Tarea de progresión número 1 de la semana del 2 al 8 de noviembre

Ejercicio 53 de la página 26 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un $4\,\%$ en un cierto producto A, un $6\,\%$ en el producto B y un $5\,\%$ en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta, descontando un $8\,\%$ sobre el precio inicial de $A$, un $10\,\%$ sobre el precio inicial de B y un $6\,\%$ sobre el precio inicial de C.

Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos B y tres C, se ahorra $16$ euros respecto del precio inicial; si compra en la segunda oferta tres productos A, uno B y cinco C, al ahorro es de $29$ euros; y si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar $135$ euros.

Calcula el precio de cada producto antes de las ofertas.

SOLUCIÓN.
Denotando por $a,b$ y $c$ los precios de los tres productos, y de acuerdo con la información del enunciado, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}a+b+c=135 \\ \dfrac{4}{100}\,a+\dfrac{6}{100}\cdot 2\,b+\dfrac{5}{100}\cdot 3 \,c=16 \\ \dfrac{8}{100}\cdot 3\,a+\dfrac{10}{100}\,b+\dfrac{6}{100}\cdot 5\,c=29\end{matrix}\right.$$ que es equivalente a $$\left\{\begin{matrix}a+b+c=135 \\ 4a+12b+15c=1\,600 \\ 24a+10b+30c=2\,900\end{matrix}\right.$$ y reduciéndolo por Gauss se obtiene ( fácilmente ): $c=60$ euros, $b=50$ euros y $a=25$ euros.$\square$

-oOo- Ejercicio 86 de la página 29 del libro de texto base
ENUNCIADO.
En un teatro hay localidades de tres clases, A, B y C, cuyos precios son $3$ euros, $6$ euros y $12$ euros, respectivamente. Cierto día, la recaudación total fue de $6\,600$ euros. Si se sabe, además, que de la clase A se vendieron tantas localidades como de las clases B y C juntas, y que de la B se vendió el doble que de la C, ¿ cuántas localidades de cada clase se vendieron ese día ?.

SOLUCIÓN.
Denotemos por $a,b$ y $c$ al número de localidades vendidas de cada uno de los tres tipos ( respectivamente, A, B y C ). Entonces, según el enunciado, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}a+b+c=6\,600 \\ a= b+c \\ b=2c \end{matrix}\right.$$ De la terecera ecuación y la segunda ecuación vemos que $a=3c$, y sustituyendo en la primera llegamos a: $3c+2c+c=6\,600$, así $6\,c=6\,600 \Rightarrow c = 1\,100$ localidades de tipo C. Por consiguiente, $b=2\cdot 1\,100=2\,200$ localidades de tipo B, y $a=3\cdot 1\,100 = 3\,300$ localidades de tipo A. $\square$

-oOo- Ejercicio 24 de la página 39 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Un constructor puede adquirir ladrillos ( L ), tejas (T), madera ( M ) y cemento (C ) de tres proveedores: P, Q y R. Los precios de cada proveedor por paquete de materiales vienen dados en miles de euros por los elementos de la matriz $$\begin{pmatrix}8 & 13 & 6 & 6 \\ 6 & 12 & 7 & 8 \\ 7 & 14 & 6 & 7\end{pmatrix}$$ El constructor tiene que comenzar tres obras. Necesita los siguientes paquetes:
a) Primera obra: $24$ de L, $5$ de T, $12$ de M y $18$ de C.
b) Segunda obra: $20$ de L, $7$ de T, $15$ de M y $20$ de C.
a) Tercera obra: $20$ de L, $4$ de T, $15$ de M y $15$ de C.
El constructor quiere adquirir todos los materiales de cada obra al mismo proveedor. ¿ Qué proveedor es el más económico ?.
SOLUCIÓN.


-oOo- Ejercicio 47 de la página 45 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Resuelve el siguiente sistema matricial: $$\left\{\begin{matrix}2A+3B=\begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix} \\ \\ \\ A-3B=\begin{pmatrix}-18&8\\-5&-25\\-8&11\end{pmatrix}\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN.
Sumando miembro a miembro la primera ecuación y la segunda ecuación, $$3A= \begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}-18&8\\-5&-25\\-8&11\end{pmatrix}$$ y por tanto $$3A= \begin{pmatrix}-18&6\\-6&-12\\3&-3\end{pmatrix} \Rightarrow A=\dfrac{1}{3}\,\begin{pmatrix}-18&6\\-6&-12\\3&-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-6&2\\-2&-4\\1&1\end{pmatrix} $$ Ahora, de la primera ecuación, $$3B=\begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix}-2A$$ esto es $$3B=\begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix}-2\,\begin{pmatrix}-6&2\\-2&-4\\1&1\end{pmatrix}$$ y por tanto, $$B=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}0&-2\\-1&13\\11&-14\end{pmatrix}-\dfrac{2}{3}\,\begin{pmatrix}-6&2\\-2&-4\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\1&7\\3&4\end{pmatrix}$$ $\square$


-oOo-