Ejemplo de cálculo de la solución de un sistema compatible determinado empleando el método de la matriz inversa

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}x&+&2y&+&z&=&1 \\ x&+&2y&+&3z&=&0 \\ x&+&y&+&2z&=&0\end{matrix}\right.$$ a) Escríbase dicho sistema en forma matricial, y, sin resolverlo, demuéstrese que se trata de un sistema compatible determinado
b) Resuélvase mediante el método de la matriz inversa.

SOLUCIÓN.
a)
$$\begin{pmatrix}1&2&1\\ 1& 2 & 3 \\ 1&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0 \\ 0\end{pmatrix}$$ que puede abreviarse de la forma $$AX=B \quad (1)$$ siendo $A$ la matriz de los coeficientes del sistema, $X$ la matriz columna con las incógnitas, y $B$ la matriz columna de los términos independientes.

Como $\text{det}(A)=2 \neq 0$, el rango de $A$ es $3$ y el rango de la matriz de los coeficientes ampliada con la columna de los términos independientes es también $3$ ya que contiene como submatriz a la matriz de los coeficientes $A$. Además, este rango común, $r=3$ es igual al número de incógnitas. Así pues, por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado.

b)
Como el rango de la matriz de los coeficientes $A$ es $3$, que es igual al orden de la matriz, dicha matriz $A$ es regular ( inversible ), luego tiene inversa. Por consiguiente, de (1), podemos calcular la matriz de las incógnitas, multiplicando por la matriz inversa por la izquierda en ambos miembros:
$AX=B$
  $A^{-1}\,AX=A^{-1}\,B$
    $I\,X=A^{-1}\,B$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $3$, con lo cual:
      $X=A^{-1}\,B \quad (2)$


El cálculo de la matriz inversa de $A$ puede realizarse a partir del método de Gauss-Jordan o bien a partir del método de la matriz de los elementos adjuntos ( cofactores ). Omito este cálculo rutinario. El resultado es: $$A^{-1}=\begin{pmatrix}1/2&-3/2&2\\ 1/2& 1/2 & -1 \\ -1/2&1/2&0\end{pmatrix}$$
Así, de (2), llegamos a: $$\begin{pmatrix}x\\y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2&-3/2&2\\ 1/2& 1/2 & -1 \\ -1/2&1/2&0\end{pmatrix}$$ esto es $$\begin{pmatrix}x\\y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/2\\1/2 \\ -1/2\end{pmatrix}$$ $\square$