Tarea de progresión número 2 de la semana del 2 al 8 de noviembre

Ejercicio 12 de la página 55 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Sabiendo que: $$\begin{vmatrix}a& b & c \\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix}=2$$ calcula el siguiene deterinante y explica las propiedades que utilices: $$\begin{vmatrix}a+2b & c & b \\ d+2e & f & e \\ g+2h & i & h\end{vmatrix}$$
SOLUCIÓN.
$$\begin{vmatrix}a+2b & c & b \\ d+2e & f & e \\ g+2h & i & h\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a & c & b \\ d & f & e \\ g & i & h\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2b & c & b \\ 2e & f & e \\2h & i & h\end{vmatrix}=$$

$$=-\begin{vmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & i & h\end{vmatrix}+2\,\begin{vmatrix}b & c & b \\ e & f & e \\h & i & h\end{vmatrix}=-2+0=-2$$ $\square$


-oOo- Ejercicio 24 de la página 59 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Considera la matriz $A$ que dependen de un parámetro $a$: $$A=\begin{pmatrix}a^2 & a & 1 \\ 2a & a+1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ a) ¿ Para qué valores de $a$ tiene $A$ inversa ? Justifica la respuesta
b) Para $a:=0$, halla la inversa de $A$
SOLUCIÓN.
a)
Para que una matriz $A$ de orden $n$ tenga matriz inversa, es condición necesaria y suficiente que su determinante sea distinto de cero. Decimos entonces que la matriz $A$ es regular ( o inversible ). Entonces, $\begin{vmatrix}a^2 & a & 1 \\ 2a & a+1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(a-1)^3=0 \Leftrightarrow a=1$. Por consiguiente, $A$ tiene inversa si y sólo si $a\neq 1$.
b) Para $a:=0$, $A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, y se puede comprobar ( por el método de Gauss-Jordan, o bien por el de la matriz de los cofactores ) que la matriz inversa asociada es $A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\square$


-oOo- Ejercicio 35 de la página 63 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Calcula el rango de la matriz $A$ según los diferentes valores del parámetro $a$: $$A=\begin{pmatrix}2 & 0 & a & 2\\ -1&0&-1&3\\ 5 & a+4& -4 & -3\end{pmatrix}$$ SOLUCIÓN.



-oOo- Ejercicio 50 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Dado el siguiente sistema: $$\left\{\begin{matrix}x&&&+&z&=&1 \\ &&y&+&(a+1)\,z&=&0 \\ x&+&(a-1)\,y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right.$$ a) Discute el sistema según los valores del parámetro de $a$
b) Resuelve el sistema en todos los casos de compatibilidad.

SOLUCIÓN.


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