El Problema de la Semana del 26 de octubre al 1 de noviembre

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OPCIÓN 1.
Ejercicio 51 de la página 109 del libro de texto base
ENUNCIADO.
Una agencia de viajes vende paquetes turísticos para acudir a la final de un campionato de fútbol. La agencia está considerando ofrecer dos tipos de viajes. El primero de ellos, A, incluye desplazamiento en autocar para dos personas, una noche de alojamiento en habitación doble y cuatro comidas. El segundo, B, incluye desplazamiento en autocar para una persona, una noche de alojamiento ( en habitación doble ) y dos comidas.
El precio de venta del paquete A es de $150$ euros y el del paquete B es de $90$ euros. La agencia tiene contratadas un máximo de: $30$ plazas de autobús, $20$ habitaciones dobles y $56$ comidas. El número de paquetes del tipo B no debe superar al del tipo A. La empresa desea maximizar sus ingresos. Se pide:
a) Expresar la función objetivo.
b) Escribir mediante inecuaciones las restricciones del problema y representar gráficamente la región factible.
c) Determinar cuántos paquetes de cada tipo debe vender la agencia para que sus ingresos sean máximos. Calcular dichos ingresos.

SOLUCIÓN.

Denominemos $a$ al número de paquetes de tipo A, y $b$ al número de paquetes de tipo B. Entonces, la función objetivo es $f(a,b)=150\,a+90\,b$. Por lo que se refiere a la región factible, ésta viene dada por el sistema de desigualdades que podemos escribir atendiendo a los datos del enunciado resumidos en esta tabla y a las cantidades máximas de recursos.

|-------------------------------------------------------------------|
|              | plazas de autocar  | habitación doble  |  comidas  |
|-------------------------------------------------------------------|
|      A       |     2              |           1       |     4     |
|-------------------------------------------------------------------|
|      A       |     1              |           1       |     2     |
--------------------------------------------------------------------|

$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} 2a+b \le 30 \\ a+b \le 20 \\ 4a + 2b \le 56 \\ a \ge 0 \\ b \ge 0 \end{matrix}\right.$$ Eligiendo $b$ como variable dependiente y $a$ como variable independiente, podemos escribir:
$$\mathcal{R}\equiv \left\{\begin{matrix} b &\le& -2a+30 & (1)\\ b &\le& -a + 20 &(2) \\ b& \le& -2a+28&(3)\\ b&\ge& 0&(4) \\ a &\ge& 0&(5) \end{matrix}\right.$$

Así, las ecuaciones de las rectas que contienen los lados de la región factible escritas en forma explícita son:
$$\left\{\begin{matrix} r_1\equiv b &=& -2a&+&30\\ r_2\equiv b &=&-a&+&20 \\r_3\equiv b& =&-2a&+&28\\ r_4\equiv b&=& 0 \\ r_5\equiv a &=& 0\end{matrix}\right.$$

En el siguiente gráfico se resume el estudio pedido, observando que el máximo de se obtiene para para el vértice de la región factible $A(8,12)$, por tanto el beneficio máximo es igual a $f(8,12)=150\cdot 8+90\cdot 12 = 2\,280$ euros.

$\square$



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OPCIÓN 2.
Ejercicio 45 de la página 108 del libro de texto base
ENUNCIADO.
En un cierto problema de programación lineal, la región factible es el pentágono convexo que tiene por vértices los puntos: $O(0,0$, $P(0,4)$, $Q(3/2,3)$, $R(5/2,2)$ y $S(11/4,0)$, y la función objetivo que hay que maximizar es $f(x,y)=2x+ay$, donde el parámetro $a$ es un número real positivo.
a) Dibuja la región factible.
b) Halla el vértice, o punto extremo, del contorno de la región factible en el que la función objetivo alcanza el máximo para $a=1/2$.
c) Encuentra un valor de $a$ para que el máximo se alcance en el punto $(0,4)$.
SOLUCIÓN.
a) y b)

Para $a:=1/2$, la función objetivo es $f(x,y)=2x+\dfrac{1}{2}\,y$, luego denominando por comodidad $k\overset{.}{=}f(x,y)$, podemos escribir la ecuación de la familia de rectas asociadas a dicha función objetivo: $y=-4x +2\,k$, y por tanto $k$ es máximo cuando la ordenada en el origen $2\,k$ alcanza un máximo al pasar por el vértice $R(5/2m2)$ de la región factible, cosa que se hace evidente en la gráfica.


c) Si el maximo de $f(x,y)$ se alcanza en el punto $P(0,4)$, entonces la pendiente de la recta que corta al eje de ordenadas en el punto $P(0,4)$ ha de ser igual a la pendiente de la recta que contiene al lado $[Q,R]$, que es igual a $\dfrac{4-3}{0-3-3/2}=-\dfrac{2}{3}$, y como la ecuación del haz de rectas paralelas asociada a la función objetivo tiene por ecuación $y=-\dfrac{2}{a}\,x+\dfrac{k}{a}$, vemos que la pendiente $-\dfrac{2}{a}$ ( que, desde luego es la de la recta que pasa por $P(0,4)$ ) tiene que ser igual que $-\dfrac{2}{3}$, así pues $-\dfrac{2}{a} = -\dfrac{2}{3} \Rightarrow a = 3 $
$\square$


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