Estimadores. Distribución en el muestreo. Estimación de la diferencia de medias de dos poblaciones normales independientes

Enunciado:
Un fabricante de televisores compra piezas a dos compañías. Sabemos que: a) la variable aleatoria que describe duración de las piezas que proporciona la compañía $A_1$ sigue una distribución normal de parámetros $\mu_1=7'2$ años ( media ) y $\sigma_1=0'8$ años ( desviación típica ); b) la variable aleatoria que describe duración de las piezas que proporciona la compañía $A_2$ sigue una distribución normal de parámetros $\mu_2=6'7$ años ( media ) y $\sigma_2=0'7$ años ( desviación típica ). Se extrae una muestra $n_1=34$ piezas de la población de piezas producidas por la compañía $A_1$ y una muestra de $n_2=40$ piezas de la población de piezas producidas por la compañía $A_2$. Calcular la probabilidad de que la media de la muestra de la compañía $A_1$ se al menos un año mayor que la media de la muestra de la compañía $A_2$.

Resolución:
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria que describe el tiempo de vida de la población de piezas producidas por la compañía A, que, según el enunciado, sigue una distribución $N(\mu_1,\sigma_1)$, y por $Y$ a la variable aleatoria que describe el tiempo de vida de la población de piezas producidas por la compañía B, que según el enunciado, sigue una distribución $N(\mu_2,\sigma_2)$

Sea $X_1,\ldots,X_{n_1}$ una muestra aleatoria simple procedente de la producción de la compañía A ( $n_1=34$ piezas ) e $Y_1,\ldots,Y_{n_2}$ ( $n_2=40$ piezas ) una muestra aleatoria simple procedente de la compañía B.

Como ambas muestras suponemos que son independientes y los parámetros de las variables aleatorias de las poblaciones $X$ e $Y$ son conocidos, hemos visto en clase que la variable aleatoria que describe el estimador de la diferencia de medias muestrales $\overline{x}_1-\overline{x}_2$ ( distribución en el muestreo ) sigue una distribución normal:
    $\overline{x}_1-\overline{x}_2 \sim N \Big(\;\mu_1-\mu_2\;,\;\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_{2}^2}{n_2}}\;\Big)$

Tipificando la variable vemos que
    $Z \sim \dfrac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_{2}^2}{n_2}}} \sim N(0,1)$

Luego
    $P\{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)\ge 1\}=$
        $=P\{Z \ge \dfrac{1-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{\sigma_{1}^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_{2}^2}{n_2}}}\} \underset{(1)}{=} P\{Z\ge 2,8364\}) \underset{(2)}{\approx} 0'0023$


        (1) Sustituyendo los datos del enunciado y consultando las tablas de la distribución normal tipificada $N(0,1)$
        (2) Consultando las tablas de la distribución normal tipificada $N(0,1)$

$\square$

Referencias:

• Adaptación del Problema 13.11 del Libro Base
  

[nota del autor]