ENUNCIADO.
Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un 4\,\% en un cierto producto A, un 6\,\% en el producto B y un 5\,\% en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta, descontando un 8\,\% sobre el precio inicial de A, un 10\,\% sobre el precio inicial de B y un 6\,\% sobre el precio inicial de C.
Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos B y tres C, se ahorra 16 euros respecto del precio inicial; si compra en la segunda oferta tres productos A, uno B y cinco C, al ahorro es de 29 euros; y si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar 135 euros.
Calcula el precio de cada producto antes de las ofertas.
SOLUCIÓN.
Denotando por a,b y c los precios de los tres productos, y de acuerdo con la información del enunciado, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones lineales: \left\{\begin{matrix}a+b+c=135 \\ \dfrac{4}{100}\,a+\dfrac{6}{100}\cdot 2\,b+\dfrac{5}{100}\cdot 3 \,c=16 \\ \dfrac{8}{100}\cdot 3\,a+\dfrac{10}{100}\,b+\dfrac{6}{100}\cdot 5\,c=29\end{matrix}\right.
que es equivalente a \left\{\begin{matrix}a+b+c=135 \\ 4a+12b+15c=1\,600 \\ 24a+10b+30c=2\,900\end{matrix}\right.
y reduciéndolo por Gauss se obtiene ( fácilmente ): c=60 euros, b=50 euros y a=25 euros.\square
ENUNCIADO.
En un teatro hay localidades de tres clases, A, B y C, cuyos precios son 3 euros, 6 euros y 12 euros, respectivamente. Cierto día, la recaudación total fue de 6\,600 euros. Si se sabe, además, que de la clase A se vendieron tantas localidades como de las clases B y C juntas, y que de la B se vendió el doble que de la C, ¿ cuántas localidades de cada clase se vendieron ese día ?.
SOLUCIÓN.
Denotemos por a,b y c al número de localidades vendidas de cada uno de los tres tipos ( respectivamente, A, B y C ). Entonces, según el enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales: \left\{\begin{matrix}a+b+c=6\,600 \\ a= b+c \\ b=2c \end{matrix}\right.
De la terecera ecuación y la segunda ecuación vemos que a=3c, y sustituyendo en la primera llegamos a: 3c+2c+c=6\,600, así 6\,c=6\,600 \Rightarrow c = 1\,100 localidades de tipo C. Por consiguiente, b=2\cdot 1\,100=2\,200 localidades de tipo B, y a=3\cdot 1\,100 = 3\,300 localidades de tipo A.
\square
ENUNCIADO.
Un constructor puede adquirir ladrillos ( L ), tejas (T), madera ( M ) y cemento (C ) de tres proveedores: P, Q y R. Los precios de cada proveedor por paquete de materiales vienen dados en miles de euros por los elementos de la matriz \begin{pmatrix}8 & 13 & 6 & 6 \\ 6 & 12 & 7 & 8 \\ 7 & 14 & 6 & 7\end{pmatrix}
El constructor tiene que comenzar tres obras. Necesita los siguientes paquetes:
a) Primera obra: 24 de L, 5 de T, 12 de M y 18 de C.
b) Segunda obra: 20 de L, 7 de T, 15 de M y 20 de C.
a) Tercera obra: 20 de L, 4 de T, 15 de M y 15 de C.
El constructor quiere adquirir todos los materiales de cada obra al mismo proveedor. ¿ Qué proveedor es el más económico ?.
SOLUCIÓN.
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema matricial: \left\{\begin{matrix}2A+3B=\begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix} \\ \\ \\ A-3B=\begin{pmatrix}-18&8\\-5&-25\\-8&11\end{pmatrix}\end{matrix}\right.
SOLUCIÓN.
Sumando miembro a miembro la primera ecuación y la segunda ecuación, 3A= \begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-18&8\\-5&-25\\-8&11\end{pmatrix}
y por tanto 3A= \begin{pmatrix}-18&6\\-6&-12\\3&-3\end{pmatrix} \Rightarrow A=\dfrac{1}{3}\,\begin{pmatrix}-18&6\\-6&-12\\3&-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-6&2\\-2&-4\\1&1\end{pmatrix}
Ahora, de la primera ecuación, 3B=\begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix}-2A
esto es 3B=\begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix}-2\,\begin{pmatrix}-6&2\\-2&-4\\1&1\end{pmatrix}
y por tanto, B=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix}-\dfrac{2}{3}\,\begin{pmatrix}-6&2\\-2&-4\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\1&7\\3&4\end{pmatrix}
\square
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