Tarea de progresión número 2 de la semana del 12 al 18 de octubre

Ejercicio 1.
ENUNCIADO.
Se consideran las matrices
$$A=\begin{pmatrix}3&1\\\;-6&-2\end{pmatrix}$$ y $$B=\begin{pmatrix}1&-3\\\;-1&2\end{pmatrix}$$ a) Calcúlese $A^{15}$ e indíquese si la matriz $A$ tiene inversa.
b) Calcúlese el determinante de la matriz $(B\,A^t\,B^{-1}-2\,I)^3$
Nota: $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$ e $I$ es la matriz identidad de orden $2$


SOLUCIÓN.
a) Obsérvese que $A^2=\begin{pmatrix}3&1\\\;-6&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\\;-6&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\\;-6&-2\end{pmatrix}$, luego $A^{n}=A$ para todo entero $n$ positivo. Decimos que la matriz $A$ es idempotente. Por otra parte, como el determinante de B, $B=\begin{vmatrix}1&-3\\\;-1&2\end{vmatrix}=2\cdot 1-(-1)\cdot (-3)=2-3=-1\neq 0$, el rango de $B$ es $2$ - también puede verse esto reduciendo la matriz por Gauss y contando el número de filas no identicamente nulas, que es $2$ -, luego $B$ es una matriz regular (inversible) y éste es igual al orden de la matriz ( $n=2$ ), luego $B$ es una matriz regular (inversible).

b) Como $A=\begin{pmatrix}3&1\\\;-6&-2\end{pmatrix}$, entonces cambiando filas por columnas, en el mismo orden obtenemos la matriz traspuesta, $A^t=\begin{pmatrix}3&-6\\\;1&-2\end{pmatrix}$. Por otra parte, empleando el método de Gauss-Jordan llegamos fácilmente a calcular la matriz inversa de $B$, obteniendo ( omito el cálculo ) $B^{-1}=\begin{pmatrix}2&-3\\\;-1&-1\end{pmatrix}$. Así, $$B\,A^t\,B^{-1}-2\,I=\begin{pmatrix}1&-3\\\;-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-6\\\;1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-3\\\;-1&-1\end{pmatrix}-2\,\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=$$   $=\begin{pmatrix}1&-3\\\;-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-6\\\;1&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-3\\\;-1&-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=\ldots=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-1\end{pmatrix}$, con lo cual $(B\,A^t\,B^{-1}-2\,I)^3=\begin{pmatrix}-2&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&0\\0&-1\end{pmatrix}=$ $$=\ldots=\begin{pmatrix}(-2)^3&0\\0&(-1)^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8&0\\0&-1\end{pmatrix}$$ $\square$ -oOo-
Ejercicio 2. ENUNCIADO Determínese la matriz $X$ que verifica: $$\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}\,X\,=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}\,X$$

SOLUCIÓN.
En primer lugar, observemos que, para que se pueda cumplir la igualdad, $X$ ha de ser una matriz de orden $2$ ( $2 \times 2$ ). Procedemos ahora a realizar los pasos algebraicos para obtener los coeficientes de dicha matriz:
$\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}\,X\,=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}\,X$   $\begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix}\,X + \begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}\,X=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$     $\left( \begin{pmatrix}3&1\\-1&2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&0\\4&-1\end{pmatrix}\right)\,X=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$
      $\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}\,X=\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$
        $\text{inversa}\,\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}\,X=\text{inversa}\,\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$
          $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\,X=\text{inversa}\,\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$
            $X_{3\times 3}=\text{inversa}\,\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$
              Y como ( omito los cálculos ) $\text{inversa}\,\begin{pmatrix}4&1\\3&1\end{pmatrix}\overset{\text{Gauss-Jordan}}{=}\begin{pmatrix}1/7&1/7\\-3/7&4/7\end{pmatrix}$
                $X_{3\times 3}=\begin{pmatrix}1/7&1/7\\-3/7&4/7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$
                  $X_{3\times 3}=\begin{pmatrix}3/7&4/7\\-2/7&16/7\end{pmatrix}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 3.
ENUNCIADO.
Sean las siguientes matrices :
$$A=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}$$ $$B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$$ $$C=\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}$$ $$I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$
Se pide resolver las siguientes ecuaciones matriciales:
a) $XA+B=I$
b) $AX+B=C$
c) $A+BX=3C$
d) $AX+BX=C$
e) $XAB-XC=4C$


SOLUCIÓN.
a)
$XA+B=I$
  $XA=I-B$
    $XAA^{-1}=(I-B)A^{-1}$
      $XI=(I-B)A^{-1}$
        $X=(I-B)A^{-1}$     (1)
Calculando $A^{-1}$ por el método de Gauss-Jordan se obtiene $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$
Por otro lado, $$I-B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+(-1)\,\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$$ Así pues, de (1): $$X=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\0&1\end{pmatrix}$$
b)
$AX+B=C$
  $AX=C-B$
    $A^{-1}AX=A^{-1}(C-B)$
      $IX=A^{-1}(C-B)$
        $X=A^{-1}(C-B)$     (1)
...
c)
$A+BX=3C$
  $BX=3C-A$
    $B^{-1}BX=B^{-1}(3C-A)$
      $IX=B^{-1}(3C-A)$
        $X=B^{-1}(3C-A)$     (2)
...
d)
$AX+BX=C$
  $(A+B)X=C$
    $A+B\overset{.}{=}D$
      $DX=C$
        $D^{-1}DX=D^{-1}C$
          $IX=D^{-1}C$
            $X=D^{-1}C$     (3)
...
e)
$XAB-XC=4C$
  $X(AB-C)=4C$
    $X(AB+(-1)C)=4C$
      $AB+(-1)C\overset{.}{=}E$
        $XE=4C$
          $XDD^{-1}=4CE^{-1}$
            $XI=4CE^{-1}$
              $X=4CE^{-1}$     (4)
... Para hacer estos cálculos, necesitamos calcular $A^{-1}$, $B^{-1}$, $D^{-1}$ y $E^{-1}$. Empleando el método de Gauss-Jordan ( omito los cálculos ) se obtiene: $A^{-1}=\ldots=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}$, $B^{-1}=\ldots=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ y $D^{-1}=\ldots=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
Luego operando con las expresiones (1), (2), (3) y (4) obtenidas arriba y con las matrices que nos dan como datos, se obtiene:
a) Ya lo hemos calculado arriba. Recordemos que habíamos obtenido $X_a=\begin{pmatrix}0&-1\\0&1\end{pmatrix}$
$X_b=\ldots=\begin{pmatrix}1&-2\\2&-2\end{pmatrix}$
$X_c=\ldots=\begin{pmatrix}7&-1\\2&-3\end{pmatrix}$
$X_d=\ldots=\begin{pmatrix}-1&-1\\2&0\end{pmatrix}$
$X_e=\ldots=\begin{pmatrix}-8/3&-4/3\\-8/3&-16/3\end{pmatrix}$
$\square$
-oOo-
Ejercicio 4.
ENUNCIADO.
Sea la matriz de orden $n=3$ $$\begin{pmatrix}1&3&1\\1&0&8\\a&1&-6\end{pmatrix}$$ a) ¿ Para qué valores del parámetro $a$ esta matriz es regular (inversible) ?
b) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo - Se denominan así los sistemas de ecuaciones en los que los terminos independientes son nulos - para $$a:=-1$$
$$\begin{pmatrix}1&3&1\\1&0&8\\-1&1&-6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$ br>
SOLUCIÓN.
a)
Reduciendo la matriz por Gauss para determinar el rango vemos que: $\begin{pmatrix}1&3&1\\1&0&8\\a&1&-6\end{pmatrix} \begin{matrix}\\ -f_1+f_2 \rightarrow f_2 \\ -af_2+f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix} \sim \begin{pmatrix}1&3&1\\0&-3&7\\0&1&-(8a+6)\end{pmatrix} \begin{matrix}\\ \\ 3f_3+f_2\rightarrow f_3\end{matrix}\sim$

$\begin{pmatrix}1&3&1\\0&-3&7\\0&0&-3(8a+6)+7\end{pmatrix}$
Para que el elemento de la tercera fila y tercera columna sea $0$ ( el rango de la matriz será $2 \prec n=3$ ) vemos que $a=-\dfrac{11}{24}$ ( resolviendo la ecuación $-3(8a+6)+7=0$ ), luego si $a \neq -\dfrac{11}{24}$ el rango de la matriz es $3$ y coincidirá con el orden de la misma, con lo cual la matriz es regular ( inversible ) para cualquier número real de $a$ salvo para $-\dfrac{11}{24}$.

b) Resolveremos el sistema por el método de la matriz inversa. Siendo $A=\begin{pmatrix}1&3&1\\1&0&8\\-1&1&-6\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$, podemos escribir el sistema de ecuaciones de manera suscinta: $AX=B$, con lo cual $A^{-1}AX=A^{-1}B$, esto es $IX=A^{-1}B$, y por tanto, $X=A^{-1}B$. Así pues, necesitamos calcular la matriz inversa de A, $A^{-1}$. Empleando el método de Gauss-Jordan, cuyos calculos omitiré, se obtiene:
$$A^{-1}=\ldots=\begin{pmatrix}8/13&-19/13&-24/13\\2/13&5/13&7/13\\-1/13&4/13&-3/13\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$ luego $X\equiv\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8/13&-19/13&-24/13\\2/13&5/13&7/13\\-1/13&4/13&-3/13\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ y por tanto $x=y=z=0$. El sistema es compatible determinado y la solución es única, y, siendo el sistema homogéneo, és lógico que esta solución - que es una solución trivial - sea la única. $\square$