Enunciado:
Una empresa afirma que que, como máximo, el 6\,\% de los aparatos que fabrica son defectuosos. Se eligieron 300 aparatos al azar y se encontró que 21 de éstos eran defectuosos. Con un nivel de significación del 1\,\%, ¿ se puede aceptar la afirmación de la marca ?.
Resolución:
Sea p la proporción de aparatos defectuosos en la población, que tiene una distribución de probabilidad B(1,p). Se plantea el contraste de la hipótesis nula H_0:\,p \le p_0 frente a la hipótesis alternativa H_1:\,p \succ p_0, donde p_0 representa la proporción enunciada por la empresa, es decir, p_0=0'06, y \hat{p} denota el valor del estimador de la proporción de la poblacion, p, observado en la muestra seleccionada.
Tratándose de una muestra grande ( Teorema Central del Límite ), el estadístico del contraste es \hat{P} tiene una distribución en el muestreo del tipo
\hat{P} \approx N(p_0\,,\,\sqrt{\dfrac{p_0\,(1-p_0)}{n}}
y su variable tipificada es, por tanto,
Z \sim \dfrac{\hat{P}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0\,(1-p_0)}{n}}} \approx N(0,1)
Por todo ello, validaremos ( aceptaremos ) la hipótesis nula H_0 si se cumple la siguiente condición
P\{\hat{P} \le p_0 - c \}=1-\alpha
( donde c es proporcional al margen de error )
o lo que es lo mismo, tipificando la variable, si
P\{ Z \le -\dfrac{c}{\sqrt{\dfrac{p_0 \, (1-p_0)}{n}}} \}=1-\alpha \Leftrightarrow P\{ Z \ge -\dfrac{c}{\sqrt{\dfrac{p_0 \, (1-p_0)}{n}}}\} = \alpha
que podemos expresar de la forma
P\{Z \ge z_{\alpha}\} = \alpha
donde z_{\alpha}, que es igual a
-\dfrac{c}{\sqrt{\dfrac{p_0 \, (1-p_0)}{n}}}
, corresponde a la abscisa de la función de densidad f(z) de Z \sim N(0,1) que deja a su derecha el \alpha \cdot 100 \,\% ( respectivamente a su izquierda, el (1-\alpha) \cdot 100 \,\% ) de la distribución, que podemos consultar en las tablas. En nuestro caso particular, se deberá cumplir que
P\{Z \ge z_{0'01}\}=0'01
de donde obtenemos el valor crítico de la variable tipifica ( abscisa que separa la zona de aceptación de la de rechazo de H_0 ):
P\{Z \le z_{0'01}\}:=F(z_{0'01})=0'99 \underset{tablas \; de \; F(z)}{\rightarrow} z_{0'01} \approx 2'33
luego el intervalo de aceptación para la variable tipificada Z es C^{*}=(-\infty\,,\,2'33]
Veamos ahora si el valor del estadístico observado en la muestra cae dentro ( se aceptará H_0 ) o fuera ( se rechazará H_0 ):
Z_{observado}=\dfrac{0'07-0'06}{\sqrt{\dfrac{0'06\cdot (1-0'06)}{300}}} \approx 0'73 \in C^{*}
Observación: El intervalo de aceptación correspondiente a la variable aleatoria \hat{p} es
C^{*}=(-\infty\,,\,p_0-z_{\alpha} \cdot \sqrt{\dfrac{p_0\,(1-p_0)}{n}}]
=(-\infty\,,\,0'06-\big(- (2'33 \cdot \sqrt{\dfrac{0'06 \cdot (1-0'06)}{300}})\big)]
=(-\infty\,,\,0'0919]
y como \hat{p}_{observado}=0'07 \in (-\infty\,,\,0'0919]
validamos H_0 al caer dicho valor dentro del intervalo de aceptación de esta hipótesis
\square
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lunes, 27 de enero de 2014
Contraste de hipótesis unilateral para la proproción de una población con muestras grandes
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