Intervalo de confianza para la estimación de una proporción. Margen de error, coeficiente de confianza y tamaño de la muestra.

Enunciado:
Se desea realizar una encuesta entre la población mayor de edad de un determinado país, con una sola pregunta que tiene respuesta dicotómica: "sí" o "no". Si se admite un margen de error del $2\,\%$ y se fija un nivel de confianza del $95\%$ en la estimación de la proporción $p$, ¿ cuál debes ser el tamaño mínimo de la muestra ?.

Resolución:
La característica de la población en estudio corresponde a una variable aleatoria $X$ que tiene distribución de Bernoulli $B(1,p)$, siendo $p$ la proporción de una de las dos tendencias, digamos que del "sí". Para el caso de muestras grandes, la variable aleatoria del estimador $\hat{p}$ tiene una distribución en el muestreo
    $\hat{p} \approx N(p\,,\,\sqrt{\dfrac{p\,(1-p)}{n}}$
luego hemos visto con anterioridad que el intervalo de confianza de $p$ viene dado por
    $I=[\;\hat{p}-z_{\alpha / 2 } \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\;,\;\hat{p}+z_{\alpha / 2 } \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}\;]$
siendo el marge de error
    $z_{\alpha / 2 } \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}$

Como no contamos con el valor de $\hat{p}$, supondremos que éste es igual a $0'5$, que es la situación equilibrada en el resultado de la encuesta, para la cual el tamaño de la muestra alcanza una cota superior; entonces la cantidad
    $\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}}$
es, en este caso
    $\sqrt{\dfrac{0'5 \cdot 0'5}{n}}$
es decir
    $\dfrac{0'5}{\sqrt{n}}$



Entonces, imponiendo el requerimiento del enunciado
    $z_{\alpha / 2 } \cdot \sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}} \prec 0'02$
esto es
    $z_{\alpha / 2 } \cdot \dfrac{0'5}{\sqrt{n}} \prec 0'02$
y, por las tablas de la distribución normal $N(0,1)$ sabemos que
    $P\{Z \ge z_{\alpha / 2}\} = \alpha / 2 \Rightarrow z_{\alpha /2} = 1'96$
la desigualdad a resolver queda
    $1'96 \cdot \dfrac{0'5}{\sqrt{n}} \prec 0'02 $
y de aquí
    $\sqrt{n} \succ \dfrac{1'96 \cdot 0'5}{0'02}$
y elevando al cuadrado en ambos miembros de la desigualdad
    $n \succ \bigg(\dfrac{1'96 \cdot 0'5}{0'02}\bigg)^2 = 2401$

$\square$

[nota del autor]