Tarea de progresión número 3 de la semana del 28 de septiembre al 4 de octubre

Ejercicio número 21, apartados (a) y (b), de la página 24 del libro base

ENUNCIADO.
No se pide que se encutre la solución ( caso de existir ), sino simplemente que se analicen estos dos sitemas, después de realizar la reducción por Gauss.

a)
$\left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&2 \\ 2x&-&y&+&3z&=&2\\ 5x&-&y&+&z&=&6\end{matrix}\right.\quad \begin{matrix}\\ (-2)\cdot e_1+e_2 \rightarrow e_2 \\ (-5)\cdot e_1+e_3 \rightarrow e_3 \end{matrix} \quad \quad \sim$

$\left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&2 \\ &&-3y&-&z&=&-2\\ &&-6y&-&9z&=&-4\end{matrix}\right. \quad \sim \left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&2 \\ &&3y&+&z&=&2\\ &&6y&+&9z&=&4\end{matrix}\right.$

$\begin{matrix}\\ \\ (-2)\cdot e_2+e_3 \rightarrow e_3 \end{matrix} \quad \sim \quad \left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&2 \\ &&3y&+&z&=&2\\ &&&&7z&=&0\end{matrix}\right.$

Como el número de ecuaciones no identicamente nulas del sistema equivalente (reducido por Gauss) es $3$, luego el rango del sistema es $r=3$, que coincide con el número de incógnitas ( $n=3$ ), de lo cual se desprende que el sistema es compatible determinado.


b)
$\left\{ \begin{matrix}x&+&2y&+&z&=&9 \\ 2x&-&y&+&2z&=&-2\\ x&+&y&+&2z&=&8\end{matrix}\right.\quad \begin{matrix}\\ (-2)\cdot e_1+e_2 \rightarrow e_2 \\ (-1)\cdot e_1+e_3 \rightarrow e_3 \end{matrix} \quad \quad \sim$

$\left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&2 \\ &&-5y&&&=&-20\\ &&-y&+&z&=&-1\end{matrix}\right. \quad \sim \left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&2 \\ &&y&&&=&4\\ &&y&-&z&=&1\end{matrix}\right.$

$\begin{matrix}\\ \\ (-1)\cdot e_2+e_3 \rightarrow e_3 \end{matrix} \quad \sim \quad \left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&2 \\ &&y&&&=&4\\ &&&&-z&=&-3\end{matrix}\right. \quad \sim$

$$\quad \sim \quad \left\{ \begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&2 \\ &&y&&&=&4\\ &&&&z&=&3\end{matrix}\right.$$

Como en el caso precedente, tenemos que el número de ecuaciones no identicamente nulas del sistema equivalente (reducido por Gauss) es $3$, luego el rango del sistema es $r=3$, que coincide con el número de incógnitas ( $n=3$ ), y por tanto el sistema es compatible determinado.

$\square$