Un problema de programación lineal ( EvAU, Madrid, septiembre de 2020 )

ENUNCIADO. Un vivero elabora dos tipos de sustratos. Para elaborar 1 metro cúbico del tipo A necesita 60 kg de tierra vegetal y 30 horas de trabajo. Para elaborar 1 metro cúbico del tipo B necesita 50 kg de tierra vegetal y 50 horas de trabajo. El vivero dispone como máximo de 21000 kg de tierra vegetal y 15000 horas de trabajo. Además, la cantidad de metros cúbicos que elabora de tipo A debe ser como mucho cinco veces la cantidad de tipo B. Por la venta de cada metro cúbico de tipo A obtiene un beneficio de 50 euros y 60 euros por cada metro cúbico de tipo B.

a) Represente la región del plano determinada por las restricciones anteriores y determine las coordenadas de sus vértices.

b) Determine cuántos metros cúbicos de cada tipo deben elaborarse para, respetando las restricciones anteriores, maximizar el beneficio. Obtenga el valor del beneficio máximo.



SOLUCIÓN. Denotemos por $a$ la cantidad ( en metros cúbicos ) de sustrato de tipo A, y por $b$ la cantidad ( en metros cúbicos ) de sustrato B. Entonces, según el enunciado el sistema de restricciones es $$\left\{\begin{matrix}60a+50b \le 21\,000 \\ 30a + 50b \le 15\,000 \\ a \le 5b \\ a \ge 0 \\ b \ge 0 \end{matrix}\right.$$ Por otra parte, la función objetivo es $$f(a,b)=50a+60b$$
Como ejercicio, a ver si podéis terminarlo vosotras.