Contraste de hipótesis unilateral para la proproción de una población con muestras grandes

Enunciado:
Una empresa afirma que que, como máximo, el $6\,\%$ de los aparatos que fabrica son defectuosos. Se eligieron $300$ aparatos al azar y se encontró que $21$ de éstos eran defectuosos. Con un nivel de significación del $1\,\%$, ¿ se puede aceptar la afirmación de la marca ?.

Resolución:
Sea $p$ la proporción de aparatos defectuosos en la población, que tiene una distribución de probabilidad $B(1,p)$. Se plantea el contraste de la hipótesis nula $H_0:\,p \le p_0$ frente a la hipótesis alternativa $H_1:\,p \succ p_0$, donde $p_0$ representa la proporción enunciada por la empresa, es decir, $p_0=0'06$, y $\hat{p}$ denota el valor del estimador de la proporción de la poblacion, $p$, observado en la muestra seleccionada.

Tratándose de una muestra grande ( Teorema Central del Límite ), el estadístico del contraste es $\hat{P}$ tiene una distribución en el muestreo del tipo
    $\hat{P} \approx N(p_0\,,\,\sqrt{\dfrac{p_0\,(1-p_0)}{n}}$
y su variable tipificada es, por tanto,
    $Z \sim \dfrac{\hat{P}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0\,(1-p_0)}{n}}} \approx N(0,1)$

Por todo ello, validaremos ( aceptaremos ) la hipótesis nula $H_0$ si se cumple la siguiente condición
    $P\{\hat{P} \le p_0 - c \}=1-\alpha$
( donde $c$ es proporcional al margen de error )
o lo que es lo mismo, tipificando la variable, si
    $P\{ Z \le -\dfrac{c}{\sqrt{\dfrac{p_0 \, (1-p_0)}{n}}} \}=1-\alpha \Leftrightarrow P\{ Z \ge -\dfrac{c}{\sqrt{\dfrac{p_0 \, (1-p_0)}{n}}}\} = \alpha $
que podemos expresar de la forma
    $P\{Z \ge z_{\alpha}\} = \alpha$
donde $z_{\alpha}$, que es igual a
    $-\dfrac{c}{\sqrt{\dfrac{p_0 \, (1-p_0)}{n}}}$
, corresponde a la abscisa de la función de densidad $f(z)$ de $Z \sim N(0,1)$ que deja a su derecha el $\alpha \cdot 100 \,\%$ ( respectivamente a su izquierda, el $(1-\alpha) \cdot 100 \,\%$ ) de la distribución, que podemos consultar en las tablas. En nuestro caso particular, se deberá cumplir que
    $P\{Z \ge z_{0'01}\}=0'01$
de donde obtenemos el valor crítico de la variable tipifica ( abscisa que separa la zona de aceptación de la de rechazo de $H_0$ ):
    $P\{Z \le z_{0'01}\}:=F(z_{0'01})=0'99 \underset{tablas \; de \; F(z)}{\rightarrow} z_{0'01} \approx 2'33$
luego el intervalo de aceptación para la variable tipificada $Z$ es $C^{*}=(-\infty\,,\,2'33]$

Veamos ahora si el valor del estadístico observado en la muestra cae dentro ( se aceptará $H_0$ ) o fuera ( se rechazará $H_0$ ):
    $Z_{observado}=\dfrac{0'07-0'06}{\sqrt{\dfrac{0'06\cdot (1-0'06)}{300}}} \approx 0'73 \in C^{*}$

Observación:     El intervalo de aceptación correspondiente a la variable aleatoria $\hat{p}$ es
    $C^{*}=(-\infty\,,\,p_0-z_{\alpha} \cdot \sqrt{\dfrac{p_0\,(1-p_0)}{n}}]$
        $=(-\infty\,,\,0'06-\big(- (2'33 \cdot \sqrt{\dfrac{0'06 \cdot (1-0'06)}{300}})\big)]$
        $=(-\infty\,,\,0'0919]$
y como $\hat{p}_{observado}=0'07 \in (-\infty\,,\,0'0919]$
validamos $H_0$ al caer dicho valor dentro del intervalo de aceptación de esta hipótesis

$\square$

[nota del autor]