ENUNCIADO.
Un agricultor puede sembrar trigo (en $5$ hectáreas como máximo) y centeno (en $7$ hectáreas como máximo). La producción de trigo por cada hectárea sembrada es de $5$ toneladas, mientras que la producción de centeono por cada hectárea sembrada es de $2$ toneladas, y puede producir un máximo de $29$ toneladas entre los dos cereales.
Si el beneficio que obtiene el agricultor por cada tonelada de trigo es de $290$ euros y el beneficio por cada tonelada de centeno es de $240$ euros, ¿ qué número de hectáreas ha de sembrar de cada cultivo para maximizar los beneficios ?.
SOLUCIÓN.
Denotamos por $t$ la extensión ( en hectáreas ) del cultivo de trigo, y por $c$ la extensión ( en hectáreas ) del cultivo de centeno. Según el enunciado, el sistema de restricciones que describen la región factible es $\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix}5t+2c\le 29 \\ c \ge 0\\ t\ge 0\end{matrix}\right.$ esto es ( considerenado $t$ como variable dependiente y $c$ como v. independiente ), $\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix}t\le -\dfrac{2}{5}\,c+\dfrac{29}{5} \\ c \ge 0\\ t\ge 0\end{matrix}\right.$. Por otra parte, la función objetivo, que describe los beneficios, es $f(c,t)=290\,t+240\,c$. Al representar gráficamente $\mathcal{R}$, vemos que ésta corresponde a un triángulo rectángulo de vértices $O(0,0)$, $A(0,29/5)$ y $B(29/2,0)$, y que el valor máximo de la función objetivo se alcanza con la recta de la función objetivo que pasa por $B(29/2,0)$, y es igual a $f(29/2,0)=290\cdot \dfrac{29}{2}+0=4\,205$ por tonelada de cereal. $\square$
Ejercicio 42 de la página 108 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una empresa se dedica a la fabricación de frascos de perfume y de agua de colonia, a partir de tres factores productivos: $F_1$, $F_2$ y $F_3$.
Las unidades de dichos factores utilizadas en la producción de cada tipo de frasco se detallan en la siguiente tabla:
|--------------------------------------------| | | Perfume | Agua de colonia | |--------------------------------------------| | F_1 | 1 | 2 | |--------------------------------------------| | F_2 | 2 | 0 | ---------------------------------------------| | F_3 | 0 | 4 | |--------------------------------------------|
Sabiendo que el precio de venta de un frasco de perfume es de $50$ euros, el de agua de colonia es de $20$ euros, y que la empresa dispone de $240$ unidades de $F_1$, $360$ de $F_2$ y $440$ de $F_3$:
a) Calcula el número de frascos de cada tipo que debe fabricar la empresa para maximizar sus beneficios. Explica los pasos seguidos para obtener la respuesta.
b) ¿ Se cosumen todas las existencias de $F_1, F_2$ y $F_3$ en la producción de los frascos que maximiza los beneficios ?.
SOLUCIÓN.
a)
Denotando por $p$ al número de frascos de perfume y por $a$ al número de frascos de colonia, podemos escribir la función objetivo ( beneficio ) como $f(p,a)=20a+50p$, la cual tendremos que maximizar atendiendo, según la información del enunciado, al siguiente sistema de restricciones:
$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} p+2a \le 180 \\ 2p \le 360 \\ 4a \le 440 \\ p\ge 0 \\ a \ge 0 \end{matrix}\right.$$ Eligiendo $p$ como variable dependiente y $a$ como variable independiente, podemos escribir:
$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} p &\le& -2a&+&240&&&(1)\\ p &\le& 180&&&&&(2) \\ a& \le&110&&&&& (3)\\ p&\ge& 0&&&&&(4) \\ a &\ge& 0&&&&& (5) \end{matrix}\right.$$
Así, las ecuaciones de las rectas que contienen los lados de la región factible escritas en forma explícita son:
$$\left\{\begin{matrix} r_1\equiv p &=& -2a&+&240\\ r_2\equiv p &=&180&& \\r_3\equiv a& =& 110&&\\ r_4\equiv p&=& 0 \\ r_5\equiv a &=& 0\end{matrix}\right.$$
Teniendo en cuenta el sentido de las desigualdades, la región factible que se obtiene es el pentágono de vértices $O(0,0)$, $A(0,240)$, $B(30,180)$,$C(110,20)$ y $D(110,0)$, coordenadas que se calculan teniendo en cuenta que $O\in r_4\cap r_5$, $A \in r_2 \cap r_5$, $B \in r_1 \cap r_2$, $C \in r_1 \cap r_3$, y $D \in r_1 \cap r_2$
La ecuación del haz de rectas paralelas asociado a la función objetivo es $p=-\dfrac{2}{5}\,a+\dfrac{k}{50}$, donde $k\overset{.}{=}f(x,y)$. Fijando el valor de $k$, pongamos que a $0$, representamos una de dichas rectas ( la que pasa por el origen de coordenadas ), cuya ecuación es $y=-\dfrac{2}{5}\,x$ [ las coordenadas de una pareja de puntos que permite representar dicha recta representante de la familia son $(0,0)$ y $(50,-10)$ ]; trazando ahora las rectas paralelas a esa recta, vemos que el valor máximo de la ordenada en el origen, $\dfrac{k}{50}$ corresponde a la recta que pasa por el vértice $B(30,180)$ de la región factible, luego $k$ ( esto es, el valor de la función objetivo ) también alcanza un máximo de este modo. Dicho máximo de la función objetivo es igual al valor de dicha función para las coordenadas del punto $B$, es decir $f_{\text{máximo}}(a,p)=f(30,180)=20\cdot 30+50\cdot 180=9\,600$ euros
Nota: De manera complementaria, podemos comprobar de manera analítica que el máximo obtenido, calculando el valor que toma la función en cada uno de los vértices de la región factible:
$f_{O}(0,0)=0\cdot 0+0\cdot 180=0 \prec f_{B}(30,180)=9\,600$
$f_{A}(0,180)=20\cdot 0+50\cdot 180=9\,000 \prec f_{B}(30,180)=9\,600$
$f_{C}(110,20)=20\cdot 110+50\cdot 20=3\,200 \prec f_{B}(30,180)=9\,600$
$f_{D}(110,0)=20\cdot 110+0\cdot 20=2\,200 \prec f_{B}(30,180)=9\,600$
b)
Según la tabla que muestra la composición de cada frasco de agua de colonia y de cada frasco de perfume vemos que:
el número de factores $F_1$ requeridos para alcanzar el máximo beneficio es pues $2\cdot 30+1\cdot 180=240$, así pues no van a sobrar componentes de tipo $F_1$
el número de factores $F_2$ requeridos para alcanzar el máximo beneficio es pues $0\cdot 30+2\cdot 180=360$, así pues no van sobrar componentes de tipo $F_2$
el número de factores $F_3$ requeridos para alcanzar el máximo beneficio es pues $4\cdot 30+0\cdot 180=120 \prec 440$, así pues van sobrar $440-120=320$ unidades de componentes de tipo $F_3$
$\square$
Ejercicio 43 de la página 108 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un concesionario de coches vende dos modelos: el modelo A, con el que gana $1000$ euros por unidad vendida, y el B, con el que gana $500$ euros por unidad vendida. El número $x$ de coches del modelo A debe verificar $50\le x\le 75$. El número de coches $y$ del modelo B debe ser mayor o igual que el número de coches vendidos del modelo A.
Sabiendo que el máximo de coches que puede vender es de $400$, determina cuántos coches debe vender de cada modelo para que su beneficio sea máximo.
SOLUCIÓN.
La función objetivo es $f(x,y)=1000x+500y$, que, en el caso que nos ocupa, tendremos que maximizar. Por otra parte, el sistema de restricciones viene dado por:
$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} x\le 75 \\ x\ge 50 \\ y \ge x \\ x+y \le 400 \\ x\ge 0 \\ y\ge 0 \end{matrix}\right.$$ Eligiendo $p$ como variable dependiente y $a$ como variable independiente, podemos escribir:
$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} x &\le& 75&&&&&(1)\\ x &\ge& 50&&&&&(2) \\ y &\ge & x&& &&&(3)\\ y&\le& -x&+&400&&&(4) \\ x &\ge& 0&&&&& (5) \\ y &\ge& 0&&&&& (6) \end{matrix}\right.$$
Las ecuaciones de las rectas que contienen los lados de la región factible escritas en forma explícita son:
$$\left\{\begin{matrix} r_1\equiv x &=& 75&&\\ r_2\equiv x &=&50&& \\r_3\equiv y& =& x&&\\ r_4\equiv y&=&-x&+&400 \\ r_5\equiv x &=& 0 \\ r_6\equiv y &=& 0\end{matrix}\right.$$
Teniendo en cuenta el sentido de las desigualdades, la región factible que se obtiene es el cuadrilátero de vértices $A(50,50)$, $B(50,350)$, $C(75,325)$ y $D(75,75)$, coordenadas que se calculan teniendo en cuenta que $A\in r_2\cap r_3$, $B \in r_2 \cap r_4$, $C \in r_1 \cap r_4$ y $D \in r_1 \cap r_3$
La ecuación del haz de rectas paralelas asociado a la función objetivo es $y=-\dfrac{1000}{500}\,x+\dfrac{k}{500}$, donde $k\overset{.}{=}f(x,y)$. Fijando el valor de $k$, pongamos que a $0$, representamos una de dichas rectas ( la que pasa por el origen de coordenadas ), cuya ecuación es $y=-2\,x$ [ las coordenadas de una pareja de puntos que permite representar dicha recta representante de la familia son $(0,0)$ y $(100,-200)$ ]; trazando ahora las rectas paralelas a esa recta, vemos que el valor máximo de la ordenada en el origen, $\dfrac{k}{500}$ corresponde a la recta que pasa por el vértice $C(75,325)$ de la región factible, luego $k$ ( esto es, el valor de la función objetivo ) también alcanza un máximo de este modo. Dicho máximo de la función objetivo es igual al valor de dicha función para las coordenadas del punto $C$, es decir $f_{\text{máximo}}(x,y)=f(75,325)=1000\cdot 75+500\cdot 325=237\,500$ euros
Nota: De manera complementaria, podemos comprobar de manera analítica que el máximo obtenido, calculando el valor que toma la función en cada uno de los vértices de la región factible:
$f_{A}(50,50)=1000\cdot 50+500\cdot 50=75\,000 \prec f_{C}(75,325)=237\,500$
$f_{B}(50,350)=1000\cdot 350+500\cdot 350=225\,000 \prec f_{C}(75,325)=237\,500$
$f_{D}(75,75)=1000\cdot 75+500\cdot 75=112\,500 \prec f_{C}(75,325)=237\,500$
$\square$
Ejercicio 44 de la página 108 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un cliente de un banco dispone de $30\,000$ euros para adquirir fondos de inversión. El banco le ofrece dos tipos de fondos, A y B. El de tipo A tienen una rentabilidad del $12\,\%$ y unas limitaciones legales de $12\,000$ euros de inversión máxima; el del tipo B presenta una rentabilidad del $8\,\%$ sin ninguna limitación. Además, este cliente desea invertir en los fondos de tipo B, como máximo, el doble de lo invertido en los fondos de tipos A.
a) ¿ Qué cantidad de dinero debe invertir en cada tipo de fondo para obtener un beneficio máximo ?
b) ¿ Cuál será el valor de dicho beneficio máximo ?.
SOLUCIÓN.
a)
Denotando por $a$ al dinero invertido en fondos A, y por $b$ al dinero invertido en fondos B, podemos escribir la función objetivo ( beneficio ) como $f(a,b)=\dfrac{12}{100}\,a+\dfrac{8}{100}\,b$, esto es $f(a,b)=\dfrac{3}{25}\,a+\dfrac{2}{25}\,b$, la cual tendremos que maximizar atendiendo, según la información del enunciado, al siguiente sistema de restricciones:
$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} a+b \le 30\,000 \\ a \le 12\,000 \\ b \le 2a \\ a\ge 0 \\ b \ge 0 \end{matrix}\right.$$ Eligiendo $b$ como variable dependiente y $a$ como variable independiente, podemos escribir:
$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} b &\le& -a&+&30\,000&&&(1)\\ a &\le& 12\,000&&&&&(2) \\ b& \le&2a&&&&& (3)\\ a&\ge& 0&&&&&(4) \\ b &\ge& 0&&&&& (5) \end{matrix}\right.$$
Así, las ecuaciones de las rectas que contienen los lados de la región factible escritas en forma explícita son:
$$\left\{\begin{matrix} r_1\equiv b &=& -a&+& 30\,000\\ r_2\equiv a &=& 12\,000&& \\r_3\equiv b& =& 2a&&\\ r_4\equiv a&=& 0 \\ r_5\equiv b &=& 0\end{matrix}\right.$$
Teniendo en cuenta el sentido de las desigualdades, la región factible ( véase la figura de abajo ) que se obtiene es el triángulo de vértices $O(0,0)$, $A(0,30\,000)$ y $B(10\,000,20\,000)$, coordenadas que se calculan teniendo en cuenta que $O\in r_3 \cap r_4 \cap r_5$, $A \in r_1 \cap r_4$ y $B \in r_1 \cap r_3$
La ecuación del haz de rectas paralelas asociado a la función objetivo es $b=-\dfrac{3}{2}\,x+\dfrac{25}{2}\,k$, donde $k\overset{.}{=}f(x,y)$. Fijando el valor de $k$, pongamos que a $0$, representamos una de dichas rectas ( la que pasa por el origen de coordenadas ), cuya ecuación es $b=-\dfrac{3}{2}\,a$ [ las coordenadas de una pareja de puntos que permite representar dicha recta representante de la familia son $(0,0)$ y $(10\,0000,-15\,000)$ ]; trazando ahora las rectas paralelas a esa recta, vemos que el valor máximo de la ordenada en el origen, $\dfrac{25}{3}\,k$ corresponde a la recta que pasa por el vértice $C(75,325)$ de la región factible, luego $k$ ( esto es, el valor de la función objetivo ) también alcanza un máximo de este modo. Dicho máximo de la función objetivo es igual al valor de dicha función para las coordenadas del punto $B$, es decir $f_{\text{máximo}}(b,a)=f(10\,000,20\,000)=\dfrac{3}{25}\cdot 10\,000+\dfrac{2}{25}\cdot 20\,000=2\,800$ euros.
Nota: Obsérvese que al ser la ordenada máxima, $\left(\dfrac{25}{2}\,k \right)_{\text{máxima}}$ igual a $35\,000$ ( véase la gráfica), se tiene que $\dfrac{25}{2}\,k=35\,000 \Rightarrow k_{\text{máxima}} \equiv f_{\text{máxima}}=\dfrac{35\,000 \cdot 2}{25}=2\,800$.
$\square$
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