El Problema de la Semana ( semana del 5 al 11 de octubre )

Podéis elegir uno de los siguientes problemas. Solamente tenéis que enviar uno de los dos.

PROBLEMA 1
ENUNCIADO. Un comerciante de telas vende cada metro un $30,2\,\%$ más caro que el precio al que lo compra. Desea aumentar sus ganancias sin incrementar los precios ( haciendo trampas, claro ), para lo cual decide emplear un falso metro para medir la tela delante de sus clientes. ¿ Cuánto ha de medir ese falso metro para que sus ganancias pasen a ser del $40\,\%$ ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $v_1$ el ingreso por la venta de una longitud $\ell$ de tela en la situación en la que el patrón de medida $m$ no esté alterado y por $v_2$ el ingreso por la venta de la misma longitud $\ell$ en la situación en la que se ha alterado dicho patrón. Denotaremos por $c$ el precio el gasto por la compra. Si el patrón de medida no está alterado, $m:=1$ metro; en cambio, cuando ha sido alterado una cantidad $k$, el patrón de medida es $1-k$ ( en metros ). Denominaremos $p_v$ al precio de venta ( por unidad de longitud de tela ). Entonces, por la definición de tasa de variación: $$\dfrac{v_1-c}{c}=0,302 \quad \quad (1)$$ y $$\dfrac{v_2-c}{c}=0,40\quad \quad (2)$$

Teniendo en cuenta que $v_1=\dfrac{\ell}{m}\,p_v$ y $v_2=\dfrac{\ell}{m-k}\,p_v$. Y como $m=1$, podemos escribir (1) y (2) de la forma: $$\dfrac{\ell\,p_v-c}{c}=0,302$$ y $$\dfrac{(\ell/(1-k))\,p_v-c}{c}=0,40$$ de donde se desprende que $$\ell\,p_v=1,302 \quad \quad (3)$$ y $$(\ell/(1-k))\,p_v=1,40\quad \quad (4)$$ Dividiendo miembro a miembro (3) entre (4) llegamos a $$1-k=\dfrac{1,302}{1,40}$$ de donde despejando $k$ se obtiene $k=\dfrac{1,40-1,302}{1,40}=0,07\,\text{m}=7\,\text{cm}$
$\square$

PROBLEMA 2
ENUNCIADO. Hállese la ecuación $y=ax^2+bx+c$ de una parábola que pasa por los puntos $P_{1}=(-1,-10)$, $P_2=(1,-6)$ y $P_3=(2,-13)$

SOLUCIÓN.
Como las coordenadas de cada uno de los puntos tienen que satisfacer la ecuación de la parábola, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}-10=(-1)^2\,a+(-1)\,b+c\\ -6=1^2\,a+1\,b+c \\-13=2^2\,a+2\,b+c\end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}-10=a-b+c\\ -6=a+b+c \\-13=4\,a+2\,b+c\end{matrix}\right.$$ Procedemos a reducir el sistema con las siguientes combinaciones entre ecuaciones: $e_1-e_2 \rightarrow e_2$ y $-4\,e_1+e_3 \rightarrow e_3$. Así obtenemos el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}-10=a-b+c\\ -4=-2b \\27=6b-3c\end{matrix}\right.$$ Despejando $b$ de la segunda ecuación llegamos a $b=2$. Sustituyendo este valor en la tercera, y depejando $c$, se obtiene $c=-5$. Y, sustituyendo estos dos valores obtenidos en la primera ecuación y despejando $a$, tenemos que $a=-3$. Por consiguiente, la ecuación de la parábola pedida es $$y=-3\,x^2+2\,x-5$$ $\square$