Cálculos de probabilidad con la distribución normal

Enunciado:
Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media $\mu=5$ y desviación típica $\sigma=2$, lo cual denotamos por $X \sim N(5,2)$. Se pide:

    a) $P\{X \le 2'1\}$

    b) $P\{\left|X\right| \le 3'4\}$

    c) $P\{\left|X\right| \ge 3'4\}$

Observación:
Teniendo en cuenta que $X$ es una v.a. continua, es irrelevante utilizar desigualdades estrictas o débiles puesto que la probabilidad de un valor puntual, $X=k$, es cero; en otras palabras, como
$P(X=k)=0$, entonces podemos escribir $P\{X\le k\}=P\{X \prec k\}$ y $P\{X\ge k\}=P\{X \succ k\}$

Resolución:
a)   Tipificando la variable $X$ por medio del cambio
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
podemos trabajar con una distribución normal $Z \sim N(0,1)$ ( distribución normal centrada, es decir, de media igual a $0$, y con desviación típica igual a $1$ ) con lo cual podremos utilizar las tablas de dicha distribución de probabilidad.

Entonces
si $X=2,1$
$Z=\dfrac{2'1-5}{2}$
    $=-1,45$
es decir
$P\{X \le 2'1\} = P\{Z \le -1'45\}$
y, atendiendo a la simetría de la función de densidad de probabilidad $f(z)$, podemos escribir
$P\{Z \le -1,45\}= 1-P\{Z \le 1'45\}$

A continuación, leemos en las tablas $N(0,1)$ que el valor de la función de distribución de probabilidad para $z=1'45$ es $F(0'45)=0'9265$, que es el valor de la probabilidad acumulada al barrer el área bajo la curva de la función $f(z)$, desde $-\infty$ hasta $1'45$, luego $P\{Z \le 1'45\}=0'9265$, luego $1-P\{Z \le 1'45\}=0'0735$

es decir
$P\{X \le 2'1\}=P\{Z \le -1'45\}=1-P\{Z \le 1'45\}=0'0735$

-oOo-

b)   Trabajaremos (como en el apartado anterior) con la v.a. normal estándar o tipificada $Z$ y, para ello, debemos hacer el cambio de variable habitual:
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$

Para $X=3'4$, el valor que le corresponde con la tipificación es
$\dfrac{3'4-5}{2}=-0'8$
y a $X=-3'4$ le corresponde el valor
$\dfrac{-3'4-5}{2}=-4'2$


luego
$P\{| X | \le 3'4 \}=P\{ -3'4 \le X \le 3'4 \}=P\{ X \le 3'4 \} -P\{ X \le -3'4 \}=$
      $=P\{Z\le -0'8\}-P\{Z \le -4'2\}$
      $=(1-P\{Z\le 0'8\})-(1-P\{Z\le 4'2\})$
      $=P\{Z\le 4'2\}-P\{Z\le 0'8\}$
      $=F(4'2)-F(0'8)$
      $=1-0'7881$
      $=0'2119$

-oOo-
c)  
$P\{\left|X\right| \ge 3'4\}=P\{X \ge 3'4\}+P\{X \le -3'4\}=$
      $=(1-P\{X \le 3'4\})+P\{X \le -3'4\}$
      $=(1-P\{Z \le -0'8\})+P\{Z \le -4'2\}$
      $=\big(1-(1-P\{Z \le 0'8\})\big)+(1-P\{Z \le 4'2\})$
      $=(1-1+P\{Z \le 0'8\})+(1-P\{Z \le 4'2\})$
      $=P\{Z \le 0'8\}+(1-1)$
      $=P\{Z \le 0'8\}$
      $=F(0'8)$
      $=0'7881$

$\square$