ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema por el método de Cramer:
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&2z&=&6\\ 2x&+&3y&-&7z&=&16 \\ 5x&+&2y&+&z&=&16 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
$$x=\dfrac{\begin{vmatrix}6&1&-2\\16&3&-7\\16&2&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-2\\2&3&-7\\5&2&1\end{vmatrix}}=3$$
$$y=\dfrac{\begin{vmatrix}1&6&-2\\2&16&-7\\5&16&1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-2\\2&3&-7\\5&2&1\end{vmatrix}}=1$$
$$z=\dfrac{\begin{vmatrix}1&1&6\\2&3&16\\5&2&16\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&1&-2\\2&3&-7\\5&2&1\end{vmatrix}}=-1$$ $\square$
Ejercicio número 9 de la página 79 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve matricialmente el siguiente sistema:
$$\begin{pmatrix}5&8&1\\ 3&-2&6 \\ 2&1&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ -7 \\ -5 \end{pmatrix}$$
SOLUCIÓN.
Voy a utilizar el método de la matriz inversa. Podemos escribir el sistema de manera abreviada, en forma de ecuación matricial, $AX=B$ ( donde $A$ es la matriz de los coeficientes del sistema, $X$ es la matriz columna de las incógnitas, y $B$ es la matriz columna de los términos independientes; con lo cual, $X=A^{-1}\,B$. Calculando la matriz inversa de $A$, que es regular, y por tanto el sistema es compatible determinado, pues $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|B)=3=n$ (teorema de Rouché-Fröbenius). Calculando la matriz inversa de $A$ ( omito los cálculo, si bien vosotras tenéis que realizarlos, para practicar )se obtiene, $$A^{-1}=\begin{pmatrix}-4/107&9/107&50/107 \\ 15/107 &-7/107&-27/107 \\ 7/107&11/107&-34/107\end{pmatrix}$$ Así pues, $$\begin{pmatrix}x\\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4/107&9/107&50/107 \\ 15/107 &-7/107&-27/107 \\ 7/107&11/107&-34/107\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\ -7 \\ -5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ esto es: $x=-3$, $y=2$, $z=1$
$\square$
Ejercicio número 13, apartado b, de la página 81 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $a$:
$$\left\{\begin{matrix}3x&+&10y&=&-4\\ ax&+&y&=&1 \\ x&+&3y&=&-1 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Por comodidad, reordeno las ecuaciones:
$$\left\{\begin{matrix} x&+&3y&=&-1\\ 3x&+&10y&=&-4 \\ ax&+&y&=&1 \end{matrix}\right.$$ Podemos escribir el sistema en forma matricial:
$$\begin{pmatrix}1&3\\3&10\\a&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-4\\1\end{pmatrix}$$ que abreviamos de la forma $AX=B$
Escribamos ahora la matriz de los coeficientes ampliada, $(A|B)$, y reduzcámosla por Gauss:
$\left(\begin{array}{cc|c} 1&3&-1\\3&10&-4\\a&1&1 \end{array}\right) \begin{matrix}\\ -3\,f_1+f_2\rightarrow f_2\\-a\,f_1+f_3\rightarrow f_3\end{matrix} \sim \left(\begin{array}{cc|c} 1&3&-1\\0&1&-1\\0&1-3a&1+a \end{array}\right)\sim$
$ \sim \begin{matrix}\\\\-(1-3a)\,f_2+f_3 \rightarrow f_3 \end{matrix} \quad \left(\begin{array}{cc|c} 1&3&-1\\0&1&-1\\0&0&2\,(1-a) \end{array}\right)$
Por el teorema de Rouché-Fröbenius, podemos distinguir dos casos:
I. Si $a=1$, entonces $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|B)=2=n$ ( $n$ es el número de incógnitas ), luego el sistema es compatible determinado.
II. Si $a\neq 1$, entonces $\text{rango}(A)=2\neq\text{rango}(A|B)=3$, luego el sistema es incompatible.
$\square$
Ejercicio número 12, apartado b, de la página 81 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $k$:
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ kx&&&+&2z&=&0 \\ 2x&-&y&+&kz&=&0 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Podemos escribir el sistema en forma matricial:
$$\begin{pmatrix}1&1&1\\k&0&2\\2&-1&k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$ que abreviamos de la forma $AX=O$, donde $O$ es la matriz columna de los términos independientes, que es nula ( se dice que el sistema es homogéneo )
Escribamos ahora la matriz de los coeficientes ampliada, $(A|B)$:
$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&1&0\\k&0&2&0\\2&-1&k&0 \end{array}\right)$$
Analicemos el rango por menores complementarios: $\begin{vmatrix} 1&1&1\\k&0&2\\2&-1&k\end{vmatrix}=-(k^2+k-6)=0\Leftrightarrow k\notin\{-3,2\}$, luego en tal caso (I) $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|0)=3=n$ y el sistema es compatible determinado, siendo la solución $x=y=z=0$ ( solución trivial ); en caso contrario (II), $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|0)=2\prec n=3$ ( ya que al menos el menor complementario $\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}=2\neq 0$ ), por lo que el sistema es ahora compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria ( la solución dependerá de 1 parámetro libre, por lo que representará una recta en el espacio 3-dimensional ). $\square$
Ejercicio número 11, apartado a, de la página 81 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $a$:
$$\left\{\begin{matrix}ax&+&y&+&z&=&1\\ x&+&ay&+&z&=&a \\ x&+&y&+&az&=&a^2 \end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Voy a resolverlo de una forma alternativa a la que se muestra en un ejercicio similar en el apartado 3.1 ( página 80 ) del libro de texto base. En primer lugar, y por comodidad, reordeno el sistema de ecuaciones para que la ecuación que tenga coeficiente igual a $1$ para la primera incógnita ( en el orden 'xyz' ) sea la primera ecuación:
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&az&=&a^2 \\ x&+&ay&+&z&=&a \\ax&+&y&+&z&=&1 \end{matrix}\right.$$ La matriz de los coeficientes ampliada es:
$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&a&a^2\\1&a&1&a\\a&1&1&1 \end{array}\right)$$ Reduciéndola por Gauss ( obtenemos matrices equivalentes en rango ): $\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&a&a^2\\1&a&1&a\\a&1&1&1 \end{array}\right) \begin{matrix}\\-f_1+f_2\rightarrow f_2 \\ -a\,f_1+f_3\rightarrow f_3\end{matrix} \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&a&a^2\\0&a-1&1-a&a\,(1-a)\\0&1-a&(1-a)(1+a)&1-a^3 \end{array}\right)$
y mediante la operación elemental $f_1+f_3\rightarrow f_3$ llegamos a $\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&a&a^2\\0&a-1&1-a&a\,(1-a)\\0&0&(1-a)(1+a)+(1-a)&1-a^3+a\,(1-a) \end{array}\right)$
o lo que es lo mismo ( factorizando los polinomios en $a$ y simplificando los elementos que podamos )
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&a&a^2\\0&a-1&1-a&a\,(1-a)\\0&0&(1-a)(a+2)&(1-a)(a+1)^2 \end{array}\right)$$
Con lo cual ya podemos ver que, por el teorema de Rouché-Fröbenius:
I. Si $a=1$ las dos últimas filas son identicamente nulas, con lo cual $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|B)\overset{.}{=}r=1\prec n=3$, y el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-1=2$ variables secundarias ( la solución dependerá de $2$ parámetros libres, y por tanto representará un plano en el espacio afín 3-dimensional ).
II. Si $a=-2$, $\text{rango}(A)=2\neq \text{rango}(A|B)=3$, y el sistema es incompatible.
III. Si $a\notin \{-2,1\}$, $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|B)\overset{.}{=}r=3=n$, y el sistema es compatible determinado ( la solución es un punto en el espacio afín 3-dimensional )
$\square$
Ejercicio número 47 de la página 89 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas $x,y,z,t$:
$$\left\{\begin{matrix}x&+&2y&+&z&&&=&0\\&&y&+&2z&+&t&=&0\\ 2x&+&2ky&&&-&t&=&0 \end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Encuentra los valores del parámetro $k$ para los que el rango de la matriz de los coeficientes del sistema es $2$
b) Resuelve el sistema para $k:=0$
SOLUCIÓN.
a)
Como se trata de un sistema homogéneo ( los términos independientes son nulos ), bastará con estudiar el rango de la matriz de los coeficientes del sistema, que es:
$$\left(\begin{array}{cccc} 1&2&1&0\\0&1&2&1\\2&2k&0&-1 \end{array}\right)$$ Reduciéndola por Gauss ( obtenemos matrices equivalentes en rango ):
$\begin{pmatrix} 1&2&1&0\\0&1&2&1\\2&2k&0&-1 \end{pmatrix}\begin{matrix}\\ \\ -2f_1+f_3\rightarrow f_3 \end{matrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\0&1&2&1\\0&2(k-2)&-2&-1 \end{pmatrix} \sim$
$\sim \begin{matrix}\\ \\ -2(k-2)\,f_2+f_3\rightarrow f_3 \end{matrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2&1&0\\0&1&2&1\\0&0&-2(2k-3)&-2(2k-3) \end{pmatrix}$. El rango de esta matriz es $2$ si $2k-3=0$ ( pues la última fila es identicamente nula en tal caso ), para lo cual es necesario que $k=\dfrac{3}{2}$. En tal caso $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|0)\overset{.}{=}r=2\prec n=4$, luego, según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado con $n-r=4-2=2$ variables secundarias ( 2 parámetros libres en la solución ).
b)
Para $k:=0$, $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|0)\overset{.}{=}r=3\prec n=4$ y el sistema sigue siendo compatible indeterminado, pero con $n-r=4-3=1$ variable secundaria ( 1 parámetro libre en la solución ). Para este valor de $k$ el sistema equivalente (reducido por Gauss) queda:
$$\left\{\begin{matrix}x&+&2y&+&z&&&=&0\\&&y&+&2z&+&t&=&0\\ &&&&6z&+&3t&=&0 \end{matrix}\right.$$ Eligiendo una de las cuatro variables - pongamos que $t$ - como variable secundaria: $\lambda \overset{.}{=}z$ podemos reescribir el sistema de la forma:
$$\left\{\begin{matrix}x&+&2y&+&z&&&=&0\\&&y&+&2z&&&=&-\lambda\\ &&&&6z&&&=&-3\lambda \end{matrix}\right.$$ Despejando $z$ de la tercera ecuación, obtenemos $z=-\dfrac{1}{2}\,\lambda$, y sustituyendo este valor en la segunda ecuación para despejar $y$, obtenemos $y=0$; a su vez, sustituyendo estos dos resultados en la primera ecuación y despejando $x$, se llega a $x=\dfrac{1}{2}\,\lambda$. Por tanto, podemos indicar la solución de la forma $$\{(x,y,z,t)=\left(\dfrac{1}{2}\,\lambda,0,-\dfrac{1}{2}\,\lambda,\lambda\right):\lambda \in \mathbb{R}\}$$ $\square$
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