Tarea de progresión número 1 de la semana del 12 al 18 de octubre

Ejercicio 1. ( e. 33, p.63 del libro de texto base )
ENUNCIADO.
Hállese el rango de la matriz $$\begin{pmatrix}2&-3&0&1\\6&-3&7&-2\\4&0&7&-3\end{pmatrix}$$
SOLUCIÓN. Al escalonar la matriz por Gauss, veréis que la última fila es identicamente nula, luego el número de filas no identicamente nulas ( de la matriz escalonada ) es $2$, por lo tanto el rango de la matriz es $2$. $\square$


Ejercicio 2. ( e. 22, p.59 del libro de texto base )
ENUNCIADO.
En el caso de que exista, hállese la matriz inversa asociada a la matriz $$\begin{pmatrix}6&3&1\\-5&-3&-1\\5&4&1\end{pmatrix}$$
SOLUCIÓN. Al escalonar esta matriz ( de $3$ filas y $3$ columnas, esto es, de orden $n=3$ ) por Gauss, encontraréis que el número de filas no identicamente nulas ( de la matriz escalonada ) es $3$, luego el rango de la matriz es $3$, que es igual al orden de la matriz, luego la matriz dada es regular ( inversible ). Calculando la matriz inversa asociada a dicha matriz - que os recuerdo que es única - podéis comprobar ( yo he utilizado el método de Gauss-Jordan ) que es la siguiente: $$\begin{pmatrix}1&-1/2&-1/9\\0&1&-1/9\\0&0&1\end{pmatrix}$$ $\square$


Ejercicio 3. ( e. 18, p.57 del libro de texto base )
ENUNCIADO.
Hállese el determinante de la matriz $$\begin{pmatrix}1&-7&8\\-1&9&5\\0&6&-4\end{pmatrix}$$

ENUNCIADO.
En el caso de que exista, hállese la matriz inversa asociada a la matriz $$\begin{pmatrix}6&3&1\\-5&-3&-1\\5&4&1\end{pmatrix}$$
SOLUCIÓN. Yo he aplicado directamente la regla de Sarrus - se podría haber utilizada el desarrollo ( tomando cualquier fila o columna ) por adjuntos ( de los elementos de dicha fila/columna ) -, y he encontrado el siguiente resultado: $$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}6&3&1\\-5&-3&-1\\5&4&1\end{vmatrix}=$$
$=\left( 1\cdot 9 \cdot (-4)+5\cdot (-7)\cdot 0 + (-1)\cdot 6\cdot 8 \right) - \left( 0 \cdot 9 \cdot 8 + 6 \cdot 5 \cdot 1 + (-1)\cdot (-7)\cdot (-4)\right)$
$$=-86$$
$\square$