1&-1/2&-1/9\\0&1&-1/9\\0&0&1\end{pmatrix}$$ $\square$


Ejercicio 3. ( e. 18, p.57 del libro de texto base )
ENUNCIADO.
Hállese el determinante de la matriz $$\begin{pmatrix}1&-7&8\\-1&9&5\\0&6&-4\end{pmatrix}$$

ENUNCIADO.
En el caso de que exista, hállese la matriz inversa asociada a la matriz $$\begin{pmatrix}6&3&1\\-5&-3&-1\\5&4&1\end{pmatrix}$$
SOLUCIÓN. Yo he aplicado directamente la regla de Sarrus - se podría haber utilizada el desarrollo ( tomando cualquier fila o columna ) por adjuntos ( de los elementos de dicha fila/columna ) -, y he encontrado el siguiente resultado: $$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}6&3&1\\-5&-3&-1\\5&4&1\end{vmatrix}=$$
$=\left( 1\cdot 9 \cdot (-4)+5\cdot (-7)\cdot 0 + (-1)\cdot 6\cdot 8 \right) - \left( 0 \cdot 9 \cdot 8 + 6 \cdot 5 \cdot 1 + (-1)\cdot (-7)\cdot (-4)\right)$
$$=-86$$
$\square$

Puntualizaciones a los contenidos de la semana del 12 al 18 de octubre

Lista de reproducción de vídeos:

Contenidos de la semana del 5 al 11 de octubre ( lista de reproducción de vídeos )

OPERACIONES CON MATRICES:


APLICACIONES DE LAS MATRICES A LOS GRAFOS:

El Problema de la Semana ( semana del 5 al 11 de octubre )

Podéis elegir uno de los siguientes problemas. Solamente tenéis que enviar uno de los dos.

PROBLEMA 1
ENUNCIADO. Un comerciante de telas vende cada metro un $30,2\,\%$ más caro que el precio al que lo compra. Desea aumentar sus ganancias sin incrementar los precios ( haciendo trampas, claro ), para lo cual decide emplear un falso metro para medir la tela delante de sus clientes. ¿ Cuánto ha de medir ese falso metro para que sus ganancias pasen a ser del $40\,\%$ ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $v_1$ el ingreso por la venta de una longitud $\ell$ de tela en la situación en la que el patrón de medida $m$ no esté alterado y por $v_2$ el ingreso por la venta de la misma longitud $\ell$ en la situación en la que se ha alterado dicho patrón. Denotaremos por $c$ el precio el gasto por la compra. Si el patrón de medida no está alterado, $m:=1$ metro; en cambio, cuando ha sido alterado una cantidad $k$, el patrón de medida es $1-k$ ( en metros ). Denominaremos $p_v$ al precio de venta ( por unidad de longitud de tela ). Entonces, por la definición de tasa de variación: $$\dfrac{v_1-c}{c}=0,302 \quad \quad (1)$$ y $$\dfrac{v_2-c}{c}=0,40\quad \quad (2)$$

Teniendo en cuenta que $v_1=\dfrac{\ell}{m}\,p_v$ y $v_2=\dfrac{\ell}{m-k}\,p_v$. Y como $m=1$, podemos escribir (1) y (2) de la forma: $$\dfrac{\ell\,p_v-c}{c}=0,302$$ y $$\dfrac{(\ell/(1-k))\,p_v-c}{c}=0,40$$ de donde se desprende que $$\ell\,p_v=1,302 \quad \quad (3)$$ y $$(\ell/(1-k))\,p_v=1,40\quad \quad (4)$$ Dividiendo miembro a miembro (3) entre (4) llegamos a $$1-k=\dfrac{1,302}{1,40}$$ de donde despejando $k$ se obtiene $k=\dfrac{1,40-1,302}{1,40}=0,07\,\text{m}=7\,\text{cm}$
$\square$

PROBLEMA 2
ENUNCIADO. Hállese la ecuación $y=ax^2+bx+c$ de una parábola que pasa por los puntos $P_{1}=(-1,-10)$, $P_2=(1,-6)$ y $P_3=(2,-13)$

SOLUCIÓN.
Como las coordenadas de cada uno de los puntos tienen que satisfacer la ecuación de la parábola, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}-10=(-1)^2\,a+(-1)\,b+c\\ -6=1^2\,a+1\,b+c \\-13=2^2\,a+2\,b+c\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}-10=a-b+c\\ -6=a+b+c \\-13=4\,a+2\,b+c\end{matrix}\right.$$ Procedemos a reducir el sistema con las siguientes combinaciones entre ecuaciones: $e_1-e_2 \rightarrow e_2$ y $-4\,e_1+e_3 \rightarrow e_3$. Así obtenemos el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}-10=a-b+c\\ -4=-2b \\27=6b-3c\end{matrix}\right.$$ Despejando $b$ de la segunda ecuación llegamos a $b=2$. Sustituyendo este valor en la tercera, y depejando $c$, se obtiene $c=-5$. Y, sustituyendo estos dos valores obtenidos en la primera ecuación y despejando $a$, tenemos que $a=-3$. Por consiguiente, la ecuación de la parábola pedida es $$y=-3\,x^2+2\,x-5$$ $\square$

Tarea de progresión número 1 de la semana del 5 al 11 de octubre

. Ejercicio número 13 de la página 35 del libro base
. Ejercicio número 14 de la página 35 del libro base
. Ejercicio número 19 de la página 37 del libro base
. Ejercicio número 20 de la página 37 del libro base

SOLUCIONES.
La siguiente lista de reproducción consta de 2 vídeos; el primero trata de los ejercicios 13 y 14, y el segundo de los ejercicios 19 y 20. Tras finalizar el primero, se reproduce automáticamente el segundo.

FE DE ERRATAS: En el tercer paso del problema 19, el último elemento de la matriz elevada al cubo tiene que ser un '3' y no un '4' ( al transcribirlo a la pantalla me equivoqué, aunque los cálculos podéis comprobar que son correctos ). Y, también, al final al referirme al único elemento que varía, me refiero a él como el elemento "(...) de la esquina superior derecha", cuando debería haber dicho "(...) al elemento de la esquina inferior derecha". Esas cosas pasan de vez en cuando en las grabaciones. Y más a estas horas de la noche. Disculpas.

Tarea de progresión número 2 de la semana del 12 al 18 de octubre

Ejercicio 1.
ENUNCIADO.
Se consideran las matrices
$$A=\begin{pmatrix}3&1\\\;-6&-2\end{pmatrix}$$ y $$B=\begin{pmatrix}1&-3\\\;-1&2\end{pmatrix}$$ a) Calcúlese $A^{15}$ e indíquese si la matriz $A$ tiene inversa.
b) Calcúlese el determinante de la matriz $(B\,A^t\,B^{-1}-2\,I)^3$
Nota: $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$ e $I$ es la matriz identidad de orden $2$


SOLUCIÓN.
a) Obsérvese que $A^2=\begin{pmatrix}3&1\\\;-6&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\\;-6&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\\;-6&-2\end{pmatrix}$, luego $A^{n}=A$ para todo entero $n$ positivo. Decimos que la matriz $A$ es idempotente. Por otra parte, como el determinante de B, $B=\begin{vmatrix}1&-3\\\;-1&2\end{vmatrix}=2\cdot 1-(-1)\cdot (-3)=2-3=-1\neq 0$, el rango de $B$ es $2$ - también puede verse esto reduciendo la matriz por Gauss y contando el número de filas no identicamente nulas, que es $2$ -, luego $B$ es una matriz regular (inversible) y éste es igual al orden de la matriz ( $n=2$ ), luego $B$ es una matriz regular (inversible).

b) Como $A=\begin{pmatrix}3&1\\\;-6&-2\end{pmatrix}$, entonces cambiando filas por columnas, en el mismo orden obtenemos la matriz traspuesta, $A^t=\begin{pmatrix}3&-6\\\;1&-2\end{pmatrix}$. Por otra parte, empleando el método de Gauss-Jordan llegamos fácilmente a calcular la matriz inversa de $B$, obteniendo ( omito el cálculo ) $B^{-1}=\begin{pmatrix}2&-3\\\;-1&-1\end{pmatrix}$. Así, $$B\,A^t\,B^{-1}-2\,I=\begin{pmatrix}1&-3\\\;-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-6\\\;1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-3\\\;-1&-1\end{pmatrix}-2\,\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=$$   $=\begin{pmatrix}1&-3\\\;-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-6\\\;1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-3\\\;-1&-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=\ldots=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-1\end{pmatrix}$, con lo cual $(B\,A^t\,B^{-1}-2\,I)^3=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&0\\0&-1\end{pmatrix}=$ $$=\ldots=\begin{pmatrix}(-2)^3&0\\0&(-1)^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8&0\\0&-1\end{pmatrix}$$ $\square$ -oOo-
Ejercicio 2. ENUNCIADO Determínese la matriz $X$ que verifica: $$\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}\,X\,=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}\,X$$

SOLUCIÓN.
En primer lugar, observemos que, para que se pueda cumplir la igualdad, $X$ ha de ser una matriz de orden $2$ ( $2 \times 2$ ). Procedemos ahora a realizar los pasos algebraicos para obtener los coeficientes de dicha matriz:
$\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}\,X\,=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}\,X$   $ \begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}\,X + \begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}\,X=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$     $ \left( \begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}\right)\,X=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$
      $ \begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}\,X=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$
        $ \text{inversa}\,\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}\,X=\text{inversa}\,\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$
          $ \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\,X=\text{inversa}\,\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$
            $ X_{3\times 3}=\text{inversa}\,\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$
              Y como ( omito los cálculos ) $\text{inversa}\,\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}\overset{\text{Gauss-Jordan}}{=}\begin{pmatrix}1/7&1/7\\-3/7&4/7\end{pmatrix}$
                $ X_{3\times 3}=\begin{pmatrix}1/7&1/7\\-3/7&4/7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$
                  $ X_{3\times 3}=\begin{pmatrix}3/7&4/7\\-2/7&16/7\end{pmatrix}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 3.
ENUNCIADO.
Sean las siguientes matrices :
$$A=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}$$ $$B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$$ $$C=\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}$$ $$I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$
Se pide resolver las siguientes ecuaciones matriciales:
a) $XA+B=I$
b) $AX+B=C$
c) $A+BX=3C$
d) $AX+BX=C$
e) $XAB-XC=4C$


SOLUCIÓN.
a)
$XA+B=I$
  $XA=I-B$
    $XAA^{-1}=(I-B)A^{-1}$
      $XI=(I-B)A^{-1}$
        $X=(I-B)A^{-1}$     (1)
Calculando $A^{-1}$ por el método de Gauss-Jordan se obtiene $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$
Por otro lado, $$I-B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+(-1)\,\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$$ Así pues, de (1): $$X=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\0&1\end{pmatrix}$$
b)
$AX+B=C$
  $AX=C-B$
    $A^{-1}AX=A^{-1}(C-B)$
      $IX=A^{-1}(C-B)$
        $X=A^{-1}(C-B)$     (1)
...
c)
$A+BX=3C$
  $BX=3C-A$
    $B^{-1}BX=B^{-1}(3C-A)$
      $IX=B^{-1}(3C-A)$
        $X=B^{-1}(3C-A)$     (2)
...
d)
$AX+BX=C$
  $(A+B)X=C$
    $A+B\overset{.}{=}D$
      $DX=C$
        $D^{-1}DX=D^{-1}C$
          $IX=D^{-1}C$
            $X=D^{-1}C$     (3)
...
e)
$XAB-XC=4C$
  $X(AB-C)=4C$
    $X(AB+(-1)C)=4C$
      $AB+(-1)C\overset{.}{=}E$
        $XE=4C$
          $XDD^{-1}=4CE^{-1}$
            $XI=4CE^{-1}$
              $X=4CE^{-1}$     (4)
... Para hacer estos cálculos, necesitamos calcular $A^{-1}$, $B^{-1}$, $D^{-1}$ y $E^{-1}$. Empleando el método de Gauss-Jordan ( omito los cálculos ) se obtiene: $A^{-1}=\ldots=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$, $B^{-1}=\ldots=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ y $D^{-1}=\ldots=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
Luego operando con las expresiones (1), (2), (3) y (4) obtenidas arriba y con las matrices que nos dan como datos, se obtiene:
a) Ya lo hemos calculado arriba. Recordemos que habíamos obtenido $X_a=\begin{pmatrix}0&-1\\0&1\end{pmatrix}$
$X_b=\ldots=\begin{pmatrix}1&-2\\2&-2\end{pmatrix}$
$X_c=\ldots=\begin{pmatrix}7&-1\\2&-3\end{pmatrix}$
$X_d=\ldots=\begin{pmatrix}-1&-1\\2&0\end{pmatrix}$
$X_e=\ldots=\begin{pmatrix}-8/3&-4/3\\-8/3&-16/3\end{pmatrix}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 4.
ENUNCIADO.
Sea la matriz de orden $n=3$ $$\begin{pmatrix}1&3&1\\1&0&8\\a&1&-6\end{pmatrix}$$ a) ¿ Para qué valores del parámetro $a$ esta matriz es regular (inversible) ?
b) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo - Se denominan así los sistemas de ecuaciones en los que los terminos independientes son nulos - para $$a:=-1$$
$$\begin{pmatrix}1&3&1\\1&0&8\\-1&1&-6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$ br>
SOLUCIÓN.
a)
Reduciendo la matriz por Gauss para determinar el rango vemos que: $\begin{pmatrix}1&3&1\\1&0&8\\a&1&-6\end{pmatrix} \begin{matrix}\\ -f_1+f_2 \rightarrow f_2 \\ -af_2+f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix} \sim \begin{pmatrix}1&3&1\\0&-3&7\\0&1&-(8a+6)\end{pmatrix} \begin{matrix}\\ \\ 3f_3+f_2\rightarrow f_3\end{matrix}\sim$

$\begin{pmatrix}1&3&1\\0&-3&7\\0&0&-3(8a+6)+7\end{pmatrix}$
Para que el elemento de la tercera fila y tercera columna sea $0$ ( el rango de la matriz será $2 \prec n=3$ ) vemos que $a=-\dfrac{11}{24}$ ( resolviendo la ecuación $-3(8a+6)+7=0$ ), luego si $a \neq -\dfrac{11}{24}$ el rango de la matriz es $3$ y coincidirá con el orden de la misma, con lo cual la matriz es regular ( inversible ) para cualquier número real de $a$ salvo para $-\dfrac{11}{24}$.

b) Resolveremos el sistema por el método de la matriz inversa. Siendo $A=\begin{pmatrix}1&3&1\\1&0&8\\-1&1&-6\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$, podemos escribir el sistema de ecuaciones de manera suscinta: $AX=B$, con lo cual $A^{-1}AX=A^{-1}B$, esto es $IX=A^{-1}B$, y por tanto, $X=A^{-1}B$. Así pues, necesitamos calcular la matriz inversa de A, $A^{-1}$. Empleando el método de Gauss-Jordan, cuyos calculos omitiré, se obtiene:
$$A^{-1}=\ldots=\begin{pmatrix}8/13&-19/13&-24/13\\2/13&5/13&7/13\\-1/13&4/13&-3/13\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$ luego $X\equiv\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8/13&-19/13&-24/13\\2/13&5/13&7/13\\-1/13&4/13&-3/13\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ y por tanto $x=y=z=0$. El sistema es compatible determinado y la solución es única, y, siendo el sistema homogéneo, és lógico que esta solución - que es una solución trivial - sea la única. $\square$

Tarea de progresión número 4 de la semana del 28 de septiembre al 4 de octubre

Ejercicio número 37, página 25 del libro base