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domingo, 26 de enero de 2014

Intervalo de confianza para la estimación de una proporción. Margen de error, coeficiente de confianza y tamaño de la muestra.

Enunciado:
Se desea realizar una encuesta entre la población mayor de edad de un determinado país, con una sola pregunta que tiene respuesta dicotómica: "sí" o "no". Si se admite un margen de error del 2\,\% y se fija un nivel de confianza del 95\% en la estimación de la proporción p, ¿ cuál debes ser el tamaño mínimo de la muestra ?.

Resolución:
La característica de la población en estudio corresponde a una variable aleatoria X que tiene distribución de Bernoulli B(1,p), siendo p la proporción de una de las dos tendencias, digamos que del "sí". Para el caso de muestras grandes, la variable aleatoria del estimador \hat{p} tiene una distribución en el muestreo
    \hat{p} \approx N(p\,,\,\sqrt{\dfrac{p\,(1-p)}{n}}
luego hemos visto con anterioridad que el intervalo de confianza de p viene dado por
    I=[\;\hat{p}-z_{\alpha / 2 } \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\;,\;\hat{p}+z_{\alpha / 2 } \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\;]
siendo el marge de error
    z_{\alpha / 2 } \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}

Como no contamos con el valor de \hat{p}, supondremos que éste es igual a 0'5, que es la situación equilibrada en el resultado de la encuesta, para la cual el tamaño de la muestra alcanza una cota superior; entonces la cantidad
    \sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}
es, en este caso
    \sqrt{\dfrac{0'5 \cdot 0'5}{n}}
es decir
    \dfrac{0'5}{\sqrt{n}}



Entonces, imponiendo el requerimiento del enunciado
    z_{\alpha / 2 } \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}} \prec 0'02
esto es
    z_{\alpha / 2 } \cdot \dfrac{0'5}{\sqrt{n}} \prec 0'02
y, por las tablas de la distribución normal N(0,1) sabemos que
    P\{Z \ge z_{\alpha / 2}\} = \alpha / 2 \Rightarrow z_{\alpha /2} = 1'96
la desigualdad a resolver queda
    1'96 \cdot \dfrac{0'5}{\sqrt{n}} \prec 0'02
y de aquí
    \sqrt{n} \succ \dfrac{1'96 \cdot 0'5}{0'02}
y elevando al cuadrado en ambos miembros de la desigualdad
    n \succ \bigg(\dfrac{1'96 \cdot 0'5}{0'02}\bigg)^2 = 2401

\square




[nota del autor]

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