Margen de error en la estimación de la media por intervalos de confianza. Tamaño de la muestra

Enunciado:
Se nos informa que la variable aleatoria "tiempo de reacción de un practicante de un cierto deporte ante un determinado evento" sigue un modelo normal con desviación típica $\sigma = 0'5$ segundos. Al estimar la media $\mu$ de la población por intervalos de confianza, con un coeficiente de confianza de $0'95$, se desea obtener un error en la estimación menor de $0'1$ segundos, ¿ cuál debe ser el tamaño mínimo del muestreo ?.

Resolución:
El intervalo de confianza en la estimación de $\mu$ con un coeficiente de confianza $1-\alpha$ igual a $0'95$ es
    $I_{1-\alpha}(\mu)=\big(\overline{x}-z_{\alpha / 2}\cdot \sigma(\overline{x})\,,\,\overline{x}+z_{\alpha / 2} \cdot \sigma(\overline{x})\big)$

    La semiamplitud del intervalo de confianza, $z_{\alpha / 2} \cdot \sigma(\overline{x})$, representa el margen de error en la estimación, siendo $\sigma(\overline{x})$ la desviación del estimador $\overline{x}$ de la media de la población $\mu$, que es igual a $\sigma / \sqrt{n}$. Recordemos que $\sigma$ es la desviación típica de la población, que es conocida ).

Entonces, para un coeficiente de confianza igual a $0'95$, una abscisa $z_{\alpha / 2}=z_{0'05 / 2}= z_{0'025}=1'96$-- consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad $N(0,1)$ ) --, luego imponiendo el requerimiento del enunciado:
    $z_{\alpha / 2}\cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} \prec 0'1$
y teniendo en cuenta que $\sigma = 0'5$ ( dato ),
    $1'96 \cdot \dfrac{0'5}{\sqrt{n}} \prec 0'1$
y de aquí
    $1'96 \cdot \dfrac{0'5}{0'1} \prec \sqrt{n}$
luego
    $\sqrt{n} \succ 1'96 \cdot \dfrac{0'5}{0'1}$
es decir
    $n \succ \bigg(1'96 \cdot \dfrac{0'5}{0'1}\bigg)^2$
y operando el segundo miembro de la desigualdad
    $n \succ 96$
En conclusión: debemos tomar muestras de un tamaño superior a $96$ individuos para garantizar que con un coeficiente de confianza de $0'95$ el error en la estimación de la media sea inferior a una décima.
$\square$

[nota del autor]