ENUNCIADO.
Sea la región convexa del plano dada por las siguientes inecuaciones (región factible): $$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix}5x+2y-10\ge 10 \\ x-y-2 \le 0 \\ 3x+4y-20 \le 0 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0\end{matrix}\right.$$ a) Representa gráficamente dicha región y calcula las coordenadas de sus vértices
b) Determina en qué punto ( o puntos ) la función ( función objetivo ) $f(x,y)=4x+3y$ alcanza el máximo
SOLUCIÓN.
Asignando a $y$ el papel de la variable dependiente y a $x$ el papel de variable independiente, podemos escribir el sistema de inecuaciones de la forma $$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} y &\ge& -\dfrac{5}{2}\,x&+&5&&&(1)\\ y &\ge& x&-&2&&&(2) \\ y& \le& -\dfrac{3}{4}\,x&+&5&&& (3)\\ x&\ge& 0&&&&&(4) \\ y &\ge& 0&&&&& (5) \end{matrix}\right.$$ Así, las ecuaciones de las rectas que contienen los lados de la región factible escritas en forma explícita son:
$$\left\{\begin{matrix} r_1\equiv y &=& -\dfrac{5}{2}\,x&+&5\\ r_2\equiv y &=& x&-&2 \\r_3\equiv y& =& -\dfrac{3}{4}\,x&+&5\\ r_4\equiv x&=& 0 \\ r_5\equiv y &=& 0\end{matrix}\right.$$
Teniendo en cuenta el sentido de las desigualdades, la región factible que se obtiene es el triángulo de vértices $A(2,0)$, $B(0,5)$ y $C(4,2)$, coordenadas que se calculan teniendo en cuenta que $A \in r_5 \cap r_1$, $B \in r_1 \cap r_3$ y $C \in r_2 \cap r_3$
La ecuación del haz de rectas paralelas asociado a la función objetivo es $y=-\dfrac{4}{3}\,x+\dfrac{k}{3}$, donde $k\overset{.}{=}f(x,y)$. Fijando el valor de $k$, pongamos que a $0$, representamos una de dichas rectas ( la que pasa por el origen de coordenadas ), cuya ecuación es $y=-\dfrac{4}{3}\,x$ [ las coordenadas de una pareja de puntos que permite representar dicha recta representante de la familia son $(0,0)$ y $(3,-4)$ ]; trazando las rectas paralelas a esa recta, vemos que el valor máximo de la ordenada en el origen, $\dfrac{k}{3}$ corresponde a la recta que pasa por el vértice $C(4,2)$ de la región factible, luego $k$ ( esto es, el valor de la función objetivo ) también alcanza un máximo de este modo. Dicho máximo de la función objetivo es igual al valor de dicha función para las coordenadas del punto $C$, es decir $f_{\text{máximo}}(x,y)=f(4,2)=4\cdot 4+3\cdot 2=22$. Omito el gráfico ( hacedlo vosotras, por favor, para que podáis comprobar lo que os estoy explicando ), no obstante, el máximo se encuentra también haciendo un estudio analítico: calculando el valor que toma la función en cada uno de los vértices de la región factible y seleccionando el mayor de todos ellos.
Como la región factible es acotada, también alcanza $f(x,y)$ el valor mínimo; sin embargo, como no se pide en el enunciado, y aunque es evidente el punto de la región factible por el que tenemos que hacer pasar la recta que da el valor mínimo de $f(x,y)$, no lo calculo. Como añadido al problema, os propongo que lo hagáis vosotras.
$\square$
Ejercicio 16 de la página 104 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una fábrica produce confitura de albaricoque y confitura de ciruela. El doble de la producción de confitura de ciruela es menor o igual que la producción de confitura de albaricoque más $800$ unidades. Además, el triple de la producción de confitura de albaricoque más el doble de la producción de confitura de ciruela es menor o igual que $2\,400$ unidades.
Cada unidad de confitura de albaricoque produce un beneficio de $60$ euros, y cada unidad de confitura de ciruela $80$ euros. ¿ Cuántas unidades de cada tipo de confitura se tienen que producir para obtener el beneficio máximo ?.
SOLUCIÓN
FE DE ERRATAS DEL VÍDEO: En la primera cuarta parte del vídeo he escrito $f(a,c)=60a+80a$, cuando debería haber escrito $f(a,c)=60a+80c$. Este error de transcripción a la hora de escribir en la pizarra no afecta al resto del vídeo, ya que después ya escribo la función objetivo tal como debe ser.
Ejercicio 20 de la página 105 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Sea la región convexa del plano dada por las siguientes inecuaciones (región factible): $$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix}x+y\ge 8 \\ x\le y \\ x\ge 0 \\ y\ge 0\end{matrix}\right.$$ a) Representa gráficamente dicha región y calcula las coordenadas de sus vértices
b) Mínimiza la función (objetivo) $f(x,y)=23x+14y$ teniendo en cuenta las restricciones.
SOLUCIÓN.
Asignando a $y$ el papel de la variable dependiente y a $x$ el papel de variable independiente, podemos escribir el sistema de inecuaciones de la forma $$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} y &\ge& -x&+&8&&&(1)\\ y &\ge& x&&&&&(2) \\ x&\ge& 0&&&&&(3) \\ y &\ge& 0&&&&& (4) \end{matrix}\right.$$ Así, las ecuaciones de las rectas que contienen los lados de la región factible escritas en forma explícita son:
$$\left\{\begin{matrix} r_1\equiv y &=& -x&+&8\\ r_2\equiv y &=& x&& \\ r_3\equiv x&=& 0 \\ r_4\equiv y &=& 0\end{matrix}\right.$$
Teniendo en cuenta el sentido de las desigualdades, la región factible que se obtiene no está acotada por la parte superior, así que la función objetivo no presenta máximo, pero sí mínimo ( por estar acotada por la parte inferior ). Así las cosas ( omito la representación gráfica, dejando que vosotras lo hagáis ), la región factible solamente tiene dos vértices: $A(4,4)$ y $B(0,8)$ [ estas coordenadas que se calculan teniendo en cuenta que $A \in r_1 \cap r_2$ y $B \in r_1 \cap r_3$.
La ecuación del haz de rectas paralelas asociado a la función objetivo es $y=-\dfrac{23}{14}\,x+\dfrac{k}{14}$, donde $k\overset{.}{=}f(x,y)$. Fijando el valor de $k$, pongamos que a $0$, representamos una de dichas rectas ( la que pasa por el origen de coordenadas ), cuya ecuación es $y=-\dfrac{23}{14}\,x$ [ las coordenadas de una pareja de puntos que permite representarla son $(0,0)$ y $(7,-23/2)$ ]; trazando las rectas paralelas a esa recta, vemos que el valor mínimo que toma la ordenada en el origen, $\dfrac{k}{3}$ corresponde a la recta que pasa por el vértice $B(0,8)$ de la región factible, luego $k$ ( esto es, el valor de la función objetivo ) también alcanza un mínimo de este modo. Dicho mínimo de la función objetivo es igual al valor de dicha función para las coordenadas del punto $B$, es decir $f_{\text{mínimo}}(x,y)=f(0,8)=23\cdot 0+14\cdot 8=112$.
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Ejercicio 24 de la página 105 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Sea la región convexa del plano dada por las siguientes inecuaciones (región factible): $$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix}x+y\ge 2 \\ x-y\le 0 \\ y\le 4 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0\end{matrix}\right.$$ a) Representa gráficamente dicha región y calcula las coordenadas de sus vértices
b) Determina el máximo y el mínimo de la función $f(x,y)=12x+4y$ teniendo en cuenta las restricciones.
SOLUCIÓN.
Asignando a $y$ el papel de la variable dependiente y a $x$ el papel de variable independiente, podemos escribir el sistema de inecuaciones de la forma $$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} y &\ge& -x&+&2&&&(1)\\ y &\ge& x&&&&&(2) \\ y& \le& 4&&&& (3)\\ x&\ge& 0&&&&&(4) \\ y &\ge& 0&&&&& (5) \end{matrix}\right.$$ Así, las ecuaciones de las rectas que contienen los lados de la región factible escritas en forma explícita son:
$$\left\{\begin{matrix} r_1\equiv y &=& -x&+&2\\ r_2\equiv y &=& x&& \\r_3\equiv y& =& 4&&\\ r_4\equiv x&=& 0 \\ r_5\equiv y &=& 0\end{matrix}\right.$$
Teniendo en cuenta el sentido de las desigualdades, la región factible que se obtiene es el cuadrilátero de vértices $A(0,2)$, $B(0,4)$, $C(4,4)$ y $D(1,1)$, coordenadas que se calculan teniendo en cuenta que $A \in r_1 \cap r_4$, $B \in r_3 \cap r_4$, $C \in r_2 \cap r_4$, y $D \in r_1 \cap r_2$
La ecuación del haz de rectas paralelas asociado a la función objetivo es $y=-3\,x+\dfrac{k}{4}$, donde $k\overset{.}{=}f(x,y)$. Fijando el valor de $k$, pongamos que a $0$, representamos una de dichas rectas ( la que pasa por el origen de coordenadas ), cuya ecuación es $y=-\dfrac{4}{3}\,x$ [ las coordenadas de una pareja de puntos que permite representar dicha recta representante de la familia son $(0,0)$ y $(1,-3)$ ]; trazando ahora las rectas paralelas a esa recta, vemos que el valor máximo de la ordenada en el origen, $\dfrac{k}{4}$ corresponde a la recta que pasa por el vértice $C(4,4)$ de la región factible, luego $k$ ( esto es, el valor de la función objetivo ) también alcanza un máximo de este modo. Dicho máximo de la función objetivo es igual al valor de dicha función para las coordenadas del punto $C$, es decir $f_{\text{máximo}}(x,y)=f(4,4)=12\cdot 4+4\cdot 4=64$, y el mínimo, para la recta que pasa por el vértice $A(0,2)$, siendo dicho mínimo igual a $f_{\text{mínimo}}(x,y)=f(0,2)=12\cdot 0+4\cdot 2=8$. Omito el gráfico ( hacedlo vosotras, por favor, para que podáis comprobar lo que os estoy explicando ), no obstante, tanto el máximo el mínimo se pueden obtener también haciendo un estudio analítico: calculando el valor que toma la función en cada uno de los vértices de la región factible y seleccionando el mayor y el menor de todos ellos.
Obsérvese que, como la región factible es acotada, hemos podido encontrar tanto el máximo como el mínimo de la función objetivo.
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