El PROBLEMA DE LA SEMANA del 12 al 18 de octubre

Podéis elegir uno de los siguientes problemas. Solamente tenéis que enviar uno de los dos.

PROBLEMA 1
ENUNCIADO. Se considera la matriz $$\begin{pmatrix}0&0&1\\0&a&0\\-1&0&-2\end{pmatrix}$$ Determina el valor del parámetro $a$ para que se cumpla la igualdad matricial $$A^2+2A+I=O$$ donde $I$ es la matriz identidad de orden $3$ y $O$ la matriz nula de orden $3$.

SOLUCIÓN.
Calculando la matriz $A^2$ obtenemos
$A^2=AA=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&a&0\\-1&0&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0&1\\0&a&0\\-1&0&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0&-2\\0&a^2&0\\2&0&3\end{pmatrix}$
Por lo tanto $A^2+2A+I=\begin{pmatrix}-1&0&-2\\0&a^2&0\\2&0&3\end{pmatrix}+2\,\begin{pmatrix}0&0&1\\0&a&0\\-1&0&-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=$
  $=\begin{pmatrix}-1&0&-2\\0&a^2&0\\2&0&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0&2\\0&2a&0\\-2&0&-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=$
  $=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&a^2+2a+1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$, y como esta matriz ha de ser igual a la matriz nula $O=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$, ha de cumplirse que $a^2+2a+1=0 \Leftrightarrow a=-1$
$\square$

PROBLEMA 2
ENUNCIADO. Una fábrica produce tres tipos de productos, A, B y C, que distribuye a cuatro clientes. En el mes de enero, el primer cliente compró 9 unidades de A, 5 de B y 2 de C; el segundo cliente compró 3 unidades de A, 8 de B y ninguna de C; el tercer cliente no compró nada, y el cuarto cliente compró 6 de A, 7 de B y 1 de C.

En el mes de febrero, el primer cliente y el segundo duplicaron el número de unidades que habían comprado en enero; el tercero compró 4 unidades de cada artículo, y el cuarto cliente no hizo pedido alguno.

Se pide:
a) La matriz correspondiente a las ventas de enero
b) La matriz correspondiente a las ventas de febrero
c) La matriz correspondiente a las ventas de enero y febrero
d) Si los precios respectivos de los artículos son $100$, $80$ y $90$ euros, calcula lo que factura la fábrica por sus pedidos en los meses de enero y febrero.

SOLUCIÓN.
a)
La matriz de ventas de enero es $$E=\begin{pmatrix}9&3&0&6\\5&8&0&7\\2&0&0&1\end{pmatrix}$$
b)
La matriz de ventas de enero es $$F=\begin{pmatrix}18&6&4&0\\ 10&16&4&0\\4&0&4&0\end{pmatrix}$$
b)
La matriz de ventas de enero y febrero es $E+F$, esto es
$$\begin{pmatrix}9&3&0&6\\5&8&0&7\\2&0&0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}18&6&4&0\\10&16&4&0\\4&0&4&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}27&9&4&6\\15&24&4&7\\6&0&4&1\end{pmatrix}$$
c) Los importes de los tres elementos de la factura corresponderán pues a los elementos de la matriz columna resultante de la multiplicación de matrices:
$$\begin{pmatrix}27&9&4&6\\15&24&4&7\\6&0&4&1\end{pmatrix}^T\begin{pmatrix}100\\80\\90\end{pmatrix}$$ esto es $$\begin{pmatrix}27&15&6\\9&24&0\\4&4&4\\6&7&1\end{pmatrix}_{4\times 3}\begin{pmatrix}100\\80\\90\end{pmatrix}_{3 \times 1}=\begin{pmatrix}4\,440\\2\,820\\1\,080\\1\,250\end{pmatrix}_{4 \times 1}$$ Luego la facturación total de la fábrica en los dos meses de enero y febrero por las ventas a estos cuatro clientes es igual a $4\,440+2\,820+1\,080+1\,250=9\,590$ euros. $\square$