ENUNCIADO.
Sean las matrices: $A=\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\\-2&2\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}-2&2&0\\3&-1&1\end{pmatrix}$
¿ Se cumple la igualdad $\text{rango}(AB)=\text{rango}(A)\cdot \text{rango}(B)$ ? Justifica la respuesta.
SOLUCIÓN.
Los rangos de $A$ y de $B$ son a lo sumo $2$ pues es sabido que $\text{rango}\le\text{mín}(\{m,n\})=2$, donde $m$ y $n$ indican el número de filas/columnas de una matriz $m\times n$ o $n\times m$. Para la matriz $A$, encontramos al menos un menor complementario formado por los elementos de las dos primeras filas y de las dos columnas de $A$ es $\begin{vmatrix}1&0\\1&-1\end{vmatrix}=-1\neq 0$, luego el $\text{rango}\,A=2$; por otra parte, para la matriz $B$, encontramos también un menor complementario (formado por los elementos de las dos filas y de las dos primeras columnas que es distinto de cero, en efecto, $\begin{vmatrix}-2&2\\3&-1\end{vmatrix}=-4\neq 0$, luego el $\text{rango}\,B=2$. Así pues, $\text{rango}\,A \cdot \text{rango}\,B= 2 \cdot 2 = 4 \ge \text{rango}\,AB$, ya que al ser $A_{3\times 2}B_{2\times 3}$ un matriz $3\times 3$, su rango no puede ser $4$. Por consiguiente, la igualdad propuesta es falsa.
$\square$
ENUNCIADO.
Sea considera la matriz: $A=\begin{pmatrix}1&x&-1\\1&1&1\\x&x&0\end{pmatrix}$. Se pide:
a) Los valores de $x$ para los que no exista la inversa de la matriz $A$
b) Para $x:=3$, calcula, si es posible, la inversa $A^{-1}$ de la matriz $A$
SOLUCIÓN.
a) Para que no exista la matriz inversa de $A$, su determinante ha de ser nulo, entonces $\begin{vmatrix}1&x&-1\\1&1&1\\x&x&0\end{vmatrix}\overset{\text{Sarrus}}{=}x\,(x-1)=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\\\x-1=0\Rightarrow x=1\end{matrix}\right.$. Así pues, para $x\in \{0,1\}$ la matriz $A$ no tiene matriz inversa.
b) Como $3 \notin \{0,1\}$, la matriz $A$ sí tiene inversa para $x:=3$. Para este valor, la matriz $A$ es $\begin{pmatrix}1&3&-1\\1&1&1\\3&3&0\end{pmatrix}$. Y utilizando el método de Gauss-Jordan ( del cual omito los cálculos, por ser tratarse de un ejercicio rutinario ), obtendemos $$A^{-1}=\begin{pmatrix}-1/2&-1/2&2/3\\1/2&1/2&-1/3\\0&1&-1/3\end{pmatrix}$$ Nota: Puede comprobarse que $A\,A^{-1}=A^{-1}\,A=I$, donde $I$ es la matriz identidad $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
$\square$
ENUNCIADO.
Resuelve la ecuación matricial $A^2\,X=2B$, siendo $A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&-3\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&-1&4\\0&-3&1\end{pmatrix}$
SOLUCIÓN.
$A^2\,X=2B$
$AA\,X=2B$
$A^{-1}\,AA\,X=2A^{-1}\,B$
$IA\,X=2A^{-1}\,B$
$A\,X=2A^{-1}\,B$
$A^{-1}\,A\,X=2A^{-1}\,A^{-1}\,B$
$IX=2A^{-1}\,A^{-1}\,B$
$2\,(A^{-1})_{2\times 2}^2\,B_{2\times 3}=X_{2\times 3}\quad \quad (1)$
Fácilmente, calculamos la matriz inversa asociada a $A$:, que resulta ser ( omito los cálculos que he hecho por Gauss-Jordan ) $A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\2&-1\end{pmatrix}$, luego $(A^{-1})^2=\begin{pmatrix}3&-1\\2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&-2\\4&-1\end{pmatrix}$ por lo que $2\,(A^{-1})^2=\begin{pmatrix}14&-4\\8&-2\end{pmatrix}$. Por tanto, de (1), vemos que $X=\begin{pmatrix}14&-4\\8&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1&4\\0&-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14&-2&52\\8&-2&30\end{pmatrix}$
$\square$
ENUNCIADO.
Halla el rango de la matriz $A=\begin{pmatrix}1&3&-5&0\\-1&2&4&7\\1&5&-1&7\end{pmatrix}$
SOLUCIÓN.
Es sabido que $\text{rango}(A_{m\times n}\ge \text{mín}(\{m,n\})$ y como $m=3$ y $n=4$, tenemos que $\text{rango}(A)\le 3$. Por otra parte, seleccionando la submatriz formada por los elementos de las dos primeras filas y las dos primeras columnas, vemos que su determinante el menor complementario ( el determinante ) es $\begin{vmatrix}1&3\\-1&2\end{vmatrix}=5\neq 0 \Rightarrow$ el $\text{rango}(A)$ es, al menos, $2$. Veamos ahora si es $3$. Para ello, horlamos esa submatriz de orden $2$ seleccionada (cuyo determinante es distinto de $0$), y nos aparecen únicamente dos menores de orden $3$: $\begin{vmatrix}1&3&-5\\-1&2&4\\1&5&-1\end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix}1&3&0\\-1&2&7\\1&5&7\end{vmatrix}$; calculando el primero, vemos que es igual a $22$, por lo que, al ser no nulo, ya podemos afirmar que $\text{rango}\,A=$ orden de dicho determinante ( menor complementario ) $=3$. Nota: No hace falta calcular el otro menor de orden $3$ que ha aparecido en el horlado, pues con uno cuyo valor sea distinto de $0$ ya podemos decidir el rango ( que es igual al orden de dicho menor complementario.
$\square$
ENUNCIADO.
Se considera la matriz $A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\1&1&k\\1&-1&2\end{pmatrix}$. Se pide:
a) ¿ Para qué valores del parámetro $k$ tiene $A$ inversa ? Justifica la respuesta.
b) Para $k:=-5$, calcula la matriz inversa $A^{-1}$
SOLUCIÓN.
a)
Para que la matriz $A_{3\times 3}$ tenga matriz inversa es necesario y suficiente que tenga rango igual a $3$, lo que conlleva que su determinante sea distinto de $0$. Calculando dicho determinante encontramos:
$\begin{vmatrix}2&-1&-1\\1&1&k\\1&-1&2\end{vmatrix}=k+8=0\Leftrightarrow k=-8$, luego para valores de $k$ distintos de $-8$, la matriz $A$ es regular ( es inversible ).
b)
Calculemos la matriz inversa de $A$ para el caso en que $k:=-5$. Así, la matriz es $A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\1&1&-5\\1&-1&2\end{pmatrix}$. Utilizando el método de Gauss-Jordan ( omito los pasos por tratarse de un cálculo rutinario, si bien tú debes hacerlos ) se llega a $$A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1&2\\-7/3&5/3&3\\-2/3&1/3&1\end{pmatrix}$$ Nota: Puede comprobarse que $A\,A^{-1}=A^{-1}\,A=I$, donde $I$ es la matriz identidad $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
$\square$
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema compatible utilizando el método de Cramer $$\left\{\begin{matrix}4x&+&4y&+&5z&+&5t&=&0\\ 2x&&&+&3z&-&t&=&10 \\ x&+&y&-&5z&&&=&-10 \\ &&3y&+&2z&&&=&1 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Expresando el sistema de forma matricial, $$\begin{pmatrix}4&4&5&5\\2&0&3&-1 \\ 1&1&-5&0\\ 0&1&2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\10\\-10\\1\end{pmatrix}$$ Y, como es sabido, $x=\dfrac{\text{det}\,A_{1}}{\text{det}\,A}$, $y=\dfrac{\text{det}\,A_{2}}{\text{det}\,A}$, $z=\dfrac{\text{det}\,A_{3}}{\text{det}\,A}$ y $t=\dfrac{\text{det}\,A_{4}}{\text{det}\,A}$, siendo: $$\text{det}\,A=\begin{vmatrix}4&4&5&5\\2&0&3&-1 \\ 1&1&-5&0\\ 0&1&2&0\end{vmatrix}\overset{\text{Laplace}}{=}-110$$
$$\text{det}\,A_1=\begin{vmatrix}0&4&5&5\\10&0&3&-1 \\ -10&1&-5&0\\ 1&1&2&0\end{vmatrix}\overset{\text{Laplace}}{=}-190$$
$$\text{det}\,A_2=\begin{vmatrix}4&0&5&5\\2&10&3&-1 \\ 1&-10&-5&0\\ 0&1&2&0\end{vmatrix}\overset{\text{Laplace}}{=}290$$
$$\text{det}\,A_3=\begin{vmatrix}4&4&0&5\\2&0&10&-1 \\ 1&1&-10&0\\ 0&1&1&0\end{vmatrix}\overset{\text{Laplace}}{=}-200$$
$$\text{det}\,A_4=\begin{vmatrix}4&4&5&0\\2&0&3&10 \\ 1&1&-5&-10\\ 0&1&2&1\end{vmatrix}\overset{\text{Laplace}}{=}120$$ Por consiguiente:
$x=\dfrac{-190}{-110}=\dfrac{19}{11}$
$y=\dfrac{290}{-110}=-\dfrac{29}{11}$
$z=\dfrac{-200}{-110}=\dfrac{20}{11}$
$t=\dfrac{120}{-110}=-\dfrac{12}{11}$
$\square$
ENUNCIADO.
Discute y resuelve, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}2x&+&4y&-&z&+&2t&=&0\\ x&+&y&+&z&&&=&3 \\ 5x&-&2y&-&4z&-&t&=&-12 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Expresando el sistema de forma matricial, $$\begin{pmatrix}2&4&-1&2\\1&1&1&0 \\ 5&-2&-4&-1\end{pmatrix}_{3\times 4}\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}_{4\times 1}=\begin{pmatrix}0\\3\\-12\end{pmatrix}_{3\times 1}$$ La matriz de los coeficientes del sistema es $$A=\begin{pmatrix}2&4&-1&2\\1&1&1&0 \\ 5&-2&-4&-1\end{pmatrix}$$ y la matriz de los coeficientes ampliada con la columna de los términos independientes, $$(A|B)_{3 \times (4+1)}=\left(\begin{array}{cccc|c}2&4&-1&2&0\\1&1&1&0&3 \\ 5&-2&-4&-1&-12\end{array}\right)$$ Observemos que $\text{rango}\,A \le 3$ y que $\text{rango}\,(A|B)\le 3$. La matriz $A$ es una submatriz de la matriz $(A|B)$, por lo que estudiaremos directamente el rango de la matriz $(A|B)$. Observemos que hay una submatriz de orden $2$ cuyo determinante (menor complementario) es distinto de cero: el formado por los elementos de las dos primeras filas y las dos primeras columnas; en efecto, $\begin{vmatrix}2&4\\1&1\end{vmatrix}=-2\neq 0$, por lo que podemos afirmar que el rango de ambas matrices es al menos $2$. Veamos si es $3$. Horlando la submatriz citada, encontramos sólo tres menores de un orden mayor, $3$:
$\begin{vmatrix}2&4&-1\\1&1&1\\5&-2&-4\end{vmatrix}=39\neq 0 \Rightarrow \text{rango}\,A=\text{rango}\,(A|B)=3\overset{.}{=}r\prec n=4$ por lo que, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado con $n-r=4-3=1$ variable secundaria y $r=3$ variables principales.
Nota: Los otros dos menores complementarios son: $\begin{vmatrix}2&4&2\\1&1&0\\5&-2&-1\end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix}2&4&0\\1&1&3\\5&-2&-12\end{vmatrix}$, pero no hace falta calcularlos, habida cuenta de que ya hemos encontrado uno que es distinto de cero y con el que ya hemos podido hacer el análisis de la solución del sistema.
Procedamos ahora a calcular la solución ( que dependerá de $1$ parámetro libre, debido a que hay $1$ variable secundaria ). Escogemos una de las variables como v. secundaria, pongamos que $z$: $\lambda\overset{.}{=}z$, entendiendo $\lambda \in \mathbb{R}$ como un parámetro libre ( al que podremos asignarle tantos valores arbitrarios como queramos ). Entonces el sistema podemos escribirlo de la forma: $$\left\{\begin{matrix}2x&+&4y&-&z&=&-2\lambda\\ x&+&y&+&z&=&3 \\ 5x&-&2y&-&4z&=&-12+\lambda \end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&3\\ 2x&+&4y&-&z&=&-2\lambda\\ 5x&-&2y&-&4z&=&-12+\lambda \end{matrix}\right. $$ Reduciendo el sistema por Gauss llegamos a ( omito los pasos, por ser rutinarios - si bien tú debes hacerlos - )
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&3\\ &&2y&-&3z&=&-2\lambda-6\\ &&&&39z&=&-12\,\lambda+96 \end{matrix}\right.$$ Despejando $z$ de la última ecuación y sustituyéndola en la segunda para despejar la incógnita $y$, y, a su vez, haciendo lo propio con los resultados obtenidos sustituyéndolas en la primera ecuación para despejar finalmente la incógnita $x$, llegamos a:
$$\text{Solulción}:\left\{\begin{matrix}z=\dfrac{4}{13}\,(\lambda+8)\\\\\\ z=\dfrac{1}{13}\,(9-7\,\lambda) \\\\\\ x=\dfrac{1}{13}\,(3\,\lambda-2) \end{matrix}\right.\quad \quad \quad \text{para todo}\, \lambda \in \mathbb{R}$$ Comentario: Este conjunto de infinitos puntos representa una recta en el espacio $3$-dimensional.
$\square$
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