El PROBLEMA DE LA SEMANA del 19 al 25 de octubre

Elegid únicamente una de las dos opciones:


OPCIÓN 1: Ejercicio número 39 de la página 25 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un tren transporta $540$ viajeros, y la recaudación del importe de sus billetes asciende a $4\,250$ euros. Calcula cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que asciende a $10$ euros, cuántos han pagado el $80\,\%$ del billete y cuántos han pagado el $50\,\%$, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el $50\,\%$ es la mitad del número de viajeros que pagaron el $80\,\%$.


SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ al número de viajeros que pagan el $100\,\%$ del coste del billete; por $y$, al número de viajeros que pagan el $80\,\%$ del coste del mismo, y por $z$ al resto de pasajeros ( que pagan el $50\,\%$ del coste del billete ). Según la información del enunciado, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones:
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=470 \\ 10\,x&+&0,8\cdot 10\,y&+&0,5\cdot 10\,z&=4\,250 \\ &&\dfrac{1}{2}\,y&-&z&=0 \end{matrix}\right.$, que podemos escribir de la forma:

$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=470 \\ 10\,x&+&\dfrac{4}{5}\cdot 10\,y&+&\dfrac{1}{2}\cdot 10\,z&=4\,250 \\ &&\dfrac{1}{2}\,y&-&z&=0 \end{matrix}\right.$, o lo que es lo mismo:

$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=470 \\ 10\,x&+&8\,y&+&5\,z&=4\,250 \\ &&y&-&2\,z&=0 \end{matrix}\right. \begin{matrix}\\ -10\,e_1+e_2\rightarrow e_2\end{matrix} \sim$

$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=470 \\ &-&2\,y&-&5\,z&=-450 \\ &&y&-&2\,z&=0 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=470 \\ &&2\,y&+&5\,z&=450 \\ &&y&-&2\,z&=0 \end{matrix}\right. \sim$

$\begin{matrix}\\ \\ -2\,e_3+e_2\rightarrow e_3 \end{matrix} \sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=470 \\ &&2\,y&+&5\,z&=450 \\ &&&&9\,z&=450 \end{matrix}\right. \sim$

Y por sustitución retrógrada:
$$\sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&320 \\ &&y&&&=&100 \\ &&&&z&=&50 \end{matrix}\right.$$ $\square$
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OPCIÓN 2: Ejercicio número 14, apartado b, de la página 81 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Discute, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$$\left\{\begin{matrix}(2m+2)\,x&+&my&+&2z&=&2m-2\\2x&+&(2-m)\,y&&&=&0\\ (m+1)\,x&&&+&(m+1)\,z&=&m-1 \end{matrix}\right.$$


SOLUCIÓN.
Podemos escribir el sistema en forma matricial, $AX=B$ de la forma $$\left(\begin{array}{cccc}2\,(m+1) & m & 2 \,(m-1) \\ 2 & 2-m & 0 \\ m+1 & 0 & m+1 \end{array}\right)\begin{pmatrix}x \\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\,(m-1) \\0 \\ m-1 \end{pmatrix}$$ La matriz ampliada de los coeficientes del sistema ampliada con la columna de los términos independientes es $$(A|B) = \left(\begin{array}{ccc|c}2\,(m+1) & m & 2 & 2\,(m-1) \\ 2 & 2-m & 0 & 0 \\ m+1 & 0 & m+1 & m-1\end{array}\right)$$ de la cual la matriz de los coeficentes $$A=\left(\begin{array}{cccc}2\,(m+1) & m & 2 \\ 2 & 2-m & 0 \\ m+1 & 0 & m+1 \end{array}\right)$$ es una submatriz. Analicemos el rango de $A$ mediante el cálculo de su determinante: $$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}2\,(m+1) & m & 2 \\ 2 & 2-m & 0 \\ m+1 & 0 & m+1 \end{vmatrix}=-2m(m^2-1)=0\Leftrightarrow m \in \{0,-1,1\}$$ Por tanto, en el caso de que $m \notin \{0,-1,1\}$, $\text{rango}(A)=3$, y habida cuenta de que, $A$ es una submatriz de $(A|B)$, también se tiene que $\text{rango}(A|B)=3$, así pues: i) el sistema es compatible determinado ( si $m$ es distinto de $0$, $-1$, o $1$ ).

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Veamos ahora qué sucede cuando $m$ toma esos valores:
ii) Si $m=0$, la matriz ampliada es ahora $$(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c}2 & 0 & 2 & -2 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -1\end{array}\right)$$ Tomando la submatriz de orden $2$ formada por los elementos que están en las dos primeras filas y en las dos primeras columnas vemos que su determinante ( menor complementario ) es distinto de cero, en efecto $\begin{vmatrix}2&0\\2&2\end{vmatrix}=4\neq 0$, luego el rango de las matrices $A$ y $(A|B)$ es, al menos, $2$. Veamos si puede ser $3$. Aplicando el algoritmo del horlado de dicha submatriz, obtenemos dos menores de orden $3$ que procedemos a examinar. Uno de ellos es el determinante de la matriz $A$ ( submatriz de $(A|B)$ ): $\begin{vmatrix}2&0&2\\2&2&0\\1&0&1\end{vmatrix}=\ldots=0 \Rightarrow \text{rango}(A) \prec 3$, luego $\text{rango}(A)=2$. Por otra parte, tenemos también ( del horlado ) el menor complementario $\begin{vmatrix}2&0&-2\\2&2&0\\1&0&-1\end{vmatrix}=\ldots=0 \Rightarrow \text{rango}(A|B) \prec 3$, luego $\text{rango}(A|B)=2$. Así pues, como el rango común $r=2\prec n=3$ ( $n$ denota el número de incógnitas ), por el teorema de Rouché-Fröbenius, podemos decir que para $m=0$ el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $2$ variables principales.

ii) Si $m=1$, la matriz ampliada es ahora $$(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c}4 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0\end{array}\right)$$ Tomando la submatriz de orden $2$ formada por los elementos que están en las dos primeras filas y en las dos primeras columnas vemos que su determinante ( menor complementario ) es distinto de cero, en efecto $\begin{vmatrix}4&1\\2&1\end{vmatrix}=2\neq 0$, luego el rango de las matrices $A$ y $(A|B)$ es, al menos, $2$. Veamos si puede ser $3$. Aplicando el algoritmo del horlado de dicha submatriz, obtenemos dos menores de orden $3$ que procedemos a examinar. Uno de ellos es el determinante de la matriz $A$ ( submatriz de $(A|B)$ ): $\begin{vmatrix}4&1&2\\2&1&0\\2&0&2\end{vmatrix}=\ldots=0 \Rightarrow \text{rango}(A) \prec 3$, luego $\text{rango}(A)=2$. Por otra parte, tenemos también ( del horlado ) el menor complementario $\begin{vmatrix}4&1&0\\2&1&0\\2&0&0\end{vmatrix}=\ldots=0 \Rightarrow \text{rango}(A|B) \prec 3$, luego $\text{rango}(A|B)=2$. Así pues, como el rango común $r=2\prec n=3$ ( $n$ denota el número de incógnitas ), por el teorema de Rouché-Fröbenius, podemos decir que para $m=1$, al igual que para el caso anterior ( $m=0$ ), el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $2$ variables principales.

iii) Si $m=-1$, la matriz ampliada es ahora $$(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c}0 & -1 & 2 & -2 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2\end{array}\right)$$ Tomando la submatriz de orden $2$ formada por los elementos que están en las dos primeras filas y en las dos primeras columnas vemos que su determinante ( menor complementario ) es distinto de cero, en efecto $\begin{vmatrix}0&-1\\2&3\end{vmatrix}=2\neq 0$, luego el rango de las matrices $A$ y $(A|B)$ es, al menos, $2$. Veamos si puede ser $3$. Aplicando el algoritmo del horlado de dicha submatriz, obtenemos dos menores de orden $3$ que procedemos a examinar. Uno de ellos es el determinante de la matriz $A$ ( submatriz de $(A|B)$ ): $\begin{vmatrix}0&-1&2\\2&3&0\\0&0&0\end{vmatrix}=0 \Rightarrow \text{rango}(A) \prec 3$, luego $\text{rango}(A)=2$. Por otra parte, tenemos también ( del horlado ) el menor complementario $\begin{vmatrix}&-1&-2\\2&3&0\\0&0&-2\end{vmatrix}=-4\neq 0 \Rightarrow \text{rango}(A|B) = 3$. Así pues, como $\text{rango}(A)\neq \text{rango}(A|B)$, por el teorema de Rouché-Fröbenius, podemos decir que para $m=-1$, el sistema es incompatible.


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Resumiendo, distinguimos los siguientes tres casos:

I) Si $m\notin \{0,-1,1\}$, el sistema es compatible determinado.
II) Si $m=-1$, el sistema es incompatible.
III) Si $m\in \{0,1\}$, el sistema es compatible indeterminado con $1$ variable secundaria y $2$ variables principales.

$\square$
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